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数学(理科)试卷


高 2018 届 理科数学 训练(3)
(本试卷共 23 题,共 150 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? , B ? ? x | x ? 0或x ? 3? ,则 A ? ? ?R B ? =( ) A. ? 0,3? B. ? ?1,3 ? C. ? 0,3? D. ? ?1,3?

2.若复数 z 满足 2 z+z ? 3-2i, 其中 i 为虚数单位,则 z ? ( ) A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i 3.下列说法错误的是( ) 2 1? 0 A.对于命题 p : ?x ? R, x +x +1 ? 0,则 ? p : ?x 0 ? R, 使x 02 +x 0 +
“x ? 1”是“x 2 -3x +2=0 ” 的充分不必要条件 B. C. 若命题p ? q为假命题,则p,q 都是假命题 D. 命题:若“ x 2 ? 3x +2=0,则x ? 1 ”的逆否命题为“ x ? 1, 则x 2 ? 3x +2 ? 0 ”

? 个长度单位以后, 6 所得图象与函数 y ? cos ? x 的图象重合,则 ? 的最小值是( ) 1 A. B. 3 C. 6 D. 9 3 8.已知某棱锥的三视图如图所示, 俯视图为正方形, 根据 图中所给的数据,那么该棱锥外接球的体积是( ) 4? 8? 8 2? 16 2? A. B. C. D. 3 3 3 3
7.已知函数 f ( x) ? sin ? x ?? ? 0 ? , 将 y ? f ( x ) 的图象向右平移 9.已知 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项
2 4 2 1 ? ? q, 则 ? 的最小值为( ) a b a ?1 b ? 2 5 3 2 3 2 A. 2 B. C. D. 1+ 2 2 4 10.某校毕业典礼由6 个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要 求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼 节目演出顺序的编排方案共有( ) 120 156 A. 种 B. 种 C. 188 种 D. 240 种 9 S3 ? S6 , 若正数 a, b 满足 x2 y2 - =1 的左、右焦点, ?A 是双曲线的左顶点, a 2 b2 以 ?F1 F2 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于 M 、N 两点,且满足 ?MAN ? 120? , 则该双曲线的离心率为( )

4.在区间 ? 0,1? 随机抽取 2n 个数 x1 , x2 ? xn , y1 , y2 ? y n 构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? , 法得到的圆周率 ? 的近似值为( ) 4n 2n 4m A. B. C. m m n

? x2 , y2 ? , ? ? xn , yn ? , 其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个, 则用随机模拟的方
D. 2m n

11. 设 ?F1、F2 分别为双曲线 ?C :

5.宋元时期的数学名著《算学启蒙》中关于“松竹并生” 的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松 竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图, 若输入 的 a, b 分别为 5, 2 ,则输出的 n 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
? 2 x ? y +1 ? 0, ? 6. 设关于x, y的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内 ? y ? m ? 0, ?

A.

7 3 3

B.

7 3

C.

21 3

D.

19 3

12.若关于 x 不等式 xe x ? ax ? a ? 0 ?e为自然对数的底数 ? 的解集为 ? m, n ?

? n ? 0 ? , 且 ? m, n ? 中只有一个整数,则实数 a 的取值范围是(
? 2 1 ? A. ? 2 , ? ? 3e 2e ? ? 2 1? B. ? 2 , ? ? 3e e ? ? 2 1? C. ? 2 , ? ? 3e e ? ? 2 1 ? D. ? 2 , ? ? 3e 2e ?



存在点 P ? x0 , y0 ? 满足 x0 ? 2 y0 ? 2 ,则 m 的取值范围(
?4 ? A. ? , ?? ? ?3 ? ?1 ? B. ? , ?? ? ?3 ? ?2 ? C. ? , ?? ? ?3 ?

)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分.)
6 2 13.二项式 ( ? x) 1 ? x 的展开式中x 的系数是 x

? 5 ? D. ? ? , ?? ? ? 3 ?
共 4页

?

?

.
共 4页

高三 数学理科试卷 第 1页

高三 数学理科试卷 第 2页

? ?1 3? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a ? ? , , b ? 1, a ? 2 b ? 2, 则 b 在a 方向上的投影为 ? ?2 2 ? ? ?

.

?3 ? 15. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? 2 ? ? ? 3 , S n 为数列 2 ? ? . ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? 2an ? n, 则 f ? a5 ? ? f ? a6 ? ?

x2 y2 20. (本小题满分 12 分)已知 F1 , F2 分别为椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的上、下 b a 2 焦点,其中 F1 是抛物线 C2:x ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点, 5 且 MF1 ? . 3 (1)试求椭圆 C1 的方程;

16.已知函数 f ? x ? ? ln x ? x 2 与 g ? x ? ? ? x ? 2 ? ?
2

1 ? m ?m ? R ? 的图象上存在 2?2 ? x?

(2)与圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 相切的直线 l:y ? k ? x ? t ? , ? kt ? 0 ? ??? ? ??? ? ??? ? 交椭圆于 A, B 两点,若椭圆上一点 P 满足 OA ? OB ? ?OP , 求实数 ? 的取值范围.
2

关于 ?1, 0 ? 对称的点,则实数 m 的取值范围是

. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln ? ax ? b ? ? x , g ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x (1) 若 b ? 1, F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,问是否存在这样的负实数 a , 使得 F ? x ? 在 x ? 1
1 1 处存在切线,且该切线与直线 y ? ? x ? 平行,若存在,求出 a 的值;若不存 2 3 在,说明理由. (2)已知 a ? 0 ,若在定义域内恒有 f ? x ? ? ln ? ax ? b ? ? x ? 0, 求 a ? a ? b ? 最大值.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. f x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ,锐角 ?ABC 的 17.(本小题满分 12 分)已知函数 ( 三个内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间;
a 2 ? b2 ? c2 (2)若 f ? C ? ? 1 ,求 m ? 的取值范围. ab

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则 按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ? x ? 2 ? t cos ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? t为参数, ? ? y ? 3 ? t sin ?
? ?? ? ? ? 0, ? ), 以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知圆 C ? 3? ? ?? 的圆心 C 的极坐标为 ? 2, ? ,半径为2,直线l与圆C交于M , N 两点 . ? 3? (1) 求圆 C 的极坐标方程; (2) 当 ? 变化时,求弦长 MN 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体中,ABC ? A1B1C1 为三棱柱, 且 AA1 ? 平面ABC , 四边形 ABCD 为平行四边形,
AD ? 2CD, ?ADC ? 60 ? . (1)若 AA1 ? AC ,求证: AC1 ? 平面A1B1CD ; 5 ,求三棱锥 C1 ? A1CD 的体积. 5

(2)若 CD ? 2,AA1 ? ? AC ? ? ? 0 ? ,二面角 A ? C1D ? C 的余 弦值为

19.(本小题满分 12 分)在一次数学考试中,第22 题和第23 题为选做题,规 定每位考生必须且只须在其中选做一题.现有甲乙丙丁4 名考生参加考试, 2 1 其中甲乙选作第22 题的概率均为 , 丙丁选作第22 题的概率均为 . 3 2 (1)求在甲选作第22 题的条件下,恰有两名考生选作同一道题的概率; (2)设这4 名考生中选作第22 题的学生人数为 X ,求 X 的分布列及数学 期望.
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23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? a ? 3x ? 2 ? x . (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ? x ? ? 3 ; (2)若存在 实数x, 使得f ? x ? ? 1 ? a ? 2 2 ? x 成立,求实数 a 的取值范围.
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