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2013年高考新课标1理科数学试题及答案



绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I 卷) 数学(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他

答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的.
2 (1)已知集合 A ? ?x x ? 2 x ? 0?, B ? ?x ? 5 ? x ? 5 ,则

?

(A) A I B ? ?

(B) A U B ? R

(C) B ? A

(D) A ? B

(2)若复数 z 满足 ?3 ? 4i ?z ? 4 ? 3i (A) ? 4 (B) ?

4 5

(C)4

(D)

4 5

(3) 为了解某地区中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男 女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (A)简单的随机抽样 (C)按学段分层抽样 (4)已知双曲线 C : (A) y ? ? (B)按性别分层抽样 (D)系统抽样

5 x2 y2 ,则 C 的渐近线方程为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
(B) y ? ?

1 x 4

1 x 3

(C) y ? ?

1 x 2

(D) y ? ? x

(5)执行右面的程序框图,如果输入的 t ? ?? 1 , 3? ,则输出的 s 属于

4? (A) ?? 3,

2? (B) ?? 5,

3? (C) ?? 4,

5? (D) ?? 2,

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(6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口, 再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如不计容器的厚度,则球的 体积为

500 π 3 cm 3 1372 π 3 (C) cm 3
(A)

866 π 3 cm 3 2048 π 3 (D) cm 3
(B)

(7)设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S m?1 ? ?2 , S m ? 0 , S m ?1 ? 3 ,则 m ? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 16 ? 8π (B) 8 ? 8π (C) 16 ? 16π (D) 8 ? 16π

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(9)设 m 为正整数, ? x ? y ? 展开式的二项式系数的最大值为 a , ?x ? y ?
2m

2 m ?1

展开式的二

项式系数的最大值为 b ,若 13a ? 7b ,则 m = (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

x2 y2 (10)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) , 过点 F 的直线交椭圆 E 于 a b

A 、 B 两点。若 AB 的中点坐标为 (1, ? 1) ,则 E 的方程为
(A)

x2 y2 ? ?1 45 36

(B)

x2 y2 ? ?1 36 27 x2 y2 ? ?1 18 9

(C)

x2 y2 ? ?1 27 18
? ? x 2 ? 2 x,? 0 ?ln ( x ? 1), x>0

(D)

(11)已知函数 f ( x ) ? ?

,若 f ( x ) ? ax ,则 a 的取值范围是

(A) ?? ?, 0?

(B) ?? ?, 1?

(C) ?? 2, 1?

(D) ?? 2, 0?

(12)设 △ An Bn Cn 的三边长分别为 a n , bn , c n , △ An Bn Cn 的面积为 S n , n ? 1,2,3 …… 若 b1 > c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ? (A) ?S n ? 为递减数列 (B) ?S n ? 为递增数列 (C) ?S 2 n ?1? 为递增数列, ?S 2 n ? 为递减数列
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cn ? a n b ? an , cn ?1 ? n ,则 2 2

(D) ?S 2 n ?1? 为递减数列, ?S 2 n ? 为递增数列

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60° , c ? ta ? (1 ? t )b .若 b ? c =0,则

t =____________.
(14) 若数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ?

2 1 则数列 ?a n ?的通项公式是 a n =____________. an ? , 3 3

(15)设当 x ? θ 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos? =____________. (16)若函数 f ( x) ? (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值
2 2

为____________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 如图,在 △ABC 中, ?ABC =90° , AB ? 3 , BC ? 1 ,

P 为 △ABC 内一点, ?BPC =90°
(Ⅰ)若 PB ?

1 ,求 PA ; 2

(Ⅱ)若 ?APB =150° ,求 tan ?PBA .

(18) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA . 1 =60° (Ⅰ)证明 AB ⊥ A1C ;

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(Ⅱ)若平面 ABC ⊥平面 AA1 B1 B , AB ? CB ,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正 弦值。

(19) (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产 品中优质品的件数记为 n .如果 n ? 3 ,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则 这批产品通过检验;如果 n ? 4 ,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产 品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为 是否为优质品相互独立. (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

1 ,且各件产品 2

(20) (本小题满分 12 分) 已知圆 M :( x ? 1) ? y ? 1 , 圆 N :( x ? 1) ? y ? 9 , 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N
2 2 2 2

内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的 半径最长时,求 AB .

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(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b , g ( x) ? e (cx ? d ) 若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都
2 x

过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 . (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ? -2 时, f ( x) ? kg( x) ,求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题 号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本 选考题的首题进行评分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点 C 在圆上,∠ ABC 的角平分线 BE 交圆于 点 E , DB 垂直 BE 交圆于 D . (Ⅰ)证明: DB ? DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1, BC ? 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F ,求 △BCF 外接圆的半径.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程式 ?

? x ? 4 ? 5 cos t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点,以坐标原 ? y ? 5 ? 5 sin t

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? .

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(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C 2 交点的极坐标( ? ? 0 , 0 ? ? ? 2π )

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? a , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案

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