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2013-2014高一上学期数学期末试题1



2013--2014 学年度上学期高一期末考试

数学试卷 1
第 I 卷(选择题)
一 选择题

1. 已知 P(x,y)是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切 线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A.3 2. $selection$ 3. 若直线 mx ? y ? 2m ? 0 与直线 (3m ? 4) x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 m 的值是( A. ?1 或 ) B. )

21 2

C. 2 2

D.2

1 3

B. 1 或

1 3

C. ? 或 ?1

1 3

D. ? 或 1

1 3

4. 已知点 A(?1, 0), B(1, 0), C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分,则

b 的取值范围是(
A. (0,1)

) B. (1 ?

2 1 , ) 2 2

( C) (1 ?

2 1 1 1 , ] D. [ , ) 3 2 2 3

5. 坐标系中的正三角形 A. B.0

,若

所在直线斜率是零,则 C. D.

所在直线斜率之和为

6. 过点 P (1,3) 且在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距相等的直线方程为( A. x ? y ? 4 ? 0 B. 3 x ? y ? 0

)

C. x ? y ? 4 ? 0 或 3 x ? y ? 0 D. x ? y ? 4 ? 0 或 3 x ? y ? 0 7. 若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点(0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 A. a ? 1, b ? 1 B.

a ? ?1, b ? 1

C. a ? 1, b ? ?1

D. a ? ?1, b ? ?1

8. 已知直线 l1: y=xsinα 和直线 l2: y=2x+c,则直线 l1 与 l2 ( ) A.通过平移可以重合 B.不可能垂直 C.可能与 x 轴围成等腰直角三角形 D.通过绕 l1 上某一点旋转可以重合 9. 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0.(a ? 0, b ? 0) 被圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 截得的弦长为 4,则

1 1 ? 的最 a b

小值为( A.1

) B.2
2

C.3 + (y-1) D.2
2

D.4 =0 的切线,设 T 为切点,则切线长 PT =( )

10. 过点 P(2,3)做圆 C:(x-1) A. 5 B.5 C.1

11. 过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 7 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0



12. 已知点 A(1, 3) , B (?2, ? 1) ,若直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 1 与线段 AB 没有交点,则 k 的取值范围 是( ) B. k ? ?2 C. k ?

1 A. k ? 2

1 或 k ? ?2 2

D. ?2 ? k ?

1 2

二 填空题

13. 若直线 3x+y+a=0 过圆 x 2 ? y 2 +2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为 14. 已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2 x ? y ? 0 和 x ? ay ? 0 上,且 AB 线段的中点为

10 ) ,则线段 AB 的长为____________. a m 15. 直线 y ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? mx ? ny ? 4 ? 0 交于 M 、 N 两点,且 M 、 N 关于直线 x ? y ? 0 2 对称,则弦 MN 的长为
P (0, 16. 若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a ) 2 ? y 2 ? 4 截得弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为
三 解答题

17. 如图,已知两条直线 l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0,过定点 P(-1,2)作一条直线 l,分别与 l1,l2 交于 M、N 两点,若 P 点恰好是 MN 的中点,求直线 l 的方程.

18. 经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上,且关于

y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线
平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程。 2

19. 点 P 是圆 ( x ? 6) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上的动点, O 为原点,求 OP 中点 Q 的轨迹参数方程。 20. 在平面直角坐标系 xoy 中,动点 M 到定点 F (0, ) 的距离比它到 x 轴的距离大 轨迹是曲线 E . (1)求曲线 E 的轨迹方程; (2) 设直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与曲线 E 相交于 A 、 B 两点,已知圆 C 经过原点 O 和 A、B 两点,求圆

1 4

1 ,设动点 M 的 4

C 的方程,并判断点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ? 是否在圆 C 上.
21. 已知两条直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ;试确定 m, n 的值,分别使 (1) l1 与 l 2 相交于点 P( m , - 1 ) ; (2) l1 ? l 2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1。 22. 求满足下列条件的圆 x2+y2=4 的切线方程: (1)经过点 P( ,1);(2)经过点 Q(3,0);(3)斜率为-1.

参考答案 一、单项选择 1.【答案】D

【解析】由圆的方程得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,所以圆心为 (0,1) ,半径为 r ? 1 ,四边形的面积

S ? 2S ? PBC , 所以若四边形 PACB 的最小面积是 2 ,所以 S ? PBC 的最小值为 1 ,而
S ? PBC ? 1 r PB ,即 PB 的最小值为 2 ,此时 PC 最小为圆心到直线的距离,此时 2

d?

5 k ?1
2

? 12 ? 22 ? 5 , 即 k 2 ? 4 , 因 为 k ? 0 , 所 以 k ? 2 , 选

D. 2.【答案】D 【解析】 3.【答案】B 【解析】 4.【答案】B 【解析】 依题意有: b ? (0,1) ,当直线过点 (?1, 0) 时,要将 ?ABC 分割为面积相等的两部分, 直线必须过点 ( , ) ,此时有 ? a ? b ? 0 且

1 1 2 2

1 1 1 a ? b ? ? b ? ,当 a ? 1 时,直线 2 2 3

y ? ax ? b 平行于直线 AC,要将 ?ABC 分割为面积相等的两部分,可求得 b ? 2 ? 1 .

5.【答案】B 【解析】 6.【答案】D 【解析】 7.【答案】A 【解析】 8.【答案】D 【解析】

9.【答案】D 【解析】 10.【答案】D 【解析】 11.【答案】C 【解析】

1 3 1 其斜率为 k ? 。 因为所求直线跟直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 x? , 2 2 2 1 平行,所以所求直线的斜率也为 k ? ,由直线的点斜式方程: y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 得, 2 1 y ?3 ? ? x ? ? ?1? ? ? ,即 x ? 2 y ? 7 ? 0 。 2?
直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 化为 y ? 12.【答案】C 【解析】 二、填空题 13.【答案】1 【解析】 14.【答案】10

1 【解析】直线 2 x ? y ? 0 的斜率为 2, x ? ay ? 0 的斜率为 a 。因为两直线垂直,所以 ? ? 1 1 ?? a 2 ,所以 a ? 2 。所以直线方程 x ? 2 y ? 0 ,中点 P(0,5) 。则 OP ? 5 ,在直角三

角形中斜边的长度 AB ? 2OP ? 2 ? 5 ? 10 ,所以线段 AB 的长为 10 15.【答案】4 【解析】 16.【答案】 0或4 【解析】 三、解答题 17.【答案】设所求直线 l 的方程为: y=k(x+1)+2



交点 M 的横坐标 xM=

.

由 ∵P 为 MN 的中点,

交点 N 的横坐标 xN=

∴ 所求直线 l 的方程为 x+2y-3=0.

.

【解析】 18.【答案】 (1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x 2 ? ? y ? 1? ? y ? 1 .
2

整理,得 x 2 ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x 2 ? 4 y 方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的 距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线. 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x 2 ? 4 y . (2)由(1)得 x 2 ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 k BC ? x0 . 2 4 ?

由题意知点 A ? ? x0 ,

? ?

1 2? ? 1 ? ? 1 ? x0 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? 4 ? ? 4 ?

则 k BC

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 4 ? ? 1 2 ? x0 , x1 ? x2 4 2

即 x1 ? x2 ? 2 x0 .

因为 k AC

1 2 1 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x ? x x ?x 4 4 ?4 ? 1 0 , k AB ? 4 ? 2 0. x1 ? x0 4 x2 ? x0 4

由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB . 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD .

(3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? . 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 ? x 2 ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4,

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? ?. 4 ?

所以 AB ? 2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 . 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 . 所以△ ABC 的面积 S ? 解得 x0 ? ?3 . 当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, ? , k BC ? 直线 BC 的方程为 y ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

? ?

1? 4?

3 , 2

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . 4 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? , 2 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? . 2

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,所以 ?CAB ? 90? ,即 AC ? AB . 由(2)知 k AC ? 所以 k AC k AB

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4 x ?x x ?x ? 1 0 ? 2 0 ? ?1 . 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?

? x1 ? x0 ? 4, ? x2 ? x0 ? 4.

因为 AB ?

1 2 1 2? 2 ? x2 ? x0 ? ? ? ? x2 ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 , 4 ?4 ?

2

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 . 以下同方法 1. 【解析】 19.【答案】 解:∵圆 ( x ? 6) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 的参数方程为 ? ∴ P 的坐标为 (6 ? 2 cos ? , 4 ? 2sin ? ) , 设 Q 的坐标为 ( x, y ) ,又 O 坐标为 (0, 0) , 由中点公式得 ? 【解析】 20.【答案】 【解析】 (1)由已知,即动点 M 到定点 F (0, ) 的距离等于它到定直线 x ? ? 点 M 的轨迹曲线 E 是顶点在原点,焦点为 F (0, ) 的抛物线和点 (0, ? ) ∴曲线 E 的轨迹方程为 x 2 ? y 和 y ? ? (2)由 ?

? x ? 6 ? 2 cos ? , ? y ? 4 ? 2sin ?

? x ? 3 ? cos ? ,即 Q 的轨迹参数方程。 ? y ? 2 ? sin ?

1 4

1 的距离,∴动 4

1 4

1 4

1 ( x ? 0) . 4

?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? y
2

解得 ?

? x ? ?1 ? x ? 2 或? ?y ?1 ?y ? 4

即 A(?1,1) , B (2,4) 设过原点与点 A 、 B 的圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

?F ? 0 ? D ? ?2 ? ? 则 ?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ,解得 ? E ? ?4 ?4 ? 16 ? 2 D ? 4 E ? F ? 0 ?F ? 0 ? ?
∴圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

由上可知,过点 M (0,4) 且与直线 l 垂直的直线 MM ? 方程为: y ? ? x ? 4

解方程组 ?

? y ? ?x ? 4 ?x ? 1 ,得 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 3

即线段 MM ? 中点坐标为 H (1,3) 从而易得点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ? 的坐标为 M ?(2,2) 把代入 M ?(2,2) 代入: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ∴点 M ?(2,2) 不在圆 C 上. 21.【答案】 (1)∵ l1 与 l 2 交于点 P(m,- 1) ,∴ ?

?m 2 ? 8 ? n ? 0 ?2 m ? m ? 1 ? 0

,解得:m ? 1, n ? 7 ;

(2)当且仅当 m ? 2 ? 8 ? m ? 0 时、即 m ? 0 时, l1 ? l 2 ,又 ? n ? ?1 ,∴ n ? 8 。
8

【解析】 22.【答案】(1)∵(
2 2

)2+12=4,∴点 P(

,1)在圆上,故所求切线方程为

x+y=4.

(2)∵3 +0 >4,∴点 Q 在圆外.设切线方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0.

∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,∴

=2,k=±

,∴所求切

线方程为 y=±

(x-3),即 2x±

y-6=0.

(3)设圆的切线方程为 y=-x+b,代入圆的方程,整理得 2x2-2by+b2-4=0,∵直线与 圆相切, ∴Δ =(-2b) -4×2(b -4)=0.解得 b=±2 【解析】
2 2

.∴所求切线方程为 x+y±2

=0



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