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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:1.2(含答案)



第一章
高考数学(理)黄金配套练习

1.2

第 2 课时

一、选择题 1.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题; ②“若 a>b,则 a2>b2”的逆否命题; ③“若 x≤-3,则 x2+x-6>0”的否命题; ④“若 ab 是无理数,则 a、b 是无理数”的逆命题. 其

中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 1 2.“a>1”是“a<1”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 答案 B 3.“a=-3”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[-3,+∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 4.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( ) A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M 答案 D 解析 命题的逆否命题. 5.已知 a、b 是实数,则 3a<3b 是 log3a<log3b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由题知, 3a<3b?a<b, log3a<log3b?0<a<b.故 3a<3b 是 log3a<log3b 的必要不充分条件.故选 B. 6.若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 当 x=4 时,a=(4,3),则|a|=5;若|a|=5,则 x=± 4.故“x=4”是“|a| =5”的充分而不必要条件. 1 7. “m<4”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的( ) A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 答案 A

解析

1 一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解 ?Δ=1-4m≥0?m≤4.

1 1 1 1 当 m<4时,m≤4成立,但 m≤4时,m<4不一定成立,故选 A. 8.设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由题可知,若 a1<a2<a3, 即?
?a1<a1q ?a1q<a1q
2

)

,当 a1>0 时,

解得 q>1, 此时数列{an}是递增数列, 当 a1<0 时,解得 0<q<1, 此时数列{an}是递增数列; 反之,若数列{an}是递增数列, 则 a1<a2<a3 成立, 所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件,故选 C. 二、填空题 9 . (1) 命 题 “ 等 腰 三 角 形 的 两 内 角 相 等 ” 的 逆 命 题 是 “________________________”. (2) 命 题 “ 两 个 奇 数 之 和 一 定 是 偶 数 ” 的 否 命 题 是 “________________________”. (3) 命 题 “ 正 方 形 的 四 个 角 相 等 ” 的 逆 否 命 题 是 “________________________”. 答案 (1)若一个三角形的两个内角相等,则这个三角形是等腰三角形 (2)若两个数不都是奇数,则它们的和不一定是偶数 (3)四个角不全相等的四边形不是正方形 10. a,b 为非零向量,“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数 ________条件. 答案 必要不充分 解析 f(x)=x2a· b+x(b2-a2)-a· b 当 a⊥b 时,a· b=0 2 2 f(x)=x(b -a ) 若|a|≠|b|为一次函数 若|a|=|b|为常数,∴充分性不成立. 当 f(x)为一次函数 ∴a· b=0 且 b2-a2≠0 ∴a⊥b 且|a|≠|b| ∴必要性成立. 11.命题 A∩B=A 是命题?UB??UA 的________条件. 答案 充要 12.命题“若 m>0,则关于 x 的方程 x2+x-m=0 有实根”与它的逆命题、否 命题、逆否命题中,真命题的个数是________. 答案 2

解析 原命题及其逆否命题为真命题. 三、解答题 13.写出命题“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y≥5”的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断其真假. 答案 略 解析 原命题:“若 x≥2 且 y≥3,则 x+y≥5”,为真命题. 逆命题:“若 x+y≥5,则 x≥2 且 y≥3”,为假命题. 否命题:“若 x<2 或 y<3,则 x+y<5”,其为假命题. 逆否命题:“若 x+y<5,则 x<2 或 y<3”,其为真命题. 14.已知命题 p:|x-2|<a(a>0),命题 q:|x2-4|<1,若 p 是 q 的充分不必要条 件,求实数 a 的取值范围. 答案 0<a≤ 5-2 解析 由题意 p: |x-2|<a?2-a<x<2+a, q: |x2-4|<1?-1<x2-4<1?3<x2<5 ?- 5<x<- 3或 3<x< 5. 又由题意知 p 是 q 的充分不必要条件. ?- 5≤2-a ? 所以有 ?2+a≤- 3 ? ?a>0 ? 3≤2-a ? ①或 ?2+a≤ 5 ? ?a>0 ②,由①得 a 无解;由②解得

0<a≤ 5-2. 15.已知 f(x)是(-∞,+∞)内的增函数,a,b∈R,对命题“若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).” (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 答案 略 分析 题干中已知函数的单调性,利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小 推导函数值的大小,当已知两个函数值的关系时,也可以推导自变量的取值的大 小.多个函数值的大小关系,则不容易直接利用单调性,故可考虑利用四种命题 的关系寻求原命题的等价命题. 解 (1)逆命题: 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)内的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(- b),则 a+b≥0. (用反证法证明)假设 a+b<0,则有 a<-b,b<-a. ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设中 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛看,故假 设不成立. 从而 a+b≥0 成立.逆命题为真. (2)逆否命题: 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)内的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(- b),则 a+b<0. 原命题为真,证明如下: ∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)内是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-b)+f(-a)=f(-a)+f(-b). ∴原命题为真命题. ∴其逆否命题也为真命题 .

拓展练习·自助餐
1 1 1.(1)“x>y>0”是“ x<y ”的________条件. 充分不必要 1 1 解析 x<y ?xy· (y-x)<0, 即 x>y>0 或 y<x<0 或 x<0<y. π (2)“tan θ≠1”是“θ≠4”的________条件. 答案 充分不必要 π 解析 题目即判断 θ=4是 tan θ=1 的什么条件,显然是充分不必要条件. π 1 2. “α=6+2kπ(k∈Z)”是 “cos2α=2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A π π 解析 由 α=6+2kπ(k∈Z),知 2α=3+4kπ(k∈Z), π 1 则 cos2α=cos3=2成立, 1 π π 当 cos2α=2时,2α=2kπ± 3,即 α=kπ± 6(k∈Z),故选 A. 3 6 3.若 a1 、a2、a3 均为单位向量,则 a1=( 3 , 3 )是 a1+a2+a3=( 3, 6) 的________条件. 答案 必要不充分 解析 由题意可知,|a1|=|a2|=|a3|=1,若 a1+a2+a3=( 3, 6),则|a1+a2 3 6 +a3|=3=|a1|+|a2|+|a3|,a1、a2、a3 共线且方向相同,即 a1=a2=a3=( , ); 3 3 3 6 若 a1=( 3 , 3 ),当 a1、a2、a3 不全相等时,a1+a2+a3≠( 3, 6),故为必要不 充分条件. 4.△ABC 中“cosA=2sinBsinC”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC,∴cos(B-C) 答案

π π π =0.∴B-C=2.∴B=2+C>2,故为钝角三角形,反之显然不成立,故选 B. 5 .设 M、N 是两个集合,则“M∪N≠?”是“M∩N≠?”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B 解析 M∪N≠?,不能保证 M,N 有公共元素,但 M∩N≠?,说明 M,N 中至 少有一元素,∴M∪N≠?. 故选 B.

教师备选题

1.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 因为 an+1>|an|?an+1>an?{an}为递增数列,但{an}为递增数列?an+1 >an 推不出 an+1>|an|,故“an+1>|an|(n=1,2?)”是“{an}为递增数列”的充分不 必要条件,选 B. 2.已知 A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则 x∈A 是 x∈B 的________条件. 答案 必要非充分条件 解析 A={x|x≥2 或 x≤0},B={x|x>2},由 x∈A?/ x∈B,但由 x∈B?x∈ A. 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn+q(p≠0,p≠1),则{an}为等比数列的 充要条件是________. 答案 q=-1 4.已知 A 为 xOy 平面内的一个区域.
x-y+2≤0 ? ? 命题甲:点(a,b)∈{(x,y)|?x≥0 }; ? ?3x+y-6≤0 命题乙:点(a,b)∈A. 如果甲是乙的充分条件,那么区域 A 的面积的最小值是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B

)

x-y+2≤0 ? ? 解析 设?x≥0 ? ?3x+y-6≤0

所对应的区域如右图所示的阴影部分 PMN 为集合 B.由题

1 意,甲是乙的充分条件,则 B?A,所以区域 A 面积的最小值为 S△PMN= 2 ×4×1 =2.故选 B.



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