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高考数学一轮复习(一) 集合与函数


高考一轮复习(一) ——集合与函数
一、集合 1.集合的含义与表示
(1)集合的概念:集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法: N 表示自然数集, N *或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理 数集, R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系:对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法: ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元 素的集合叫做空集( ? ).

2.集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A
A? B (或
B ? A)

性质

示意图

子集

A 中的任一元素 都属于 B

(2) ? ? A
A(B)
B A

(3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B



A?B 真子 集
?

A ? B ,且 B 中

(1) ?? A (A 为非空子集)
?
B A

(或 B ? A)
?

B 且 B ? C ,则 A ? C 至少有一元素不 (2)若 A ? ? ? ? 属于 A
A 中的任一元素 (1)A ? B 都属于 B, B 中的 任一元素都属于 (2)B ? A A

集合 相等

A? B

A(B)

(7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子集,它有 2 n ? 1 个非空子集, 它有 2n ? 2 非空真子集.

3.集合的基本运算
(8)交集、并集、补集

名 称 交 集

记 号
A? B

意义
{x | x ? A, 且
x ? B}

性质 (1) A ? A ? A (3) A ? B ? A (1) A ? A ? A (3) A ? B ? A (2) A ? ? ? ?
A? B ? B

示意图

A

B

并 集

A? B

{x | x ? A, 或

(2) A ? ? ? A
A? B ? B
A B

x ? B}

补 集

?U A

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) 痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B)

1

A ? (? U A) ? ?

2 A ? (?U A) ? U

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法 不等式
| x |? a(a ? 0) | x |? a(a ? 0)

解集
{x | ?a ? x ? a}
x | x ? ?a 或 x ? a}

把 ax ? b 看成一个整体,化成 | x |? a ,
| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)

| x |? a(a ? 0) 型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法 判别式
? ? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
O

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

的根
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

(其中 x1 ? x2 )

b 2a

无实根

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

的解集
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

b } 2a

R

{x | x1 ? x ? x2}

?

?

的解集

二、命题
1.命题:可以判断真假的语句 逻辑连接词有“或” 、 “且”和“非”. p、q 形式的复合命题的真值表: p q 真 真 真 假 假 真 假 假 2.命题的四种形式及其相互关系
原命题 若p则q 互 互 否 否命题 若﹃p则﹃q 否 否 互 为 逆 逆 否 逆 互 互 互 否 逆否命题 若﹃q则﹃p 逆 逆命题 若q则p

P且q 真 假 假 假

P或q 真 真 真 假

原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.

三、函数及其表示 1.函数的概念
(1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集 合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对 应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B . ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [a, b] ;满足
a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合

叫做半开半闭区间,分别记做 [a, b) , (a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别 记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . 注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 (a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b .

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ? ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ? (k ? Z ) . 2 ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初 等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题, 一般步骤是: 若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] , 其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的. 事实上, 如果在函数的值域中存 在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是 相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法: 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和, 然后根据变量的取值范围确定 函数的值域或最值. ③不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ④换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题 转化为三角函数的最值问题. ⑤数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 ⑥函数的单调性法.

2.函数的表示法
1.函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两 个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2.映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫 做集合 A 到 B 的映射,记作 f : A ? B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元 素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象.

四、函数的基本性质 1.单调性与最大(小)值
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质

定义

图象

判定方法
(1)利用定义 (2)利用已知函 数的单调性 (3)利用函数图 象(在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函 数 (1)利用定义 (2)利用已知函 数的单调性 (3)利用函数图 象(在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函 数

如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1、x2, 当 x1< x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增 函数.
函数的 单调性

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1、x2, 当 x1< x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减 函数.

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个 减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为 增;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为减, 则 y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.
a (2)打“√”函数 f ( x) ? x ? ( a ? 0) 的图象与性质 x
f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,
y

分别在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数. (3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2) 存在 x0 ? I , 使得 f ( x0 ) ? M . 那么, 我们称 M 是函数 f ( x) 的最大值, 记作 f max ( x) ? M . ②一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有
o
x

( 2 )存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f ( x) ? m ;

f max ( x) ? m .

3.奇偶性
(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 定义 性 质 如果对于函数 f(x)定 义域内任意一个 x, 都 有 f( - x)= - f(x) ,那 . . . . . . . . . . . 么函数 f(x)叫做奇函 .. 数 . . 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定 义域内任意一个 x, 都 有 f( - x)= f(x) , 那么 . . . . . . . . . . 函 数 f(x) 叫 做 偶 .函 . 数 . . ②若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶 函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.

图象

判定方法 (1)利用定义 (要先判断定义 域是否关于原点 对称) (2)利用图象 (图象关于原点 对称) (1)利用定义 (要先判断定义 域是否关于原点 对称) (2)利用图象 (图象关于 y 轴 对称)

〖补充知识〗函数的图象
(1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各 种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x)
原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求 解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.


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