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2015年高考新课标1卷 理科数学试卷



绝密★启封并使用完毕前

试题类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.

考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1) 设复数 z 满足 (A)1
1+z =i,则|z|= 1? z

(B) 2

(C) 3

(D)2

(2)sin20°cos10°-con160°sin10°= (A) ?
3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

(3)设命题 P: ? n ? N, n2 > 2n ,则 ? P 为 (A) ? n ? N, n2 > 2n (C) ? n ? N, n2 ≤ 2n (B) ? n ? N, n2 ≤ 2n (D) ? n ? N, n2 = 2n

(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

(5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点,若 2

MF1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是

(A)(- (C)( ?

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B)(-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(D)( ?

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣 内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛 的米约有

(A)14 斛

(B)22 斛

(C)36 斛

(D)66 斛

(7)设 D 为错误!未找到引用源。ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则
(A) AD ? ?

1 4 AB ? AC 3 3

(B) AD ?

1 4 AB ? AC 3 3 4 1 AB ? AC 3 3

(C) AD ?

4 1 AB ? AC 3 3

(D) AD ?

(8)函数 f(x)=错误!未找到引用源。的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 (A)(错误!未找到引用源。),k 错误!未找到引用源。 k 错误!未找到引用源。 (C)(错误! 未找到引用源。 ), k 错误! 未找到引用源。 (D)(错误! 未找到引用源。 ), (b)(错误!未找到引用源。),

k 错误!未找到引用源。

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

(10) ( x ? x ? y) 的展开式中, x y 的系数为
2 5 5 2

(A)10

(B)20

(C)30

(D)60

2 r

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, (12)该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 (13)表面积为 16 + 20 ? ,则 r= (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 r

r 正视图

12.设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的 整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( A.[ ?
3 ,1) 2e

x

2 r 俯视图

) D. [
3 ,1) 2e

B. [ ?

3 3 , ) 2e 4

C. [

3 3 , ) 2e 4

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 a= (14)一个圆经过椭圆错误!未找到引用源。的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准 方程为 . .

?x ?1 ? 0 y ? (15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

(16)在平面四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=75°, BC=2, 则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设错误!未找到引用源。 ,求数列错误!未找到引用源。}的前 n 项和
E

.

(18)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°, E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD A, DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
B

F D C

(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年

销售量 y(单位: t)和年利润 z(单位: 千元)的影响, 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i =1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
年 销 售 量 /t

年宣传费(千元)

x

y

w

?
i=1

8

(xi- x )

2

?
i=1

8

(wi- w )

2

?
i=1

8

(xi- x )(yi-

?
i=1

8

(wi-

y)
1.6 1469

w )(yi- y )
108.8

46.6

56.3

6.8
, ,w =

289.8

表中 wi = x i

1 8

?
i=1

8

wi

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回
归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i) (ii) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和

附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 截距的最小二乘估计分别为:

??

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

,? ? v ? ? u

2

(20)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=
x2 与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

(21)(本小题满分 12 分)
1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4

(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

? ( x ? 0)

,讨论

h(x)零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点 E
C E D A B

O

(I) 若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (II) 若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x=-2, 圆 C2 : (x-1)2+(y-2)2=1, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程;

(II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积

?
4

设 C2 与 C3 的交点为 M ,N ? ? ? R? ,

, 求△C2MN

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数错误!未找到引用源。=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

A 卷选择题答案 一、 选择题 (1)A (7)A (2)D (8)D (3)C (9)C (4)A (10)C (5)A (11)B (6)B (12)D

A、B 卷非选择题答案 二、填空题 (13)1
3 25 (14) ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4

(15)3

(16)

二、

解答题

(17)解:
2 2 (I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3. 2 2 可得 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即 2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a)

由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2. 又 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3 所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1
bn ? 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). an a?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ?
?

? bn
?( 1 1 ? )?( ) 2n ? 1 2n ? 3 ? ?

1? 1 1 1 1 ( ? )?( ? )? ? 2? 3 5 5 7 n ? . 3(2n ? 3)

(18)解: (I)连结 BD,设 BD AC=G,连结 EG,FG,EF.

在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ? ABC=120°, 可得 AG=GC= 3 .由 BE ? 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC. 又 AE ? EC,所以 EG= 3 ,且 EG ? AC.在 Rt ? EBG 中, 可得 BE= 2 故 DF=
6 2 .在 Rt ? FDG 中,可得 FG= . 2 2 2 , 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=

可得 FE= 又 AC

3 2 .从而 EG2 ? FG2 ? EF 2 , 所以EG ? FG 2

FG ? G, 可得EG ? 平面AFC. 因为 EG ? 平面AEC

所以平面 AEC ? 平面AFC

(III) 如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向,
GB 为单位长,建立空间直角坐标系 G-xyz.

2 ? 3,0), E (1, 0,2), F (?1, 0, ), C (0,3,0) 所以 由(I)可得 A(0, 2 AE ? (1,3 2), CF ? (?1,3,

AE ? CF 3 2 ). 故 cos AE, CF ? ?? . 2 3 AE ? CF

所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为

3 . 3

(19)解: ( I)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类 型。 (II)令 w ?
n

??2 分

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于

?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1 i i

? (w ? w)
i ?1 i

n

?

2

108.8 ? 68 1.6

? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 。 ? ? y ? dw c
? ? 1 0 0 .? 6 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y w 68 ,因此 y 关于 x 的回归方程为
??6 分

? ? 100.6 ? 68 x 。 y
(III) (i)由(II)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值

? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 y
年利润 z 的预报值

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 。 z (ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

??9 分

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 z
所以当 x ?

13.6 ? 取得最大值 ? 6.8 ,即 x=46.24 时, z 2
??12 分

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大。

(20)解:
x x2 (I)有题设可得 M (2 a , a), N (?2 a , a), 或M (-2 a ,a).又 y?= ,故y ? 在x ? 2 a 2 4

处 的 导 数 值 为

a

, C 在 点 ( 2 a a, 出 ) 的 切 线 方 程 为

y ? a ? a( x ? 2 即 a) ,
y?

a? x

? y

? a0

x2 在x ? ?2 a ,即 ax ? y ? a ? 0 . 4

股所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0和 a x ? y ? a ? 0 (III) 存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x,y),N(x,y)直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2

y ? kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0.
故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a. 从而 kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0.

故x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a.
从而k1 ? k 2 ? y1 ? b y2 ? b ? x1 x2

2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) x1 x2
? k (a ? b) a

当 b=-a 时,有

k1 ? k2 ? 0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补,故?OPM=?OPN,所以点P(0,-a)符合题意
(21)解:

( x0 , 0)则f ( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0即 1 ? 3 ? ? x0 ? ax0 ? ? 0 ? (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 ? 4 ? ?3x 2 ? a ? 0 ? ? 0 ? 1 3 解得x0 , a ? ? 2 4
3 因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 4

(II)当

x ? (1, ??)时,g( x) ? ?1nx ? 0, 从而h(x)=min ? f ( x), g( x)? ? g( x) ? 0, 故h( x)在(1, ??)无零点
5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 4 4

5 是 h( x)的零点;若a ? ? , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x 的 零 点 4

当x ? ( 0, 1) 时, g x( ? ) ? nx 1 ? 所以只需考虑 0. (x) f在(0,1)的零点个数
(i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调
1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4

a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3
a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4
5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4

综上,当
3 5 3 5 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点;当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 4 4 当? 5 3 ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4

(22)解: (I)链接 AE,由已知得, AE ? BC AC ? AB 在 Rt ?AEC 中,由已知得,DE=DC 故 ?DEC ? ?DCE 链接 OE,则 ? OBE= ? OEB 又 ? ACB+ ? ABC=90°所以 ? DEC+ ? OEB=90°
o 故 ?OED ? 90 ,DE 是 O 得切线

(II)设 CE=1,AE=X,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2

由摄影定理可得,AE=CE.BE,所以 x2 ? 12 ? x2 即 x ? x ? 12 ? 0
4 2

可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60

o

(23)解: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程 为 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。
2

??5 分

(II)将 ? ?

?
4

代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? 2 ? 3 2 ? ?4 ?0 ,解得 ?1 ? 2 2 ,
2

?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为

1 。 2

??10 分

(24)解: (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 , 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解; 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得

2 ? x ? 1; 3

当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 。 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x

? 2 ? ? x ? 2? 。 ? 3 ?

??5 分

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a, ?
所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ?

? 2a ? 1 ? , 0 ? , B ? 2a ? 1,0? , ? 3 ?

C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为
由题设得

2 2 ? a ? 1? 。 3

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 。 3
??10 分

所以 a 的取值范围为 ? 2, ???

B 卷选择题 一、 选择题 (1)D (2)A (3)C (7) D (8) A (9) C (10) C (4)A (5) D (6) B

(11) B (12) A



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