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步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破课件:专题三 第1讲 等差数列、等比数列



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专题三 第1讲

第1讲
【高考考情解读】

等差数列、等比数列

高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式:
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1.以填空题的形式考查,主要利用等差、等比数列的通项公 式、 前 n 项和公式及其性质解决与项、

和有关的计算问题, 属于基础题; 2.以解答题的形式考查,主要是等差、等比数列的定义、通 项公式、前 n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题,考 查用数列知识分析问题、解决问题的能力,属低、中档题.

主干知识梳理

专题三 第1讲

1.an与Sn的关系Sn=a1+a2+?+an, ? n=1, ?S1, an=? 本 ? ?Sn-Sn-1, n≥2. 讲
栏 目 2.等差数列和等比数列 开 等差数列 关

定义 通项公式

an-an-1=常数 (n≥2)

等比数列 an =常数 an-1 (n≥2)


an=a1+(n-1)d an=a1qn 1(q≠0)

主干知识梳理
(1)定义法 (1)定义法

专题三 第1讲

(2)中项公式法:2an+1=an+ (2)中项公式法:a2 n+1= an+2(n≥1)?{an}为等差数列 an· an
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2(n≥1)(an≠0)

判 定 方 法

(3) 通 项 公 式 法 : an = pn + ?{an}为等比数列 q(p、q 为常数)?{an}为等差 (3)通项公式法: 数列 an=c· qn(c、 q 均是不为 (4)前 n 项和公式法: Sn=An2 0 的 常 数 , n∈N*) ? +Bn(A、B 为常数)?{an}为 {an}为等比数列 等差数列 {logaan}为等差数列 (4){an} 为 等 差 数 列 ?
n

(5){an} 为等比数列, an>0 ? {a a } 为 等 比 数 列 (a>0 且 a≠1)

主干知识梳理

专题三 第1讲
(1)若m、n、p、 q∈N*,且m+n=p +q,则am· an=ap· aq (2)an=amqn-m (3)等比数列依次每n 项和(Sn≠0)仍成等比 数列

(1)若m、n、p、 q∈N*,且m+n=p+
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性质

q,则am+an=ap+aq (2)an=am+(n-m)d (3)Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,?仍成等差数列

(1)q≠1,Sn= n?a1+an? Sn= =na1+ a ?1-qn? a -a q 2 1 1 n = 前n项和 n?n-1? 1- q 1-q d 2 (2)q=1,Sn=na1

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专题三 第1讲

考点一
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与等差数列有关的问题

例1

在等差数列{an}中,满足 3a5=5a8,Sn 是数列{an}的前 n

项和. (1)若 a1>0,当 Sn 取得最大值时,求 n 的值; Sn-an (2)若 a1=-46,记 bn= n ,求 bn 的最小值.

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专题三 第1讲



(1)设{an}的公差为 d,则

本 讲 1 144 2 栏 =-23a1(n-12) + 23 a1. 目 开 关 ∵a1>0,∴当 n=12 时,Sn 取得最大值.

2 由3a5=5a8,得3(a1+4d)=5(a1+7d),∴d=-23a1. n?n-1? ? 2 ? 1 24 2 ∴Sn=na1+ ×?-23a1?=- a1n + a1n 2 23 23 ? ?

2 (2)由(1)及 a1=-46,得 d=-23×(-46)=4, ∴an=-46+(n-1)×4=4n-50, n?n-1? Sn=-46n+ ×4=2n2-48n. 2

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专题三 第1讲

Sn-an 2n2-52n+50 ∴bn= n = n
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50 50 =2n+ n -52≥2 2n× n -52=-32, 50 当且仅当 2n= ,即 n=5 时,等号成立. n 故 bn 的最小值为-32.

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专题三 第1讲

(1) 在等差数列问题中其最基本的量是首项和公 差, 只要根据已知条件求出这两个量, 其他问题就可随之而解, 这就是解决等差数列问题的基本方法, 其中蕴含着方程思想的
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运用. (2)等差数列的性质 ①若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; ②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,仍成等差数列; am-an ③am-an=(m-n)d?d= (m,n∈N*); m- n

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专题三 第1讲

an A2n-1 ④b = (A2n-1, B2n-1 分别为{an}, {bn}的前 2n-1 项的和). B2n-1 n
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(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn=f(n) 是 n 的二次函数或一次函数且不含常数项, 即 Sn=An2+Bn(A2 +B2≠0).

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专题三 第1讲

(1)(2012· 浙江改编)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等 差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误 的是________.(填序 .. 号)
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①若 d<0,则数列{Sn}有最大项; ②若数列{Sn}有最大项,则 d<0; ③若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0; ④若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列. (2)(2013· 课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=________.

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专题三 第1讲

解析

d? d 2 ? (1)利用函数思想,通过讨论 Sn= n +?a1-2?n 的单调 2 ? ?

性判断.

d? 1 d 2 ? 设{an}的首项为 a1,则 Sn=na1+ n(n-1)d= n +?a1-2?n. 本 2 2 ? ?

讲 栏 由二次函数性质知 Sn 有最大值时,则 d<0,故①②正确; 目 开 关 因为{Sn}为递增数列,则 d>0,不妨设 a1=-1,d=2,显然

{Sn}是递增数列,但 S1=-1<0,故③错误; 对任意 n∈N*, Sn 均大于 0 时, a1>0, d>0, {Sn}必是递增数列, ④正确.

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(2)am=2,am+1=3,故 d=1,

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m?m-1? 因为 Sm=0,故 ma1+ d=0, 2
本 讲 栏 因为 am+am+1=5, 目 开 关 故 am+am+1=2a1+(2m-1)d

m-1 故 a1=- 2 ,

=-(m-1)+2m-1=5, 即 m=5.
答案 (1)③ (2)5

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考点二 例2 与等比数列有关的问题

专题三 第1讲

(1)(2012· 课标全国改编)已知{an}为等比数列, a4+a7=2,

a5a6=-8,则 a1+a10=________. (2)(2012· 浙江)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为
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Sn.若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q=________.

解析

(1)利用等比数列的性质求解.
? ?a4=-2, 解得? ? ?a7=4 ? ?a4=4, 或? ? ?a7=-2.

? ?a4+a7=2, 由? ? ?a5a6=a4a7=-8
3 ? q ? =-2, ∴? ? ?a1=1

1 ? 3 ?q =- , 2 或? ? ?a1=-8,

∴a1+a10=a1(1+q9)=-7.

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专题三 第1讲

(2)利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解. S4=S2+a3+a4=3a2+2+a3+a4=3a4+2,
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将 a3=a2q,a4=a2q2 代入得, 3a2+2+a2q+a2q2=3a2q2+2,化简得2q2-q-3=0,
3 解得 q= (q=-1 不合题意,舍去). 2 3 答案 (1)-7 (2) 2

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专题三 第1讲

(1)证明数列是等比数列的两个方法:①利用定义: an+1 * 2 ( n ∈ N ) 是常数, ② 利用等比中项 a n = an - 1an + 1(n≥2 , an
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n∈N*). (2)等比数列中的五个量:a1,an,q,n,Sn 可以“知三求二”. (3){an}为等比数列,其性质如下: ①若 m、n、r、s∈N*,且 m+n=r+s,则 am· an=ar· as; ②an=amqn-m; ③Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列(q≠-1).

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专题三 第1讲

(4)等比数列前 n 项和公式
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?na1?q=1?, ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq ? 1-q = 1-q ?q≠1?. ? ①能“知三求二”;②注意讨论公比 q 是否为 1;③a1≠0.

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专题三 第1讲

(2013· 湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和, S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合条件
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的所有n的集合;若不存在,说明理由.

解 (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得
? ?S2-S4=S3-S2, ? ? ?a2+a3+a4=-18.
? ?a1=3, 解得? ? ?q=-2.
2 3 2 ? ?-a1q -a1q =a1q , 即? 2 ? ?a1q?1+q+q ?=-18,

故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n 1.


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3[1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2?

专题三 第1讲

假设存在 n,使得 Sn≥2 013, 则 1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012.
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当 n 为偶数时,(-2)n>0.上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即 2n≥2 012,则 n≥11.
综上, 存在符合条件的正整数 n, 且所有这样的 n 的集合为{n|n =2k+1,k∈N,k≥5}.

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考点三 等差数列、等比数列的综合应用

专题三 第1讲

例 3 已知等差数列{an}的公差为-1,且 a2+a7+a12=-6. (1)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn; (2)将数列{an}的前 4 项抽去其中一项后, 剩下三项按原来顺
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序恰为等比数列{bn}的前 3 项,记{bn}的前 n 项和为 Tn,若 存在 m∈N*,使对任意 n∈N*,总有 Sn<Tm+λ 恒成立,求 实数 λ 的取值范围.



(1)由 a2+a7+a12=-6 得 a7=-2,∴a1=4, n?9-n? ∴an=5-n,从而 Sn= 2 . (2)由题意知 b1=4,b2=2,b3=1, 设等比数列{bn}的公比为 q,

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专题三 第1讲

b2 1 则 q= = , b1 2 1m 4[1-? ? ] 2 1m ∴Tm= =8[1-( ) ], 1 2 1- 2 本 1m 讲 ∵( ) 随 m 增加而递减,∴{Tm}为递增数列,得 4≤Tm<8. 2
栏 目 开 关

n?9-n? 1 2 1 9 2 81 又 Sn= =- (n -9n) =- [(n- ) - ], 2 2 2 2 4

故(Sn)max=S4=S5=10,
若存在 m∈N*,使对任意 n∈N*总有 Sn<Tm+λ, 则 10<4+λ,得 λ>6.

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专题三 第1讲

等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法 (1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,
本 但有时灵活地运用性质,可使运算简便. 讲 栏 (2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题, 目 开 求解时用等差 ( 比 ) 数列的相关知识,将问题转化为相应的函 关

数、方程、不等式等问题求解即可.

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专题三 第1讲

已知数列{an}满足a1=3,an+1-3an=3n(n∈N*), 数列{bn}满足bn=3 nan.


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(1)求证:数列{bn}是等差数列; a1 a2 a3 an 1 Sn 1 (2)设Sn= + + +?+ ,求满足不等式 < < 的 3 4 5 128 S2n 4 n+ 2 所有正整数n的值.

(1)证明 由bn=3 nan得an=3nbn,


则an+1=3n 1bn+1.


代入an+1-3an=3n中,得3n 1bn+1-3n 1bn=3n,
+ +

1 即得bn+1-bn= . 3 所以数列{bn}是等差数列.

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(2)解 因为数列{bn}是首项为 b1=3 1a1=1,


专题三 第1讲

1 公差为 的等差数列, 3 n+2 1 则 bn=1+3(n-1)= 3 , 本 讲 则 a =3nb =(n+2)×3n-1, n n 栏
目 开 关

an 从而有 =3n-1, n+2 a1 a2 a3 an 故 Sn= + + +?+ 3 4 5 n+2
n n 1 - 3 3 -1 2 n-1 =1+3+3 +?+3 = = 2 , 1-3

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专题三 第1讲

n Sn 3 - 1 1 则 = 2n = n , S2n 3 - 1 3 + 1

1 Sn 1 1 1 1 本 由128<S <4,得128<3n+1<4, 2n 讲
栏 目 开 关

即 3<3n<127,得 1<n≤4. 1 Sn 1 故满足不等式128<S <4的所有正整数 n 的值为 2,3,4. 2n

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专题三 第1讲

1.在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an,Sn 五个量中知道其
本 讲 是转化为首项 a1 和公差 d(公比 q)这两个基本量的有关运 栏 目 算. 开 关 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,

中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般

是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意 识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有 时需要进行适当变形.

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专题三 第1讲

3.等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d>0?{an}为递增数列,Sn 有最小值.
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d<0?{an}为递减数列,Sn 有最大值. d=0?{an}为常数列. (2)等比数列的单调性 ? ? ? ?a1>0, ?a1<0, ?a1>0, 当? 或? 时, {an} 为递增数列,当 ? ? ? ? ?q>1 ?0<q<1 ?0<q<1
? ?a1<0, 或? ? ?q>1

时,{an}为递减数列.

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专题三 第1讲

4.常用结论 (1)若{an}, {bn}均是等差数列, Sn 是{an}的前 n 项和, 则{man Sn +kbn},{ n }仍为等差数列,其中 m,k 为常数. (2)若{an}, {bn}均是等比数列, 则{can}(c≠0), {|an|}, {an· bn}, 1 2 {manbn}(m 为常数),{an},{a }等也是等比数列. n (3)公比不为 1 的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比 数列,且公比不变,即 a2-a1,a3-a2,a4-a3,?成等比 a3-a2 ?a2-a1?q 数列,且公比为 = =q. a2-a1 a2-a1

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专题三 第1讲

(4)等比数列(q≠-1)中连续 k 项的和成等比数列,即 Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,?成等比数列,其公差为 qk. 等差数列中连续 k 项的和成等差数列,即 Sk,S2k-Sk,S3k -S2k,?成等差数列,公差为 k2d.
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5.易错提醒 (1)应用关系式
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2

时,一定要注意分 n

=1,n≥2 两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能 否整合在一起. a+ c (2)三个数 a,b,c 成等差数列的充要条件是 b= ,但 2 三个数 a,b,c 成等比数列的必要条件是 b2=ac.

押题精练

专题三 第1讲

1 1.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等 2 本 a8+a9 讲 差数列,则 =________. a + a 栏 6 7
目 开 关

押题精练

专题三 第1讲

解析

记等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0,

由题意知 a3=a1+2a2,即 a1q2=a1+2a1q.
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因为 a1≠0,所以有 q2-2q-1=0, 由此解得 q=1± 2, 又 q>0,所以 q=1+ 2.
a8+a9 q2?a6+a7? 2 所以 = =q =(1+ 2)2=3+2 2. a6+a7 a6+a7
答案 3+2 2

押题精练

专题三 第1讲

2.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am, 1 4 an 使得 aman=4a1,则m+n的最小值为________.
解析 因为 a7=a6+2a5,所以 q2-q-2=0,
本 讲 栏 目 开 关

解得 q=2 或 q=-1(舍去).
m+n-2 又 aman= a2 q =4a1, 1

所以 m+n=6.
1 4 1? 1 4? 则m+n=6?m+n?(m+n) ? ?

押题精练

专题三 第1讲

? 1? n 4m 1? ? = ?1+m+ n +4?≥ ?5+2 6? ? 6?

n 4m? ? 3 = . m·n ? ? 2

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n 4m 当且仅当m= n ,即 n=2m 时,等号成立. 此时 m=2,n=4.
答案 3 2

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专题三 第1讲

3. 已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn, 等比数列{bn}的各项 均为正数,公比是 q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12, S2=b2q. (1)求 an 与 bn;
本 讲 栏 目 开 关

2 (2)设 cn=3bn-λ·
值范围.

an 3

,若数列{cn}是递增数列,求 λ 的取



? ?q+3+a2=12, (1)由已知可得? 2 ? 3 + a = q , ? 2

所以 q2+q-12=0,解得 q=3 或 q=-4(舍), 从而 a2=6,所以 an=3n,bn=3n-1.

押题精练

专题三 第1讲
an 3

2 =3n-λ· (2)由(1)知,cn=3bn-λ· 2n.
由题意,得 cn+1>cn 对任意的 n∈N*恒成立, 即 3n 1-λ· 2n 1>3n-λ· 2n 恒成立,
+ +

本 讲 栏 目 开 关

亦即 λ· 2 <2· 3 恒成立,即 由于函数

n

n

?3? ? ?n 恒成立. λ<2· ?2?

?3? y=?2?n 是增函数, ? ?

? ?3? ? 3 n ? ? ?min=2× =3, 所以?2· 2 ? ?2? ?

故 λ<3,

即 λ 的取值范围为(-∞,3).



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