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2.1.2指数函数及其性质(第二课时)课件


2.1.2 指数函数及其性质
(第 二 课 时)

1.指数函数的定义 一般地,函数_____________叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为___.
2.指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象与性质:

a ?1

0 ? a ?1





(1)定义域: _____________ 性 (2)值域:___________ (3)过定点 :___________ 质 (4) 单调___区间:___________ (4) 单调___区间:______________

例 1. 求下列函数的定义域、值域 (1) y ? 0.3 (2) y ? 3
1 x ?1

5 x ?1

解: (1)由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 所以函数定义域为 {x | x ? 1} . 由

1 ? 0 得 y ? 1, x ?1

所以函数值域为 { y | y ? 0且y ? 1} . (2)由 5 x ? 1 ? 0 得 x ?

1 5 1 5

所以函数定义域为 {x | x ? } . 由 5x ? 1 ? 0 得 y ? 1 , 所以函数值域为 { y | y ? 1} .

例2.比较下列各题中两值的大小

(7)

1 a3,

1 a2

(a ? 0, 且a ? 1) ;

解: (1). y ? 1.7 x 为增函数,且2.5<3,所以 1.7

2.5

? 1.73
?0.1

(2). y ? 0.8x 为减函数,且-0.1>-0.2,所以 0.8

? 0.8?0.2

?1? (3). ? ? ? 4?
?8? ? ?7?

0.8

?1? ?1? ?? ? ?? ? ? 2? ? 2?
?7? ?7? ?? ? ?? ? ?8? ?8?
3 7

1.6

1.8

?

(4). ?

3 7

5 12

(5).在同一坐标系中画出函数 y ? 0.3 与函数 y ? 0.2 的图像, 知 x 取相同值-0.3时,
x x

0.3?0.3 ? 0.2?0.3 .

(6). 1.7

0.3

? 1.70 ? 1 ? 0.90 ? 0.93.1 .

1 1 1 1 (7) 若 a ? 1 时,y ? a x 为增函数, 且 ? , 所以 a 3 ? a 2 ; 若 1 ? a ? 0 时,y ? a x 3 2 1 1 1 1 为减函数,且 ? ,所以 a 3 ? a 2 。 3 2

[总结点评]1: 1. 当底数相同且明确底数 a 与 1 的大小关系时:直接用函数的单调性来解. 2.当底数相同但不明确底数 a 与 1 的大小关系时: 要分情况讨论.

3.当底数不同不能直接比较时:可借助中间数,间接比较上述两个数的大小.

例 3.截止到 1999 年底,我们人口约 13 亿,如果今后,能将人口年平均增长率控制在 1%, 那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿 2 经过 2 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%) 亿 2 3 经过 3 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%) 亿 x 经过 x 年 人口约为 13(1+1%) 亿 20 经过 20 年 人口约为 13(1+1%) 亿 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则

y ? 13(1 ? 1%) x
当 x =20 时, y ? 13(1 ? 1%)
20

? 16(亿)

答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿.

[总结点评]2: 类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间

x 后总量

y ? N (1 ? p) x , 像y ? N (1 ? p) x 等形如y ? ka x ( K ? R , a >0 且 a ≠1)的函数称为指数
型函数 .

例 4.如图是指数函数① y ? a x 与 1 的大小关系.

② y ? bx

③ y ? cx

④ y ? d x 的图象,判断 a, b, c, d

解:在图像上做一条直线 x=1,其与四个图像分别交于 A、B、C、D,交点的纵坐标分别为 a、 b、c、d,如图显然可得 c>d>a>b.

[总结点评]3: 在同一个坐标系中,不同底的指数函数在 y 轴右侧的图像越向上底越大。也可以用一 个特殊值法来解决,即画一条直线 x=1,其与每个对数函数的图像交点的纵坐标即为相应指 数函数的底数。

课堂巩固:
1.函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0, 且 a ? 1 ) 的图象必经过点___________. 2.解不等式: ( ) 3.方程 2
?x

1 2

x ?1

? 1.

? x 2 ? 3 的实数解的个数为________________

4.已知

,当其值域为

时,

的取值范围是_________

5.已知

,求函数
x? 1 2

的值域.

6.设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

答案:1.(2,2);2.

? ??,1? ;3.2;4. ?1, 2?

1 5 ?1 ? y ? ; y ? . ;5. ;6. ,16 ?? ,0 ? ? ?2 ? min max 2 2 ? ?

小结:
1.本节课研究了指数函数性质及其应用,关键是要记住 a >1 或 0< a <1 时 y ? a x 的 图象,在此基础上研究其性质 ,特别是关于函数的单调性的应用。 2.本节课还涉及到指数型函数的应用,形如 y ? ka (a>0 且 a ≠1).
x

作业:
1. 课本 P 59 习题 2.1A 组第 7、8 题; P 60 习题 2.1B 组 1、4 题。 2.跟踪资料本节内容,及课时作业。
1 1

1 1 a b 3.已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a 2 ? b 2 ;(2) 2 ? 2 ;(3) ? ;(4) a 3 ? b 3 ; a b

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( ? 3? ? 3?
A、1 个 4.若函数 B、2 个 ( 且

a

b

) C、3 个 ) 在区间 D、4 个

上的最大值是 14, 求 的值。

a x ?1 5.已知函数 f(x)= x (a>0 且 a≠1). a ?1
(1)求 f(x)的定义域和值域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性.

解答: 3. 解:C. 4. 解: a ? 3 或 a ?

1 . 3

5.(1)定义域为 R,值域为 ? ?1,1? ; (2)奇函数; (3) a ? 1 时,增区间为 R,无减区间; 0 ? a ? 1 时,减区间为 R,无增区间。



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