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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.1.2空间向量的数乘运算》 课件



3.1.2 空间向量的数乘运算

1.空间向量的数乘运算是如何定义的?它满足哪些运 问题 算律? 引航 2.共线向量与共面向量的充要条件分别是什么? 3.实数与向量的乘积是向量吗?

1.向量的数乘运算
(1)数乘运算: 结果 λ 的范 围 λ >0 λ =0 λ <0 向量 实数λ 与空间向量a的乘积是一个___

__ 方向关系 相同 方向_____ λ a=0,其方向是任意的 相反 方向_____ λ a的模是a的模的 |λ |倍 _______ 模的关系

λ a+ λ b (2)运算律:①分配律:λ (a+b)=________; (λ μ )a ②结合律:λ (μ a)=________.

2.平行(共线)向量: 平行(共线)向量 共面向量

定 义

位置 关系 特征

表示空间向量的有向线段 所在的直线的位置关系: 互相平行或重合 _______________ 相同或相反 方向___________

平行于同一个 平面 的向量 _____ 向量p与不共线向 量a,b共面的充要 惟一 条件是存在_____ 的有序实数对 p=xa+yb (x,y)使________

充 对空间任意两个向量a,b(b≠0), 要 a∥b的充要条件是存在实数λ , 条 a= λ b 使______ 件

平行(共线)向量

共面向量 点P位于平面ABC内

对空间任意一点O,点P在直线l上 推 的充要条件是存在实数t满足等

的充要条件是存在 有序实数对(x,y),

xAB ? yAC OP ? OA ? ta 向量a为直线l 式____________, 使 AP =__________ 论 方向向量 或在直线l取向量 AB 或对空间任意一点O, 的_________
OA ? tAB =a,则 OP =_________

有 OP =
OA ? xAB ? yAC _____________

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数与向量之间可进行加法、减法运算.( )

(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线,则这 两个向量不是共面向量.( ) ) )

(3)如果 OP=OA +tAB , 则P,A,B共线.( (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.(

【解析】(1)错误,实数与向量相加没有意义,如3+a不能确定 该式子是实数还是向量. (2)错误,由共面向量的定义知空间中任意两个向量都是共面向 量,故此种说法错误. (3)正确,能判定P,A,B共线.因为原式可化为: AP=tAB ,由共线 向量的充要条件可知,P,A,B共线.

(4)错误,空间中的任意三个向量不一定是共 面向量.例如,对于空间四边形ABCD, AB , AC , AD 这三个向量就不是共面向量. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a= b.

(2)已知b=-5a(|a|=2),向量b的长度为
向与向量a的方向 .
4

,向量b的方

(3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中, A1E= 1 A1C1,,若
AE=xAA1+y(AB +AD), 则x=

,y=

.

【解析】(1)b与a的方向相反, 所以a=λb且实数λ<0,
|? |? 由|a|=|λ ||b|,所以 |a | 5 ? , 故λ= ? 5 . |b | 7 7

答案: ? 5
7

(2)因为|a|=2,又b=-5a, 所以向量b的长度为10, 又因为-5<0,故向量b与a的方向相反. 答案:10 相反

1 AE = AA + A E = AA + A1C1 (3) 1 1 1 4 1 =AA1+ AB +AD . 4 1 所以x=1,y= . 4 1 答案:1 4

?

?

【要点探究】
知识点1 空间向量的数乘运算

1.数乘运算的三个关注点
(1)与实数运算的区别:数乘向量与数与数的乘法是有区别的, 前者结果是一个向量,后者结果是一个实数. (2)与加法、减法运算的关系:空间向量的数乘运算,实质是空 间向量的加减运算. (3)特殊情况:当λ =0或a=0时,向量λ a=0.

2.对λ a的三点说明 (1)含义:λ a是实数λ 与向量a间的运算. (2)λ 的作用:λ 的正负影响着向量λ a的方向,λ 的大小影响着 向量λ a的长度. (3)a的作用:向量λ a与向量a一定是共线向量.

【知识拓展】非零向量的单位化 已知非零向量a和它的单位向量a°,显然向量|a|a°与向 量a等长且同向,所以有a=|a|a°或a°= a .由此可知,一个非
a

零向量a除以它的模就可以得到它的单位向量.从向量a求向量 a°的过程就称为向量a的单位化.

【微思考】 (1)向量λ a的模与向量a的模比较何时扩大?何时缩小? 提示:向量a的模可以扩大(当|λ|>1时),也可以缩小(当|λ|<1 时). (2)向量λ a的方向与向量a的方向是否一致? 提示:向量a的方向可以不改变(当λ>0时),也可以改变(当λ<0 时).

【即时练】 化简 1 (a+2b-3c)+ 5( 2 a- 1 b+ 2 c) -3(a-2b+c)=
2 3 2 3

___________. 【解析】原式= 1 a+b- 3 c+10 a- 5 b+10 c -3a+6b-3c
5 9 7 = a+ b- c. 6 2 6 答案:5 a+ 9 b- 7 c 6 2 6 2 2 3 2 3

知识点2

共线向量

1.对空间共线向量的两点说明 (1)类比理解:空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样, 平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立. (2)共线的理解:“共线”这个概念具有自反性,也具有对称性, 即若a∥b,则b∥a.

2.共线向量充要条件的三个关注点 (1)区别:共线向量与直线平行的区别,直线平行不包括两直线 重合的情况,而我们说的两个共线向量a∥b,表示向量a,b的有 向线段所在直线既可以是同一直线,也可以是两条平行直线. (2)零向量:共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问 题的重要依据,条件b≠0不可遗漏. (3)方向向量的个数:直线的方向向量是指与直线平行或共线的 向量.一条直线的方向向量有无限多个,它们的方向相同或相反.

3.三点P,A,B共线的三种充要条件 (1)存在实数t,使得 AP ? tAB 即 AP AB. , (2)存在实数t,使得 OP ? OA ? tAB. (3)存在有序实数对(x,y),使得 OP ? xOA ? yOB(其中x+y=1).

【知识拓展】共线向量定理推论的证明 推论:如果l为经过已知点A,且平行于已 知向量a的直线,那么对空间任一点O,点P在 直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式
OP ? OA ? tAB.

证明:因为l∥a, 所以对于l上任意一点P,存在惟一的实数t,使得 AP =ta.(*) 又因为对于空间任意一点O, 有 AP ? OP ? OA, 所以 OP ? OA ? ta, OP ? OA ? ta. 若在l上取AB=a,则有 OP ? OA ? tAB. 又因为 AB ? OB ? OA, 所以 OP ? OA ? t OB ? OA ? ?1 ? t ? OA ? tOB. ① (**)

?

?



当t=

1 时,OP ? 1 OA ? OB . ③ 2 2

?

?

注:其中向量a叫做直线l的方向向量. ①和②都叫空间直线的向量表示式,③是线段AB的中点向量 公式.

【微思考】 (1)若空间中两向量共线,则它们的方向有什么关系? 提示:两向量共线,则它们的方向相同或相反. (2)在两向量共线的充要条件中,为什么要求b≠0? 提示:由于我们已经规定了0与任意向量平行,所以当b=0时,a与 b是共线向量,可如果a≠0,就不可能存在实数λ,使a=λb成立.

【即时练】 给出下列几个命题: ①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线; ②零向量的方向是任意的; ③若a∥b,则存在惟一的实数λ ,使a=λ b.其中真命题的个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )

【解析】选B.①错误,若b=0,则a,b共线,b,c共线,但a,c未必共 线;②正确.这是关于零向量的方向的规定;③错误.若b=0,则有 无数多个λ使之成立.

知识点3

共面向量

1.对共面向量的两点说明 (1)共面的理解:共面向量是指与同一个平面平行的向量,可将 共面向量平移到同一个平面内. (2)向量的“自由性”:空间任意的两向量都是共面的.只要方 向相同,大小相等的向量就是同一向量,只要能平移到同一平面 上的向量都是共面向量.

2.对共面向量充要条件的两点说明:

(1)表示式:共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说
明空间中任意一个平面都可以由两个不共线的平面向量表示

出来.
(2)正反两角度:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存 在有序实数对(x,y),使 MP ? xMA ? yMB. 满足这个关系式的点 P都在平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式.

【微思考】
(1)共面向量与直线与平面平行的定义是否一样?

提示:共面向量是指表示向量的有向线段所在的直线与平面平
行或表示向量的有向线段所在的直线在平面内 ,它与直线和平

面平行是不同的.

(2)在三个向量共面的充要条件中,若两向量a,b共线,那么结论 是否还成立? 提示:不成立.因为当p与a,b都共线时,存在不惟一的实数对 (x,y)使p=xa+yb成立.当p与a,b不共线时,不存在实数对(x,y) 使p=xa+yb成立.

【即时练】 以下命题: ①若a,b所在直线是异面直线,则a与b一定不共面; ②若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面; ③若a,b,c三向量共面,则由a,b所在直线确定的平面与由b,c所 在直线确定的平面一定平行或重合.其中正确命题的个数为 ( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 )

【解析】选A.①错.由于向量是可以自由平移的,所以空间任意 两个向量一定共面;②错.从正方体一顶点引出的三条棱作为三 个向量,虽然是两两共面,但这三个向量不共面,三个向量共面 时,它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行 ;③错.首先 a,b所在直线不一定能确定平面,其次在平行六面体ABCDA1B1C1D1中, AB, A1B1, DC 三向量共面,然而平面ABCD与平面 ABB1A1相交.

【题型示范】 类型一 空间向量的数乘运算

【典例1】 (1)(2014·上海高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点 E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=
1 1 A.AA? + AB + AD 2 2 1 1 1 B. AA? + AB + AD 2 2 2 1 1 1 C. AA? + AB + AD 2 6 6 1 1 1 D. AA? + AB + AD 3 6 6
1 EF,则 AF 等于 2

(

)

(2)已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外一点,P在平面 ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点, 若 OQ 求式中x,y的值. =PQ +xPC +yPA ,

【解题探究】1.题(1)中向量 AE 如何用向量 AA? 与向量 AC?

表示? AF 与 AE 关系如何?
2.题(2)中 OQ ? PQ ? xPC ? yPA ,你能确定哪些与向量 OQ , PQ ,
PC , PA 有关的三角形?

【探究提示】1.利用平行四边形法则 AE ? 1 ? AA? ? AC? ?, AF

与 AE 可利用线段间的长度比例关系建立联系 AF= 1 AE.
3

2

2.解答本题需准确画图,有关的三角形是△POQ,可得

对于△PAC可得 PO ? OQ ? PQ ? PO ,

1 PA ? PC . 2

?

?

【自主解答】(1)选D.由条件AF= 所以AE=AF+EF=3AF, 所以 AF= AE= ? (AA? +AC?)
1 3 1 1 3 2

1 EF得EF=2AF, 2

1 1 1 1 = ? AA? +AA? +AC ? ? AA? +AA? +AB ? AD 3 2 3 2 1 1 1 ? AA? + AB + AD. 3 6 6

?

?

?

?

(2)如图, 因为 OQ=PQ-PO=PQ- (PA+PC)
1 1 =PQ- PA- PC, 2 2 所以x=y= - 1 . 2 1 2

【延伸探究】在题(2)条件不变的情况下,若
PA =xPO +yPQ +PD. 求x,y的值.

【解析】因为O为AC的中点,Q为CD的中点, 所以 PA +PC =2PO , PC +PD =2PQ , 所以 PA=2PO -PC , PC =2PQ -PD. 从而有 PA=2PO- 2PQ-PD =2PO-2PQ+PD. 所以x=2,y=-2.

?

?

【方法技巧】利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用 三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙逆用中点坐 标公式.

【变式训练】已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,M,N分别

为BC,PD的中点,求满足 MN =xAB +yAD +zAP 的实数x,y,
z的值.

【解析】MN=MC+CD+DN= 1 BC+BA+ 1 DP
1 1 1 ? AD-AB + AP-AD =-AB + AP, 2 2 2 1 所以x=-1,y=0,z= . 2

?

?

2

2

【补偿训练】(2014·石家庄高二检测)已知点G是△ABC的重

心,O是空间任意一点,若 OA 求λ 的值. +OB +OC =?OG ,

【解题指南】构造与向量 OA, OB , OC 有关的三角形、平行四 边形,利用向量加法、减法的运算法则及数乘运算求解 .

【解析】连接CG并延长交AB于D,
则D为AB中点,且CG=2GD,连接AG,BG.

所以 OA+OB +OC
=OG+GA +OG+GB +OG+GC =3OG+GA +GB +GC =3OG+2GD +GC =3OG-GC +GC =3OG,

所以λ=3.

类型二

共线向量

【典例2】

(1)(2014·广州高二检测)已知空间向量a,b且 AB =a+2b, BC =
-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )

A.A,B,D
C.B,C,D

B.A,B,C
D.A,C,D

(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且 A1E=2ED1, F在对角线A1C上,且 A1F= 2 FC.
3

求证:E,F,B三点共线.

【解题探究】1.题(1)中 BD 用向量a,b如何表示? 2.题(2)中的向量 EF 与 EB 分别用向量 AB, AD, AA1 表示, 其结果是什么样的? 【探究提示】1.BD =2a+4b.
2 4 2 2.EF ? AB - AD- AA1. 5 15 5 2 EB ? AB - AD-AA1. 3

【自主解答】(1)选A. BD=BC +CD=(-5a+6b)+(7a-2b)

=2a+4b= 2AB ,
所以A,B,D三点共线.

(2)设 AB=a, AD=b, AA1=c.
2 因为 A1E=2ED1, A1F = FC, 3 5 所以 A1E= 2 AD= 2 b, 3 3 2 2 A1F = AC-AA1 = (AB +AD-AA1 ) 5 5 2 2 2 = a+ b- c. 5 5 5 2 所以 A1E= 2 A1D1, A1F = A1C. 3

?

?

所以 EF=A1F-A1E
2 4 2 2 2 = a- b- c= (a- b-c), 5 15 5 5 3 又 EB=EA +A A+AB=- 2 b-c+a 1 1 3 2 =a- b-c, 3 所以 EF= 2 EB,所以E,F,B三点共线. 5

【方法技巧】 1.判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量充要条件:①a∥b,b≠0,则存在惟一实数 λ使a=λb;②若存在惟一实数λ,使a=λb,则a∥b. (2)判断向量共线的关键:找到实数λ.

2.三点共线与直线平行的判断 (1)线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a, b平行,还要证明直线上有一点不在另一条直线上. (2)三点共线:证明三点A,B,C共线,只需证明存在实数λ, 使 AB =? AC 即可. =? BC 或 AB

【变式训练】如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形 且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断 CE与 MN是否共线.

【解析】因为M,N分别是AC,BF的中点, 四边形ABCD,ABEF都是平行四边形, 所以 MN=MC +CB +BN
1 1 = AC +CB + BF 2 2 1 1 = BC-BA +CB + (BA+BE) 2 2 1 1 = BC +CB + BE 2 2 1 1 = CB +BE = CE, 2 2

? ?

?

?

所以 CE MN, 即 CE 与 MN共线.

【补偿训练】已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在

三个不为0的实数λ ,m,n,使 ?OA+mOB +nOC =0,那么λ
+m+n的值为_________.

【解析】因为A,B,C三点共线,所以存在惟一实数k使 即 OB -OA=k OC -OA , AB =kAC , 所以(k-1) OA+OB -kOC =0, 又 ?OA +mOB +nOC =0, 令λ=k-1,m=1,n=-k, 则λ+m+n=0. 答案:0

?

?

类型三 共面向量 【典例3】 (1)已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由
1 2 OP ? OA ? OB ? ?OC 确定的一点P与A,B,C三点共面, 5 3

则λ =__________.

(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且
AN∶NC=2∶1,求证: A1 N 与 A1B, A1M 共面.

【解题探究】1.空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有 序实数组(x,y,z),使得 OP ? xOA ? yOB ? zOC 其中x+y+z , 的结果是多少? 2.题(2)中要证明 A1 N 与 A1B, A1M 共面,这三个向量需建立的 关系式是什么样的?

【探究提示】1.结果为1. 2.要证明 A1 N 与 A1B, A1M 共面,需用其中两个向量表示另一个 向量. 【自主解答】(1)由P与A,B,C三点共面,所以 1+ 2+λ=1, 解得λ= 2 . 答案:2
15 15 5 3

A1M=A1D1+D1M ? 2 ? A1B=AB-AA1, 1 2 2 =AD - AA1, AN= AC = AB +AD . 2 3 3

?

?

所以 A1N=AN-AA1= 2 ? AB +AD ?-AA1
= 2 2 1 2 2 AB -AA1 + (AD- AA1 )= A1B + A1M. 3 3 2 3 3

?

?

3

所以 A1 N 与 A B, A1M 共面. 1

【方法技巧】
1.四点共面的证明及应用

(1)利用共面向量的充要条件:空间一点P位于平面MAB内的充
分必要条件是存在有序实数对(x,y),使 MP=xMA +yMB.

满足这个关系式的点P都在平面MAB内;反之,平面MAB内的任
一点P都满足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面.

(2)求参数:向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形

成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量,对于向量共面
的充要条件,不仅会正用,也要能够逆用它求参数的值.

2.证明空间向量共面的两种方法
(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量 的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面. (2)用平面:寻找一个平面,设法证明这些向量与该平面平行.

【变式训练】对于空间任一点O和不共线的三点A,B,C,有
OP =xOA +yOB +zOC ,则x+y+z=1是P,A,B,C四点共面

的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

A.必要不充分条件 C.充要条件

【解题指南】先确定哪一部分是条件,哪一部分是结论,再 从两个方面证明看是否成立. 【解析】选B.若x+y+z=1,则 OP=?1-y-z ? OA+yOB +zOC , 即 AP=yAB 由共面向量充要条件可知向量 AP, +zAC , AB , AC 共面,所以P,A,B,C四点共面;反之,若P,A,B,C四点 共面,当O与四个点中的一个(比如A点)重合时, OA=0,x可 取任意值,不一定有x+y+z=1.

【补偿训练】A,B,C不共线,对空间任意一点O,若
3 1 1 OP= OA+ OB + OC, 则P,A,B,C四点( 4 8 8

)

A.不共面 C.不一定共面

B.共面 D.无法判断是否共面

3 1 1 OP = OA + OB + OC 【解析】选B. 4 8 8 3 1 1 = OA+ OA+AB + (OA+AC) 4 8 8 1 1 =OA+ AB + AC , 8 8 1 所以 OP-OA= 1 AB + AC, 8 8 1 所以 AP= 1 AB + AC. 8 8

?

?

由共面的充要条件知P,A,B,C四点共面.

【巧思妙解】巧用共面向量的充要条件证明共面(线面平行) 【典例】已知E,F,G,H分别是空间四边形 ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点. (1)证明E,F,G,H四点共面. (2)证明BD∥平面EFGH.

【教你审题】

【常规解法】(1) EH=AH-AE= 1 AD- 1 AB= 1 BD, 又 FG ? CG-CF ? 1 CD- 1 CB ? 1 BD,
2 2 2 2 2 2

所以 EH=FG, 所以四点E,F,G,H共面. (2)因为 EH=AH-AE= 1 AD- 1 AB= 1 BD,
2 2 2

所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH, 所以BD∥平面EFGH.

【巧妙解法】连接EG,BG.
1 (1)因为 EG=EB +BG=EB + (BC +BD) 2

由向量共面的充要条件知: =EB +BF +EH =EF +EH , E,F,G,H四点共面. (2)因为 BD=BA+AD=2EA+2AH
=2EH=2 EG+GH =2EG+2GH,

?

?

又 EG, , GH 共面. GH 不共线,所以 BD 与 EG 又BD?平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.

【方法对比】 常规解法切入点简单,但步骤较多,稍有疏忽,则会导致 错误;巧妙解法则是直接利用共面向量的充要条件,减少了步 骤,思路清晰.

【教你一招】 P,A,B,C四点共面的四种充要条件 (1)存在有序实数对(x,y),使得 AP ? xAB ? yAC. (2)对于空间任意一定点O,有 OP ? OA ? xAB ? yAC . (3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组 (x,y,z)使得 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中x+y+z=1). (4) PA BC. 本例的巧妙解法即是利用了第一种.

【类题试解】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1和 A1D1的中点. 证明:向量 A B, B1C, EF 是共面向量. 1

【常规解法】连接A1D,BD,取A1D中点G,连接FG,BG,
则有FG∥DD1,FG= DD1,
1 2

又BE∥DD1,BE= 1 DD1,
2

所以FG∥BE.所以四边形BEFG为平行四边形.

所以EF∥BG.
又EF?平面A1BD,BG?平面A1BD,所以EF∥平面A1BD. 同理,B1C∥A1D,所以B1C∥平面A1BD, 所以 A1B, B1C, EF 都与平面A1BD平行.所以 A1B , B1C, EF 共面.

【巧妙解法】 EF=EB +BA1+A1F = B1B -A1B + A1D1
? 1 1 B1B +BC -A1B = B1C-A1B. 2 2

?

?

1 2

1 2

由向量共面的充要条件知, A1B , B1C, EF 是共面向量.



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