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3.3.2简单的线性规划1,2(绝对超值)


一.复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如2 x ? y ? z ( z ? 0) 的直线与2 x ? y ? 0平行.

o

x

1

y
A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1., 4.4) x-4y+3=0

C
5

2.作出下列不 等式组的所表 示的平面区域

A

B
O
1 5 x=1

x
3x+5y-25=0

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

问题1:x 有无最大(小)值? 问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?
2

二.提出问题 把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,求z的最大值和最小值.

3

思考:还可以运用怎样的方法得到目标函数 的最大、最小值?

可以通过比较可行域边界顶 y 点的目标函数值大小得到。
C
5 x-4y+3=0

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先 作 出 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域 .

A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1, 4.4)

2.作直线 l0 : 2 x ? y ? 0
3.作一组与直线 l0平行的 直线l : 2 x ? y ? z, z ? R

A B
O
1 5 x=1

2x ? y ? 0

直线L越往右平 移,z随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的z值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的z 值最小. 4 Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ?3

线性 规划

Z=2x+y称为目标函数,(因 这里目标函数为关于x,y的 一次式,又称为线性目标函 数 目标函数 (线性目标函数)

线性约 束条件

问题:

设z=2x+y,式中变量满足 下列条件:

y
x=1

象这样关 于x,y一 次不等式 组的约束 条件称为 线性约束 条件

x ? 4 y ? ? 3 ? ? ?3x ? 5 y ? 25 ? ?x ? 1
求z的最大值与最小值。

C B O

3x+5y-25=0 A x-4y+3=0

x
5

线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解 :满足线性约束条 件的解(x,y)叫可行解;
2x+y=12

2x+y=3

可行域 :由所有可行解组 成的集合叫做可行域;
最优解 :使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(5,2)
(1,1)

6

目标函数所表 示的几何意义 ——在y轴上 的截距或其相 反数。

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ?
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

任何一个满足 不等式组的 (x,y)
可行解
7

可行域

线性规划

也可以通过比较可行域边界 顶点的目标函数值大小得到。

例1 解下列线性规划问题: 求z=2x+y的最大值和最小值,使式中x、y满足下 列条件: 2x+y=0 y

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

2x+y=-3

2x+y=3

1 1 C( , ) 2 2 O B(2,-1)

x

A(-1,-1)

答案:当x=-1,y=-1时,z=2x+y有最小值-3. 当x=2,y=-1时,z=2x+y有最大值3.
探索结论
8

三、课堂练习

(1)已知

?x - y ? 0 ? ?x ? y - 1 ? 0 ?y ? 1 ? 0 ?

求z=2x+y的最大值和最小值。

9

y

y-x=0

5

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

z max ? 3

zmin ? ?3

x+y-1=0
10

练习2、已知 ?y ? x ? 1 ? ?x - 5y ? 3 ?5x ? 3y ? 15 ? 求z=3x+5y的最大值和最小值。

11

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3 x

O
-1

1 5

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11

12

例3: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产 品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作 8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

把例3的有关数据列表表示如下:

资源

A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)

甲产品 (1件) 4 0 1 2

乙产品 (1件) 0 4 2 3

资源限额 16 12 8
13

解:设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
线 性 约 束 条 件

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y
4 3 4

8

x

0

将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内 所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.

问题:求利润2x+3y的最大值.
14

若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3

当点P在可允许的取值范围变化时,
z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3
15

问题:求利润z=2x+3y的最大值 . y

?x ? 2y ? 8 4 ? 4 x ? 16 3 M(4,2) ? ? x 8 4 ? 4 y ? 12 1 y ? ? x?4 0 ?x ? 0 2 ? 2 z ? y? ? x? ?y ? 0 3 3 Zmax ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 14
变式:若生产一件甲产品获利1万元,生产一件乙 16 产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

变式:求利润z=x+3y的最大值 . y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

3

4 N( 2, 3)

4

0

1 z y? ? x? 3 3

x 8 1 y ? ? x?4 2

zmax ? 2 ? 3 ? 3 ? 11
17

解线性规划应用问题的一般步骤:
1)理清题意,列出表格:

2)设好变元并列出不等式组和目标函数
3)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;

画出线性约束条件所表示的可行域,画图力保准确;
4)在可行域内求目标函数的最优解 法1:移-在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线; 法2:算-线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处 取得,也可能在边界处取得(当两顶点的目标函数值相等时最优 解落在一条边界线段上)。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)
18

练习3:

某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲种产品需 要A种原料4t、 B种原料12t,产生的利润为2万元;生 产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t,产生的利 润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t,如何 安排生产才能使利润最大?

相关数据列表如下:
A种原料 B种原料 利润

甲种产品
乙种产品 现有库存

4
1 10

12
9 60

2
1
19

设生产甲、乙两种产品的吨数

?4 x ? y ? 10 ?12x ? 9 y ? 60 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
利润

分别为x、y

P ? 2x ? y

何时达到最大?
20


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