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同角三角函数基本关系与诱导公式



5.2 同角三角函数的关系、诱导公式
一、知识点 1、同角三角函数的基本关系式 ①平方关系: sin2α+cos2α=1 sin ? ? ② 商数关系: tan ? ? (? ? k? ? , k ? ?) cos ? 2 2、有关弦化切的求值问题(齐次式) 3、 sin ? ? cos ? 与 sin ? ? cos ? 的应用(知一求二) 4、六组诱导公式

>组数 角 一 二 三 四 五 六

2k? ? ? (k ? Z )

? ??
? cos?
? tan ?

? ??
? cos?
tan ?

??
? sin ?

?
2

??

?
2

??

正弦 余弦 正切 口诀

cos?
tan ?

sin ?

sin ?

? sin ?

cos?

cos? sin ?
cot ?

cos? ? sin ?
? cot ?

? tan ?

函数名不变,符号看象限

函数名改变,符号看象限

诱导公式: k ?

?
2

? ? , k ? ? ,口诀:奇变偶不变,符号看象限

诱导公式的应用原则:负化正,大化小,化到锐角再查表

课前预习:
1.已知 cos ? ? ? A.2 2.已知 sin ? ?

5 5
B. -2

,且 sin ? ? 0 C.

,则 tan ? 为

(

)

1 2

D.

?

1 2

4 且 tan ? ? 0, 则 cot ? ? ( ) 5 4 3 4 3 A. ? B. ? C. D. 3 4 3 4 1 3.如果 ? 锐角,则 sin(? ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? ? ) ? ( 2
A. ?

)

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2
( D. )

4. 已知 sin ? ? A.

12 13

5 , ? 是第二象限的角,则 cos(? ? ? ) ? 13 5 5 B. C. ? 13 13

?

12 13

典例精析
题型一 三角函数式的化简问题

例 1 已知 f(α)=

sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+π? -tan?-α-π?sin?-π-α?

3π ? 1 ? (1)化简 f(α);(2)若 α 是第三象限角,且 cos?α - ?=5,求 f(α)的值. 2 ? ?

【点拨】运用诱导公式的关键是符号,前提是将 α 视为锐角后,再判断所求角的象限. 3π 【变式训练 1】已知 f(x)= 1-x,θ∈( ,π),则 f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)= . 4

题型二 同角三角函数间的基本关系

例 2. 已知 sin ? +cos ? = 5 , ? ∈(0, ? ).求值:
(1 ) tan ? ;(2)sin ? -cos ? ;(3)sin3 ? +cos3 ? .

1

【变式训练 2】

(1) .化简

1 - 2sin10 0 cos 10 0 cos 10 0 ? 1 ? cos 2 170 0

的值是____________.

(2).已知 α 是第三象限角,则化简

1 - sin? 1 ? sin ? ? 的值为__________. 1 ? sin ? 1 ? sin ?

题型三 三角函数式的简单应用问题 π 1 【例 3】已知- <x<0 且 sin x+cos x= ,求: 2 5 (1)sin x-cos x 的值; π π (2)sin3( -x)+cos3( +x)的值. 2 2

【点拨】求形如 sin x± cos x 的值, 一般先平方后利用基本关系式,再求 sin x± cos x 取值符号. 1-cos4α-sin4α 【变式训练 3】化简 . 1-cos6α-sin6α

题型四 齐次下的弦切互化

例 4 已知

tan ? ? ?1 ,求下列各式的值. tan ? ? 1



sin ? ? 3 cos? 2 ;② sin ? ? sin ? cos? ? 2 sin ? ? cos?

1 【变式训练 4】已知 tan α= ,则 2sin αcos α+cos2α 等于( 2 4 A. 5 【变式训练 5】 8 B. 5 6 C. 5

) D.2

已知 tan ? =2,求下列各式的值:

(1)

2 sin ? ? 3 cos? 4 sin ? ? 9 cos?
2 sin 2 ? ? 3 cos2 ? 4 sin 2 ? ? 9 cos2 ?
2 ;

;

(2)

(3)4sin

? -3sin ? cos ? -5cos2 ?

.

总结提高
1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义,只要是“同一个角”,那么基本关系式 就成立,如:sin2(-2α)+cos2(-2α)=1 是恒成立的.

2.诱导公式的重要作用在于: 它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数 间的内在联系,从而可化负为正,化复杂为简单.

反馈练习:
1、已知角 ? 的终边经过点(-3,4) ,则 sin( 2、已知 tan ? ? ? 3、若

?
2

? ? ) ? tan(? ? ? ) ?



tan ? ? 1 ? ? 3 ,且 ? ? (0, ) ,则 sin ? =____________。 tan ? ? 1 2 25? 3 4、设 ? 是第三象限的角,cos ? =- ,求 sin( + ? )的值 5 3

3 ? , ? ? ( , ? ) ,那么 sin ? =__________。 4 2

课后练习
1、如果 α 是第二象限的角,下列各式中成立的是( ). sin α cos α A.tan α=- B.cos α=- 1-sin2α C.sin α=- 1-cos2α D.tan α= cos α sin α 2、已知 α 是第四象限的角, cos ? ? A

5 13

B

?

5 13

C

12 , 则 sin ? 等于 ( 13 5 5 ? D 12 12
( ) C

)

3、化简 1 ? 2 sin 20? ? cos20? ? A

sin 20? ? cos 20?

B sin 20? ? cos 20?

cos 20? ? sin 20?


D cos 20? ? sin 20? )

4、已知 sin ? cos ? ?

1 ? ? ( ? ? ? ), 则 cos ? ? sin ? ? 8 4 2

A

3 2

B

?

3 2

C )

3 4

D

?

3 4

5、 sin(?330?) 的值(

A.

1 2

B?

1 2

C

3 2

D. ?

3 2
).

6、计算 sin2150° +sin2135° +2sin 210° +cos2225° 的值是( 1 3 A . B. 4 4 C 11 D 4 9 . 4 )

7、已知 sin(? ? ? ) ? ?

1 ,那么 cos ? 的值为( 2

A、

3 2

B、

1 2

C、 ?

1 2

D、 ?

3 2


8、若 cos(? ? ? ) ? ? A、 ?

1 3? ? ? ) 是( ,那么 sin( 3 2 1 3
C、

1 3

B、

2 2 3

D、 ?

2 2 3


9、设 tan(5? ? ? ) ? m ,则

sin(? ? 3? ) ? cos(? ? ? ) 的值为( sin(?? ) ? cos(? ? ? )
C、 ?1
2

A、

m ?1 m ?1
2

B、
4

m ?1 m ?1
2

D、1 ( )

10、化简 cos ? ? sin ? ? sin ? cos ? 的结果是 A

2 3

B

3 2

C

1 4

D

1

3 ,则 tan ? 2π ? ? ? ? ____________. 5 π ? 3 ?5π ? 12、已知 cos ? ?6+θ?= 3 ,则 cos ? 6 -θ?=________
11、已知 cos ? π ? ? ? ? ?

13、计算 sin21° +sin22° +sin23° +?+sin289° =________.
14、已知 tan ? ? ?
2 1 ,则 2 sin ? cos ? ? cos ? ? _______ 3

4 15、已知 sin (α+π)= ,且 sin αcos α<0, 5 1 6、 已知 sin ? ? cos ? ? 17、 sin( ?

2sin ?α-π?+3tan ?3π-α? 求 的值. 4cos ?α-3π? ).

1 ? ? ,且 ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? 的值是( 8 4 2
).

19 ? ) 的值等于( 6

18、 若 sin(? ? A) ? 19、 sin(? ?

1 3 ,则 cos( ? ? A) ? _________________. 2 2

?
6

) ? sin( 2? ?

?
6

) ? sin( 3? ?

?
6

) ? ? ? sin( 2008? ?

?
6

) 的值等于___________.

sin( ? ? ) ? cos(3? ? ? ) ? tan( ? ??) 2 20、 化简 。 ? cos( ? ? ) ? cos(?? ? ? ) 2

?



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