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20两角和与差的正弦、余弦和正切公式



2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

课题:两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、考点梳理: 必记知识点 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 tan α± tan β sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β;cos(

α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β;tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2tan α sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α= . 1-tan2α 3. 辅助角公式 : a sin x ? b cos x ? 4.公式的常用变形 1+cos 2α 1-cos 2α (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β);(2)cos2α= ,sin2α= ;(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 2 2 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, 2.角的变换技巧 二、基础自测: 1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为 α 3 2.(江西高考)若 sin = ,则 cos α= 2 3 三、考点突破: 考点一、三角函数公式的基本应用 π ? 3 【例 1】 1.已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 5 =________. π α+ ? 2sin? ? 4? cos 2α π? sin α± cos α= 2sin? 4?. ?α± α+β α-β α-β ? β ?α ? α=(α+β)-β;β= - ; =?α+2? ?-?2+β?.等等 2 2 2

b a 2 ? b 2 sin( x ? ? )(?为辅助角, tan ? ? ) a

2α=(α+β)+(α-β);

1 π? 2.已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R. 5π? π? 10 6 ? π? ? (1)求 f? ? 4 ?的值;(2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值.

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

[类题通法] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用 两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. 考点二、三角函数公式的逆用与变形应用 【例 2】1(2013· 长春二模)在△ABC 中,若 tan A· tan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值是( A.- 2 2 B. 2 2 1 C. 2 1 D.- 2 )

π? 4 3 ? π? 2 已知 sin? ?α+6?+cos α= 5 ,则 sin?α+3?的值为( A. 4 5 3 B. 5 C. 3 2

) D. 3 5

[类题通法] 运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α +β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 考点三、角的变换 π ? 3 【例 3】1 已知 sin? ?4+x?=5,则 sin 2x 的值为( A.- 24 25 24 `B. 25 7 C.- 25 ) 7 D. 25

3 1 2 已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,tan(α-β)=- . 5 3

(1)求 sin(α-β)的值;(2)求 cos β 的值.

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

[类题通法] 1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角”; 3.注意角变换技巧. 四、当堂检测 π ? 1.设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是________. π? 3 ?π ? 2 2.已知 tan? ?α-6?=7,tan?6+β?=5,则 tan(α+β)的值为( 29 A. 41 1 B. 29 1 C. 41 D.1

)

3π 3.若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 2tan?45° -α? sin αcos α 4.化简 · =________. 1-tan2?45° -α? cos2α-sin2α

五、课后巩固: 1.化简 cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° 的值为( 1 A. 2 B. 3 2 1 C.- 2 ) D.- 3 2 )

2.设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan (α+β)的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3 ) 2 D. 3

π? 2 3.(2013· 全国卷Ⅱ)已知 sin 2α= ,则 cos2? ?α+4?=( 3 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2

4.在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B· cos C,且 tan B· tan C=1- 2,则角 A 的值为( π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4

)

4 5.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 π? 1 2 ? π? 6.设 tan(α+β)= ,tan? ?β-4?=4,则 tan?α+4?= 5 α 2sin2 -1 2 π? 7 若 f(α)=2tan α- ,则 f? ?12?=________ α α sin cos 2 2

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主备人:邹伟

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8. 已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐 1 4 标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos α=________. 3 5 π ? π 5π 5 ,π ,sin α= .(1)求 sin? +α?的值;(2)求 cos? -2α?的值. 9.知 α∈? 2 4 ? ? ? ? ?6 ? 5

π? π? 1 ? 10 已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值.

π ? α α 6 11.已知 α∈? ?2,π?,且 sin2+cos2= 2 .

π ? 3 (1)求 cos α 的值; (2)若 sin(α-β)=- ,β∈? ?2,π?,求 cos β 的值. 5

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

课题:两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、考点梳理: 必记知识点 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 tan α± tan β sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β;cos(α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β;tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2tan α sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α= . 1-tan2α 必会三个方法 1.公式的常用变形 1+cos 2α 1-cos 2α (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β);(2)cos2α= ,sin2α= ;(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 2 2 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, 2.角的变换技巧 2α=(α+β)+(α-β); α+β α-β α=(α+β)-β;β= - ; 2 2 α-β ? β ?α ? =?α+2? ?-?2+β?. 2 二、基础自测: 1.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为( A.- 2 2 B. 2 2 ) C. ) 1 C. 3 2 D. 3 3 2 D.1 答案:B π α± ?. sin α± cos α= 2sin? ? 4? 3.三角公式关系

α 3 2.(江西高考)若 sin = ,则 cos α=( 2 3 2 A.- 3 1 B.- 3

α 3 α 1 3 解析:选 C 因为 sin = ,所以 cos α=1-2sin2 =1-2×? ?2= . 2 3 2 ?3? 3 π? 3 ?π ? 2 3.已知 tan? ?α-6?=7,tan?6+β?=5,则 tan(α+β)的值为( 29 A. 41 1 B. 29 1 C. 41 D.1 )

答案:D ) 2 D. 3

π? 2 4.(2013· 全国卷Ⅱ)已知 sin 2α= ,则 cos2? ?α+4?=( 3 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2

π? 1? π?? 1 1 ? 解析:选 A 法一:cos2? ?α+4?=2?1+cos?2α+2??=2(1-sin 2α)=6.

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

π π 1 1 1 2 2 1 α+ ?= cos α- sin α,所以 cos2?α+ ?= (cos α-sin α)2= (1-2sin αcos α)= (1-sin 2α)= . 法二:cos? 4 4 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 6 三、考点突破: 考点一、三角函数公式的基本应用 π ? 3 【例 1】 1.已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 5 cos 2α =________. π α+ ? 2sin? ? 4? cos 2α

解析:

π? 2sin? ?α+4?



cos2α-sin2α π ? 3 4 7 ,π ,∴cos α=- .∴原式=- . =cos α-sin α,∵sin α= ,α∈? 2 ? ? 5 5 5 2 2 2? sin α+ cos α? 2 2 ? ?

π ? 2.(2013· 四川高考)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是________. π ? 1 3 2tan α 解析: ∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α, ∴cos α=- , 又 α∈? ∴sin α= , tan α=- 3, ∴tan 2α= ?2,π?, 2 2 1-tan2α = -2 3 = 3.答案: 3 1-?- 3?2

1 π? 3.已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R. 5π? π? 10 6 ? π? ? (1)求 f? ? 4 ?的值;(2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值. 1 π? π ?5π? ?5π π? 解:(1)∵f(x)=2sin? ?3x-6?,∴f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin4= 2. π? ? π? 10 6 10 5 3 ? π? 6 (2)∵α,β∈? ?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,∴2sin α=13,2sin?β+2?=5.即 sin α=13,cos β=5. 12 4 12 3 5 4 16 ∴cos α= ,sin β= .∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = . 13 5 13 5 13 5 65 [类题通法] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示 α± β 的三角函数,在使用 两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. 考点二、三角函数公式的逆用与变形应用 【例 2】[典例] (1)(2013· 长春二模)在△ABC 中,若 tan A· tan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值是( A.- 2 2 B. 2 2 ) C. 3 2 D.- 3 2 1 C. 2 1 D.- 2 )

sin 110° sin 20° (2) 2 的值为( cos 155° -sin2155° 1 A.- 2 1 B. 2

tan A+tan B 3π [解析] (1)由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得 =-1,即 tan(A+B)=-1,所以 A+B= ,则 C 4 1-tan Atan B π 2 = ,cos C= .故选 B. 4 2

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

1 sin 40° sin 110° sin 20° sin 70° sin 20° cos 20° sin 20° 2 1 (2) 2 = = = = . 2 cos 310° cos 50° sin 40° 2 cos 155° -sin 155° [类题通法]

[答案] (1)B (2)B

运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α +β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. [针对训练] π? 4 3 ? π? 1. 已知 sin? ?α+6?+cos α= 5 ,则 sin?α+3?的值为( 4 A. 5 3 B. 5 C. 3 2 D. ) 3 5

解析:选 A 由条件得

π? 4 3 3 4 3 1 3 4 sin α+ cos α= ,即 sin α+ cos α= .∴sin? ?α+3?=5. 2 2 5 2 2 5

3π 2.若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 tan α+tan β 3π 解析:-1=tan =tan(α+β)= ,∴tan αtan β-1=tan α+tan β.∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 4 1-tan αtan β 即(1-tan α)(1-tan β)=2.答案:2 考点三、角的变换 3 1 【例 3】已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,tan(α-β)=- . 5 3 [解] (1)求 sin(α-β)的值;(2)求 cos β 的值.

π? π π 1 π 10 (1)∵α,β∈? ?0,2?,从而-2<α-β<2.又∵tan(α-β)=-3<0,∴-2<α-β<0.∴sin(α-β)=- 10 .

3 10 3 4 (2)由(1)可得,cos(α-β)= .∵α 为锐角,且 sin α= ,∴cos α= .∴cos β=cos[α-(α-β)] 10 5 5 4 3 10 3 ? 10? 9 10 =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)= × + × - = . 5 10 5 ? 10 ? 50 在本例条件下,求 sin(α-2β)的值. 解:∵sin(α-β)=- 10 3 10 9 10 13 10 ,cos(α-β)= ,cos β= ,sin β= . 10 10 50 50

24 ∴sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=- . 25 [类题通法] 1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角”; 3.注意角变换技巧. [针对训练] π? 1 2 ? π? 1.设 tan(α+β)= ,tan? ?β-4?=4,则 tan?α+4?=( 5 )

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

13 A. 18

13 B. 22

3 C. 22

1 D. 6 3 = . π 22 ? 1+tan?α+β?tan? ?β-4? π β- ? tan?α+β?-tan? ? 4?

解析:选 C

π? ? π? tan? ?α+4?=tan(α+β)-?β-4?=

π π 5 3 2.若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- ,cos(α-β)= ,sin α=________. 2 2 13 5 π π 3 4 5 π 解析:∵0<α< ,- <β<0,∴0<α-β<π,∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= ,∵sin β=- ,且- <β<0, 2 2 5 5 13 2 5 12 4 12 3 33 33 - ?= .答案: ∴cos β= ,∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β= × + ×? 13 5 13 5 ? 13? 65 65 四、当堂检测 π ? 3 1.已知 sin? ?4+x?=5,则 sin 2x 的值为( 24 A.- 25 解析:选 C 24 `B. 25 C.- 7 25 ) 7 D. 25

π π π?? 7 2? ? ? π?? ? x+ ? ? sin 2x=sin?2? ? ? 4?-2?=-cos?2?x+4??=-?1-2sin ?x+4??=-25. ) D.± 1

π? 3 ? π? 2.已知 cos? ?x-6?=- 3 ,则 cos x+cos?x-3?的值是( 2 3 A.- 3 2 3 B.± 3 C.-1

π? 1 3 3 3 1 ? 3 ? ? π? 解: C cos x+cos? ?x-3?=cos x+2cos x+ 2 sin x=2cos x+ 2 sin x= 3? 2 cos x+2sin x?= 3cos?x-6?=-1. α 2sin2 -1 2 π? 3.若 f(α)=2tan α- ,则 f? 12 ? ?=________. α α sin cos 2 2 -cos α 2sin α 2cos α π? 4 4 解析:∵f(α)=2tan α- = + = ,∴f? ?12?= π=8.答案:8 1 cos α sin α sin 2α sin α sin 2 6 1 1 4.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tan αtan β 的值为________. 6 3 1 1 解析:因为 cos(α+β)= ,所以 cos αcos β-sin αsin β= .① 6 6 1 1 因为 cos(α-β)= ,所以 cos αcos β+sin αsin β= .② 3 3 sin αsin β 1 所以 tan αtan β= = . cos αcos β 3 1 答案: 3 1 ①+②得 cos αcosβ= . 4 1 ②-①得 sin αsin β= . 12

π ? α α 6 5.已知 α∈? ?2,π?,且 sin2+cos2= 2 . π ? 3 (1)求 cos α 的值; (2)若 sin(α-β)=- ,β∈? ?2,π?,求 cos β 的值. 5 α α 6 1 π 3 解:(1)因为 sin +cos = ,两边同时平方,得 sin α= .又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2 2 2 2 2

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

π π π π π 3 4 (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- ,故- <α-β< .又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 2 2 2 2 2 5 5 cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=- 五、课后巩固: 1.化简 cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° 的值为( 1 A. 2 B. 3 2 1 C.- 2 ) D.- 3 2 4 3+3 3 4 1 ? 3? × + ×?-5?=- . 2 5 2 10

1 解析:选 A cos 15° cos 45° -cos 75° sin 45° =cos 15° cos 45° -sin 15° sin 45° =cos(15° +45° )=cos 60° = . 2 2.设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan (α+β)的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3 )

tan α+tan β 解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· tan β=2,则 tan(α+β)= =-3. 1-tan αtan β π ? π? ?π 3.函数 f(x)=2sin2? ?4+x?- 3cos 2x?4≤x≤2?的最大值为( A.2 B.3 C.2+ 3 )

D.2- 3

π ? π? π π π ? 解析: 选 B 依题意, f(x)=1-cos 2? 当 ≤x≤ 时,≤2x ?4+x?- 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin?2x-3?+1, 4 2 6 π? π 2π 1 - ≤ , ≤sin? ?2x-3?≤1,此时 f(x)的最大值是 3,选 B. 3 3 2 4.在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B· cos C,且 tan B· tan C=1- 2,则角 A 的值为( π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4 )

解析:选 A 由题意知,sin A=- 2cos B· cos C=sin(B+C)=sin B· cos C+cos B· sin C,在等式- 2cos B· cos C tan B+tan C =sin B· cos C+cos B· sin C 两边同除以 cos B· cos C 得 tan B+tan C=- 2, 又 tan(B+C)= =-1=- 1-tan Btan C π tan A,即 tan A=1,所以 A= . 4 sin2?a1-a0?+sin2?a2-a0?+?+sin2?an-a0? 5.对于集合{a1,a2,?,an}和常数 a0,定义:ω= 为集合{a1,a2,?, n
?π 5π 7π? an}相对 a0 的“正弦方差”,则集合?2, 6 , 6 ?相对 a0 的“正弦方差”为( ? ?

)

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

D.与 a0 有关的一个值

5π 7π 2?π -a0?+sin2? -a0?+sin2? -a0? sin ?2 ? ?6 ? ?6 ? ?π 5π 7π? 解析:选 A 集合?2, 6 , 6 ?相对 a0 的“正弦方差”ω= 3 ? ? π 2?π ? ? cos2a0+?1cos a0+ 3sin a0?2+?1cos a0- 3sin a0?2 cos2a0+sin2? 2 2 ?6+a0?+sin ?6-a0? ?2 ? ?2 ? = = 3 3 1 3 3 cos2a0+ cos2a0+ sin2a0 ?sin2a0+cos2a0? 2 2 2 1 = = = . 3 3 2

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主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

4 6.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 4 2tan α 4 解析:因为 tan(π+2α)=tan 2α=- ,所以 tan 2α= =- ,整理得 2tan2α-3tan α-2=0,解得 tan α=2 3 3 1-tan2α 1 1 或 tan α=- ,又 α 是第二象限的角,所以 tan α=- . 2 2 1 答案:- 2

π? π? 2? 2 7.化简 sin2? ?α-6?+sin ?α+6?-sin α 的结果是________. π? π? ? 1-cos? ?2α-3? 1-cos?2α+3? 1 π ?2α-π?+cos?2α+π??-sin2α=1-cos 2α· 解析:原式= + -sin2α=1- ? cos cos - 3 3 ? ? ?? 2 2 2? ? 3 cos 2α 1-cos 2α 1 1 sin2α=1- - = .答案: 2 2 2 2 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · 2 =________. 2 1-tan ?45° -α? cos α-sin2α 1 sin 2α 2 sin?90° -2α? 1 sin 2α cos 2α 1 sin 2α 1 解析:原式=tan(90° -2α)· = ·· = ·· = . cos 2α cos?90° -2α? 2 cos 2α sin 2α 2 cos 2α 2 1 答案: 2

9. 已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐 1 4 标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos α=________. 3 5 1 4 π π 2 2 解析:依题设及三角函数的定义得:cos β=- ,sin(α+β)= .又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= , 3 5 2 2 3 1 4 2 2 3+8 2 3 3 - ?+ × cos(α+β)=- .∴cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=- ×? = . 5 5 ? 3? 5 3 15 3+8 2 答案: 15 π? π? 1 ? 10.已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. 1 2tan α 解:∵tan α= ,∴tan 2α= = 2 1-tan2α 1 2× 2 4 sin α 1 = ,且 = ,即 cos α=2sin α,又 sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1, 1 3 cos α 2 1- 4

π? 5 2 5 5 2 5 4 4 1 2 2 而 α∈? ?0,2?,∴sin α= 5 ,cos α= 5 .∴sin 2α=2sin αcos α=2× 5 × 5 =5,cos 2α=cos α-sin α=5-5= 3 , 5 π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ∴sin? ?2α+3?=sin 2αcos3+cos 2αsin3=5×2+5× 2 = 10 . π x? x + . 11.已知函数 f(x)=sin sin? 2 ?2 2? π? ?π ? (1)求函数 f(x)在[-π,0]上的单调区间.(2)已知角 α 满足 α∈? ?0,2?,2f(2α)+4f?2-2α?=1,求 f(α)的值. π x? x x x 1 + =sin cos = sin x. 解:f(x)=sin sin? 2 ?2 2? 2 2 2

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/9/5

π? ? π ? (1)函数 f(x)的单调递减区间为? ?-π,-2?,单调递增区间为?-2,0?. π 2 2 ? ?π ? (2)2f(2α)+4f? ?2-2α?=1?sin 2α+2sin?2-2α?=1?2sin αcos α+2(cos α-sin α)=1 π? ?cos2α+2sin αcos α-3sin2α=0?(cos α+3sin α)(cos α-sin α)=0. ∵α∈? ?0,2?, π 2 1 2 ∴cos α-sin α=0?tan α=1 得 α= ,故 sin α= ,∴f(α)= sin α= . 4 2 2 4



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