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渐开线与摆线课件


四 渐开线与摆线

1、渐开线
设开始时绳子外端位于点A,当外端展开 到点M时,因为绳子对圆心角 ? 的一段 弧AB,展开后成为切线BM,所以切线 BM的长就是弧AB的长,这就是动点满足 的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫 做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线 的基圆。

y M

B

?
o A x

我们以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立 平面直角坐标系,设基圆的半径为r,绳子外端

M的坐标为( x, y ),显然,点M由角?唯一确定。
取?为参数,则点B的坐标为(r cos ? , r sin ? )从而
→ →

BM = ( x ? r cos ? , y ? r sin ? ), BM = r?

由于向量 e1 = (cos ? , sin ? )是与 OB同方向的单 位向量,因而向量e2 = (sin ? ,? cos ? )是与向量






BM 同方向的单位向量,所以 BM = (r? ) e2 = ( x ? r cos ? , y ? r sin ? ) = ( r? )(sin ? ,? cos ? ) x = r (cos ? + ? sin ? ) 解得{ (?为参数) y = r (sin ? ? ? cos ? ) 这就是圆的渐开线的参数方程。







思考: 在探究圆的渐开线的参 数方程的过程中用到 “向量 e2 = (sin ? ,? cos ? )与向量 BM有相同方向” 这一结论,你能说明这 个结论为什么成立吗
→ →

∵ e1 ? e2 = (cos ? , sin ? ) ? (sin ? ,? cos ? ) = cos ? sin ? + sin ? (? cos ? ) = 0 ∴ e1 ⊥ e2 , 即 BM 平行 e2
→ → → →

→ →

2、摆线
思考: 如果在自行车的轮子上喷一个白色印 记,那么当自行车在笔直的道路上行 驶时,白色印记会画出什么样的曲 线?

假设B为圆心,圆周上的定点为M,开始时位 于O处,圆在直线上滚动时,点M绕圆心作圆 周运动,转过?角后,圆与直线相切于点A,线 段OA的长等于弧MA的长,OA=r?,这就是 圆周上的定点M在圆B沿直线滚动过程中满足 的几何条件,我们把点M的轨迹叫做平摆线, 简称摆线,又叫旋轮线 。

y

B M o

?
C A x

D

我们取定直线为 x轴,定点 M滚动在定直线上的 一个位置为原点,建立 直角坐标系,设圆的半 径为r , 设开始时定点 M在原点,圆滚动了 ?角后 与x轴相切于点A,圆心在点 B,从点M分别作

AB,x轴的垂线,垂足分别为 C , D,设点M的坐
标为( x, y )取?为参数,根据点 M满足的几何条件

x = OD = OA ? DA = OA ? MC = r? ? r sin ? y = DM = AC = AB ? CB = r ? r cos ?
所以,摆线的参数方程 为

x = r (? ? sin ? ) { (?为参数) y = r (1 ? cos ? )

思考: 在摆线的参数方程(1)中,参数?的取值范围 是什么?一个拱的宽度与高度各是多少?

参数?的取值范围是[0,+∞) 一个拱的宽度是2πr , 高度是2r (其中r是滚动圆 的半径)

小节: 1、圆的渐开线,渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程 作业:44页2题


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