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高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.6 微积分基本定理



课时提升作业(十一)
微积分基本定理

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)

1.(2013·江西高考)若 s1= 关系为( A.s1<s2<s3 C.s2<s3<s1 )

x2dx,s2=

dx,s3=

exdx 则 s1,s2,s

3 的大小

B.s2<s1<s3 D.s3<s2<s1

【解题指南】根据微积分基本定理,分别求出 s1,s2,s3 的值,进行比较即可. 【解析】选 B.因为 s1= x3 = (23-13)= <3; s2=lnx| 12 =ln2-ln1=ln2<1;s3=ex| 12 =e2-e>3.所以 s2<s1<s3.

【变式训练】 设 a= A.c>a>b C.a=b>c

xdx, b=

x2dx, c= B.a>b>c D.a>c>b

x3dx, 则 a, b, c 的大小关系是(

)

【解析】选 B.a= x2| 10 = , b= x3| 10 = ,c= x4| 10 = .所以 a>b>c.

2.(2014·东莞高二检测)已知积分

(kx+1)dx=k,则实数 k=(

)

A.2

B.-2

C.1

D.-1

【解析】选 A.因为 所以 =k.

(kx+1)dx=k,

所以 k+1=k,所以 k=2. 3.下列定积分计算正确的是( )

A.

sinxdx=4

B.

2xdx=1

C.

dx=ln

D.

3x2dx=3

【解析】选 C.

sinxdx=-cosx| ? ? ? =0,

2xdx=

2x 1 | =log2e, ln 2 0

dx=(x-lnx)| 12 =1-ln2=ln .

3x2dx=x3| 1?1 =2.

4.若 A.6

|56x|dx≤2016,则正数 a 的最大值为( B.56 C.36

) D.2016

【解析】选 A. =2×

|56x|dx=2

56xdx,

2 x2| a 0 =56a ≤2016,

a2≤36,0<a≤6.

5.设 f(x)= A.1 B.



f(x)dx=( C.-

) D.2

【解析】选 C.因为 f(x)在[-1,2]上分段连续,

所以

f(x)dx=

f(x)dx+

f(x)dx

= =(

(x-1)dx+

dx

1 x2 -x)| 1?1 +(- )| 12 =- . x 2

【误区警示】对于分段函数求积分可根据定积分的性质先求出每一段上定积分 再相加,需注意函数在对应区间上的连续性.

6.定积分 A.1

|x2-2x|dx 等于( B.2

) C.3 D.4

【解析】选 D.

|x2-2x|dx

=
1 3

(x2-2x)dx+

(2x-x2)dx+
1 3 1 3

(x2-2x)dx

2 2 x 3 ) |0 ?( x 3 ? x 2 ) |3 = ? ( x 3 ? x 2 ) |0 ?1 ? (x ? 2

= + + =4. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

7.(2013·湖南高考)若

x2dx=9,则常数 T 的值为__________.

【解题指南】结合公式 上限值.

f(x)dx=F(b)- F(a),其中 F′(x)=f(x),来计算积分

【解析】 答案:3

x2dx=

= T3=9,所以 T=3.

8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S10=

(1+2x)dx, 则 a5+a6=__________.

【解析】S10=

(1+2x)dx=(x+x2)| 3 0 =3+9=12.

因为{an}是等差数列, 所以,S10= 所以 a5+a6= 答案: . =5(a5+a6)=12,

9.(2014·长沙高二检测)f(x)=sinx+cosx,



f(x)dx=________.

【解析】

(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)| 2?
? 2

?

= =2. 答案:2

-

【一题多解】因为 f(x)=sinx+cosx = sin ,

所以 ==-

f(x)dx =cos π+ × cos + ×

cos

=2.

答案:2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.计算下列定积分:

(1)

dx.

(2)

(2-|1-x|)dx.

【解析】(1)

dx=

dx

=

(

-x)dx=( x 2 ? x 2 )| 14 -

2 3

3

1 2

= = -8- + =.

(2)因为 y=2-|1-x|=

所以

(2-|1-x|)dx

=

(1+x)dx+

(3-x)dx=(x+ x2)| 10 +(3x+ x2)| 12 = +4- =3.

1 2

1 2

【拓展提升】巧化简求积分 在求定积分时,要对被积函数先化简、变形后再求定积分,这是求定积分 的首要原则,特别是被积函数中含有三角函数式时更应注意这一点,若不化简, 可能导致求积分过于复杂,或根本无法求出.

11.设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(1)=4,f′(1)=1,

f(x)dx=

,求 f(x).

【解题指南】由题意,求函数的解析式就是求三个参数 a,b,c 的值,由三个 条件列出方程组,即可解得.

【解析】因为 f(1)=4,所以 a+b+c=4, f′(x)=2ax+b, 因为 f′(1)=1,所以 2a+b=1,





f(x)dx= = a+ b+c= , ③

由①②③可得 a=-1,b=3,c=2, 所以 f(x)=-x2+3x+2.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)

1.(2014·天津高二检测)已知 f(x)为偶函数且

f(x)dx=4,则

f(x)dx 等于 ( )

A.0

B.4

C.8

D.16

【解析】选 C.因为 f(x)为偶函数, 所以在 y 轴两侧的图象对称.所以对应的面积相等.

所以原式=2

f(x)dx=2×4=8. )

2.已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为(

A.

B.

C.

D.

【解题指南】解答本题可先求出函数解析式,再利用积分求解. 【解析】选 B.根据函数的图象可知二次函数 y=f(x)图象过点(-1,0),(1,0), (0,1),从而可知二次函数 y=f(x)=-x2+1,所以它与 x 轴所围图形的面积为

(-x2+1)dx= 【变式训练】直线 x= ,x= ________. 【解析】直线 x= ,x=

=

-

= .

与曲线 y=sinx,y=cosx 围成平面图形的面积为

与曲线 y=sinx,

y=cosx 围成平面图形如图,故图形的面积为

S=

(sinx-cosx)dx
5?

=-(cosx+sinx)| ?4
4

=-

+

=2

.

答案:2

3.(2014·济南高二检测)设 a= 立的是( A. < < C. < < ) B. < < D. < <

dx,b=

dx,c=

dx,则下列关系式成

【解析】选 C.因为(lnx)′= , 所以 a=(lnx)| 12 =ln2,b=(lnx)| 13 =ln3,c=(lnx)| 15 =ln5. 因为 = , <ln < = = , , < ,所以 < ,

所以 ln 所以 因为

,所以 < ; , <ln = , , > ,

所以 ln 所以 <



所以 < .所以 < < .

4.(2014·江西高考)若 f(x)=x2+2f(x)dx,则 A.-1 B.C. D.1

f(x)dx= (

)

【解题指南】因为

f(x)dx 是一个常数 ,所以可根据微积分基本定理构造以

f(x)dx 为未知数的方程,解之可得.

【解析】选 B.设

f(x)dx=c,

则 c= = +2c,

(x2+2c)dx=

解得 c=- . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.计算:

(2|x|+1)dx=________.

【解析】因为函数 f(x)=2|x|+1 是偶函数,

所以

(2|x|+1)dx=2

(2x+1)dx

=2×(x2+x) =12. 答案:12

6.函数 f(x)=sin(ω x+φ)的导函数 y=f′(x)的部分图象如图所示,其中,P 为 图象与 y 轴的交点,A,C 为图象与 x 轴的两个交点,B 为图象的最低点. (1)若 φ= ,点 P 的坐标为 ,则ω =________.

(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概 率为________.

【解题指南】(1)利用点 P 在三角函数的图象上求ω. (2)求出三角形面积及曲边图形的面积,代入几何概型公式即得. 【解析】(1)y=f′(x)=ωcos(ωx+φ),当φ= ,点 P 的坐标为 ωcos = ,所以ω=3. 时,

(2)由图知 AC= = , S△ABC= AC·ω= , 设 A,C 的横坐标分别为 a,b. 设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S,则

S=

=

=|sin(ωb+φ)-sin(ωa+φ)|=2,

由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P= 答案:(1)3 (2) 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)

= .

7.已知 S1 为直线 x=0, y=4-t2 及 y=4-x2 所围成图形的面积, S2 为直线 x=2, y=4-t2 及 y=4-x2 所围成图形的面积(t 为常数). (1)若 t= 时,求 S2.

(2)若 t∈(0,2),求 S1+S2 的最小值.

【解析】(1)当 t=

时,

S2= = (

[2-(4-x2)]dx= -1).

(2)t∈(0,2),S1=
t =(t2x- x3)| 0 = t 3,

[(4-x2)-(4-t2)]dx

1 3

S2=
1 3

[(4-t2)-(4-x2)]dx

2 3 =( x3-t2x)| 2 t = -2t + t ,

所以 S=S1+S2= t3-2t2+ , S′=4t2-4t=4t(t-1), 令 S′=0 得 t=0(舍去)或 t=1, 当 0<t<1 时,S′<0,S 单调递减, 当 1<t<2 时,S′>0,S 单调递增, 所以当 t=1 时,Smin=2.

8.已知 f(x)=

(12t+4a)dt,F(a)=

[f(x)+3a2]dx,求函数 F(a)的最小值.

【解题指南】这里函数 f(x),F(a)都是以积分形式给出的,可以先用微积分基 本定理求出 f(x)与 F(a),再利用二次函数求出 F(a)的最小值.

【解析】因为 f(x)=

(12t+4a)dt=(6t2+4at)

=6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2,

F(a)=

[f(x)+3a2]dx=

(6x2+4ax+a2)dx

=(2x3+2ax2+a2x) =2+2a+a2 =a2+2a+2=(a+1)2+1≥1. 所以当 a=-1 时,F(a)的最小值为 1.

【变式训练】已知函数 f(x)=

t(t-4)dt.

(1)若不等式 f′(x)+2x+2<m 在[0, 2]内有解,求实数 m 的取值范围. (2)若函数 g(x)=f(x)+a- 在区间[0,5]上没有零点,求实数 a 的取值范围.

【解析】(1)因为 f(x)= 所以 f′(x)=x2-4x

t(t-4)dt=

= x3-2x2

不等式 f′(x)+2x+2<m 可化为 m>x2-2x+2 因为不等式 f′(x)+2x+2<m 在[0,2]内有解, 所以 m>(x2-2x+2)min(x∈[0,2]). 因为 x2-2x+2=(x-1)2+1, 所以当 x∈[0,2]时,(x2-2x+2)min=1, 所以 m>1, 所以实数 m 的取值范围为(1,+≦). (2)由(1)得 g(x)= x3-2x2+a- , 所以 g′(x)=x2-4x=x(x-4), 则当 x∈[0,4]时,g′(x)≤0;当 x∈(4,5]时,g′(x)>0, 所以当 x=4 时,g(x)的最小值为 g(4)=a-11, 因为函数 g(x)在区间[0,5]上没有零点,

所以 a-11>0 或

所以 a>11,或 a< , 所以实数 a 的取值范围为(11,+≦)∪ .

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