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陕西省2014届高三下学期第一次联考数学(理)试题



陕西省 2014 届高三下学期第一次联考

数学(理)试题
考生注意: 1.本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上. 3.本试卷主要考试内容:高考全部内容,

第一部分(共 5 0 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) . 1.设 f : x

log2 x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 A={l,2,4},则对应的集合 B 等于
D.{1,2} D. y ? 31? x

A.{0,1} B.{0,2} C.{0,1,2} 2.下列函数中,在区间(1,+∞)上是增函数的是 A. y ? ? x ? 1 B. y ?

1 1? x

C. y ? ?( x ? 1)2

3.根据下列算法语句,当输入 a=-4 时,输出的 b 的值为 A.-8 B.5 C.5 D.8 4.复数 z ? (a ? 2i)i(a

R, i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 M,则“a=-1”是“点 M 在第四象限”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知空间上的两点 A(—1,2,1) 、B(—2,0,3) ,以 AB 为体对角线构造一个正方体,则该正方体的体积 为 A.3 B.2 3 C.9 D.3 3

6.函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13, 若f (1) ? 2, 则f (99) 等于 A.

2 13

B.

13 2

C.2

D.13

7.由 0,1,2,3,4 这 5 个数字组成没有重复数字且个位上的数字不能为 1 的 3 位数共有 A.28 个 B.36 个 C.39 个 D.42 个

?y ?1 ? 8.实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z=x—y 的最小值为-2,则实数 m 的值为 ?x ? y ? m ?
A.5 B.6 C.7 D.8

9.在 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且角 A=60°,若 S?ABC ? 的周长等于 A.8+ 19 B.14 C.10+3 5

15 3 ,且 5sinB=3sinC,则 ABC 4

D.18

10. 设互不相等的平面向量组 ai (i ? 1, 2,3,?) , 满足① ai ? 1 ; ② ai ? ai ?1 ? 0 . 若 Tm ? a1 ? a2 ? ? ? am (m ? 2) , 则 Tm 的取值集合为 A. {0, 2} B. {1, 3} C. {1, 2, 3} D. {0,1, 2}

第二部分(共 1 0 0 分)
二、填空题:把答案填在答题卷中的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11.双曲线

x2 y 2 ? ? 1的焦距为4 2 ,则 m= 4 m
2



12.二项式 (ax ?

2 x

)5 的展开式中常数项为 160,则 a 的值为



13.已知 ,照此规律,第五个等式为 14.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,如图所示,长方形 ABCD(AB AD)的周 长为 4 米,沿 AC 折叠使 B 到 B′位置,AB′交 DC 于 P.研究发现当 ADP 的面积 最大时最节能,则最节能时长方形 ABCD 的面积为 . 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)函数 的值域为 。 B. (几何证明选做题)如图,已知 AB 和 AC 是网的两条弦,过点 B 作圆的 切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E, 与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF=



3 ,则线段 CD 的长为 2



C. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? R ) ,它与曲线

? x ? 1 ? 2cos ? (? 为参数)相交于 A 和 B 两点,则 AB= ? ? y ? 2 ? 2sin ?



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) . 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (?1,cos ? x ? 3sin ? x), n ? ( f ( x),cos ? x), 其中? 两相邻对称轴间距为 ? . (1)求ω 的值; (2)探讨函数 f ( x)在(?? , ? ) 上的单调性.

0 且 m⊥n,又函数 f ( x) 的图像任意

3 2

17. (本小题满分 12 分) (1)设 {an } 是公差为 d 的等差数列,推导公式:若 (2)若 {bn } 的前 n 项和 Sn ? An2 ? Bn ? C ,证明当 C≠0 时,数列 {bn } 不是等差数列. ;

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°,E、F 分别是 BC, PC 的中点. (1)证明:AE⊥平面 PAD; (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 3 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 袋中有大小相同的四个球,编号分别为 1、2、3、4,从袋中每次任取一个球,记下其编号.若所取球的编 号为偶数,则把该球编号改为 3 后放同袋中继续取球;若所取球的编号为奇数,则停止取球. (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率; (2)若第一次取到偶数,记第二次和第一次取球的编号之和为 X,求 X 的分布列和数学期望,

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l: x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M,N 两点,使得 PA=PN,再过 P 作直线

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点(3,-1) . 2 a b 3

l ? ? MN , 证明 : 直线l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标.

21. (本小题满分 1 4 分) 已知函数 (1)当 a=-4 时,求 f ( x ) 的最小值; (2)若函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 t≥1 时,不等式 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围,

高三数学试卷参考答案(理科) 1.C 由题意得 B={0,1,2}. 1 2.B 由题意可知:函数 y= 在(1,+∞)上是增函数. 1-x 3.A 因为 a=-4<3,所以 b=a-4=-4-4=-8. 4.A ∵ z=(a-2i)i=2+ai,∴ 当 a<0 时,点 M 在第四象限,∴ “a=-1”是“点 M 在第四象限”的充分而不 必要条件. 5.D |AB|= 1+4+4=3,设正方体的棱长为 a,则 3a=3,解得 a= 3,所以正方体的体积为 3 3. 13 13 13 6.B 因为 f(x)· f(x+2)=13,所以 f(x+2)= ,解得函数 f(x)周期为 4,f(99)=f(3)= = . f(x) f(1) 2
1 2 7.C 由 0,1,2,3,4 这 5 个数字组成没有重复数字的 3 位数有 C4 A4个,其中个位上的数字为 1 的 3 位 1 1 1 2 1 1 数有 C3C3个,则所求 3 位数有 C4A4-C3C3=39 个.

8.D

?y≥1, ? 先做? 的区域如图可知在三角形 ABC ? ?y≤2x-1

区域内,由 z=x-y 时直线为 y=x-(- 象可知, 目标函数在
? ?y=2x-1 ? ?y=x+2 ?

得 y=x-z 可知,直线的截距最大时,z 取得最小值,此 2)=x+2,作出直线 y=x+2,交 y=2x-1 于 A 点,由图 该点取得最小值,所以直线 x + y = m 也过 A 点,由
? ?x=3 ? ,代入 x+y=m 得,m=3+5=8. ? ?y=5





9. A

?bc=15, ? 1 1 3 15 ∵ S△ ABC= bcsin A= bc× = 3, ∴ bc=15.又 5sin B=3sin C, 根据正弦定理得 5b=3c.由? 2 2 2 4 ?5b=3c, ?

解得 b=3,c=5,∴ 由余弦定理得 a= b2+c2-2bccos A= 19,∴ △ ABC 的周长为 8+ 19. 10.D 由题知 a1⊥ a2,a2⊥ a3,a3⊥ a4,则 a1=-a3,a2=-a4,a1⊥ a4,且 i 的最大值为 4.
2 T2 a2 a2+a1· a3+…+am-1· am) m=(a1+a2+…+am) = ∑ i +2(a1· = i 1 m

=m+2(a1· a2+a1· a3+…+am-1· am).
2 2 若 m=2 时,Tm =2,Tm= 2;若 m=3 时,Tm =1,Tm=1;若 m=4 时,T2 m=0,Tm=0. 2 2 11.4 由题可知 c=2 2,∴ m=c -a =8-4=4. 12.2 由通项公式得常数项为(-2)4· C4 5a=160,解得 a=2.

13. 6 6 . 35

6 6+ =6 35

6 35

由前三个式子归纳的规律为

n n+ 2 =n n -1

n ,所以第五个式子为 n -1
2

6 6+ = 35

14.2 2-2 设 AB=x,DP=y,BC=2-x,PC=x-y.因 x>2-x,故 1<x<2,因△ ADP≌ △ CB′P,故 PA=

1 1 PC=x-y.由 PA2=AD2+DP2, 得(x-y)2=(2-x)2+y2?y=2(1- ), 1<x<2, 记△ ADP 的面积为 S1, 则 S1=(1- )(2 x x 2 -x)=3-(x+ )≤3-2 2, 当且仅当 x= 2∈ (1, 2)时, S1 取得最大值, 此时长方形 ABCD 的面积 S2=x(2-x)= 2 x (2- 2)=2 2-2. 15.A.[2,+∞) f(x)=|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2. 4 B. 如图,连结 BC,BE,则∠ 1=∠ 2,∠ 2=∠ A, 3 CB BF CB CF ∴ ∠ A=∠ 1,又∠ B=∠ B,∴ △ CBF∽ △ ABC,∴ = , = ,代入数值得 BC AB BC AB AC AC AF 4 =2, AC=4, 又由平行线等分线段定理得 = , 解得 CD= . CD FB 3 ?x=1+2cos α, ? C. 14 把曲线? (α 为参数)化为直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,把直线的极坐标方程 θ ? ?y=2+2sin α |1-2| π 2 = (ρ∈ R)转化为直角坐标方程为 y=x,圆心到直线的距离为 d= = ,所以|AB|=2 r2-d2= 14. 4 2 2 1+cos 2ωx 3sin 2ωx π 16.解:(1)由题意,得 m· n=0,所以 f(x)=cos ωx· (cos ωx+ 3sin ωx)= + =sin(2ωx+ ) 2 2 6 1 + . 2 根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π, 1 又 ω>0,所以 ω= .(5 分) 3 2 π 1 (2)由(1)知 f(x)=sin( x+ )+ , 3 6 2 π 2 π 5π ∵ x∈ (-π,π),∴ - < x+ < , 2 3 6 6 π 2 π π π 当- < x+ < ,即-π<x< 时,函数 f(x)单调递增; 2 3 6 2 2 π 2 π 5π π 当 ≤ x+ < ,即 ≤x<π 时,函数 f(x)单调递减. 2 3 6 6 2 π π 综上可知,函数 f(x)在(-π, )上单调递增,在[ ,π)上单调递减.(12 分) 2 2 17.解:(1)因为数列{an}为等差数列,所以 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d, ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+ (p+q-2)d,又 m+n=p+q,所以 am+an=ap+aq.(6 分) (2)当 n=1 时,b1=S1=A+B+C;当 n≥2 时, bn=Sn-Sn-1=An2+Bn+C-[A(n-1)2+B(n-1)+C]=2An-A+B,即当 n≥2 时, 数列{bn}的通项公式为 bn=2An-A+B,当 n=1 时,b1=A+B+C≠A+B,所以数列{bn}不是等差数列.(12 分) 18.(1)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ ABC=60° ,可 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥ BC. 又 BC∥ AD,因此 AE⊥ AD. 因为 PA⊥ 平面 ABCD,AE 平面 ABCD,所以 PA⊥ AE. 而 PA 平面 PAD,AD 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥ 平面 PAD. (4 分) (2)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连结 AH,EH. 由(1)知 AE⊥ 平面 PAD,则∠ EHA 为 EH 与平面 PAD 所 得△ ABC 为正三角形.

成的角.

在 Rt△ EAH 中,AE= 3,所以当 AH 最短时,∠ EHA 最大, AE 3 即当 AH⊥ PD 时,∠ EHA 最大.此时 tan∠ EHA= = = 3 , AH AH 2 3 因此 AH=1.又 AD=2,所以∠ ADH=30° ,所以 PA=AD tan 30° = .(8 分) 3 (法一)因为 PA⊥ 平面 ABCD,PA 平面 PAC,所以平面 PAC⊥ 平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥ AC 于 O,则 EO⊥ 平面 PAC, 过 O 作 OS⊥ AF 于 S,连结 ES,则∠ ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△ AOE 中,EO=AE· sin 30° = 3 3 ,AO=AE· cos 30° = . 2 2 4 3 , 3

又 F 是 PC 的中点,如图,PC= PA2+AC2= 1 2 3 1 ∴ AF= PC= ,sin ∠ SAO= FK = , 2 3 2 AF 3 在 Rt△ ASO 中,SO=AO· sin ∠ SAO= , 4 所以 SE= EO2+SO2= 3 9 21 + = , 4 16 4

3 4 SO 21 在 Rt△ ESO 中,cos∠ ESO= = = , SE 7 21 4 即所求二面角的余弦值为 21 .(12 分) 7 建立如图所示的空间直 B( 3,-1,0),C( 3,

(法二)由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点, 角坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以 A(0,0,0), 1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E( 3,0,0),F( 3 1 3 → → 所以AE=( 3,0,0),AF=( , , ). 2 2 3 设平面 AEF 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), 3x =0, → ? ? ? 1 AE=0, ?m· 则? 因此? 3 1 3 → ?m· ? AF=0, ? ? 2 x1+2y1+ 3 z1=0. 2 3 取 z1=-1,则 m=(0, ,-1),因为 BD⊥ AC,BD⊥ PA,PA∩AC=A, 3 → 所以 BD⊥ 平面 AFC,故BD为平面 AFC 的一个法向量. → m· BD → → 又BD=(- 3,3,0),所以 cos〈m,BD〉= = → |m||BD| 2 3 21 = . 7 7 × 12 3 21 .(12 分) 7 3 1 3 , , ), 2 2 3

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

19.解:(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件 A. 2 1 易知第一次取到偶数球的概率为 = ,第二次取球时袋中有三个奇数, 4 2 3 所以第二次取到奇数球的概率为 ,而这两次取球相互独立, 4 1 3 3 所以 P(A)= × = .(6 分) 2 4 8 (2)若第一次取到 2 时,第二次取球时袋中有编号为 1,3,3,4 的四个球; 若第一次取到 4 时,第二次取球时袋中有编号为 1,2,3,3 的四个球. 所以 X 的可能取值为 3,5,6,7, 1 1 1 1 2 1 1 3 所以 P(X=3)= × = ,P(X=5)= × + × = , 2 4 8 2 4 2 4 8 1 1 1 1 1 1 2 1 P(X=6)= × + × = ,P(X=7)= × = , 2 4 2 4 4 2 4 4 所以 X 的分布列为 X P 3 1 8 5 3 8 6 1 4 7 1 4

1 3 1 1 11 数学期望 EX=3× +5× +6× +7× = .(12 分) 8 8 4 4 2 9 1 20.解:(1)由题意知点(3,-1)在椭圆 C 上,即 2+ 2=1, ① a b
2 2 6 c2 a -b 6 2 又椭圆的离心率为 ,所以 2= 2 =( )2= ,② 3 a a 3 3

x2 y2 联立① ② 可解得 a2=12,b2=4,所以椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 12 4 (2)因为直线 l 的方程为 x=-2 2,设 P(-2 2,y0),y0∈(- 当 y0≠0 时,设 M(x1,y1),N(x2,y2),显然 x1≠x2, x2 1
2 2

2 3 2 3 , ), 3 3

?12+ 4 =1, x -x y -y y -y 1 x +x 联立? 则 + =0,即 =- · , 12 4 3 y +y x -x x y + = 1 , ?12 4
2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2

y2 1

又 PM=PN,即 P 为线段 MN 的中点, 1 -2 2 2 2 故直线 MN 的斜率为- · = , 3 y0 3y0 3y0 又 l′⊥ MN,所以直线 l′的方程为 y-y0=- (x+2 2), 2 2 3y0 4 2 即 y=- (x+ ), 3 2 2 4 2 显然 l′恒过定点(- ,0); 3

4 2 当 y0=0 时,直线 MN 即 x=-2 2,此时 l′为 x 轴亦过点(- ,0). 3 4 2 综上所述,l′恒过定点(- ,0).(13 分) 3 21.解:(1)f(x)=x2+2x-4ln x(x>0), 4 2(x+2)(x-1) f′(x)=2x+2- = , x x 当 x>1 时,f′(x)>0,当 0<x<1 时,f′(x)<0, ∴ f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴ f(x)min=f(1)=3.(4 分)
2 a 2x +2x+a (2)f′(x)=2x+2+ = , x x

若 f(x)在(0,1)上单调递增,则 2x2+2x+a≥0 在 x∈ (0,1)上恒成立 ? a≥-2x2-2x 恒成立, 1 1 令 u=-2x2-2x,x∈ (0,1),则 u=-2(x+ )2+ , 2 2 ∴ a≥0. 若 f(x)在(0,1)上单调递减,则 2x2+2x+a≤0 在 x∈ (0,1)上恒成立 ? a≤-2x2-2x 恒成立, 故 a≤-4. 综上,a 的取值范围是(-∞,-4]∪ [0,+∞).(8 分) 2 (3)(2t-1) +2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t2+4t+2aln t-3 恒成立 ? a[ln(2t-1)-2ln t]≥-2t2+4t-2 ? a[ln(2t-1) -ln t2]≥2[(2t-1)-t2]. 当 t=1 时,不等式显然成立, 2[(2t-1)-t2] 当 t>1 时, t2-(2t-1)=t2-2t+1=(t-1)2>0 ? t2>2t-1 ? ln t2>ln(2t-1) ? a≤ 在 t>1 ln(2t-1)-ln t2 时恒成立. 2[(2t-1)-t2] 令 u= ,即求 u 的最小值. ln(2t-1)-ln t2 ln(2t-1)-ln t2 设 A(t2,ln t2),B(2t-1,ln(2t-1)),则 kAB= ,且 A、B 两点在 g(x)=ln x 的图像上,又∵ t2 (2t-1)-t2 1 >1,2t-1>1,故 0<kAB<g′(1)=1,∴ u=2· >2,故 a≤2, kAB 即实数 a 的取值范围是(-∞,2].(14 分)



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