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2014年全国高中数学青年教师展评课:合情推理教学设计及点评(新疆兵团第八师石河子一中颜波)



“合情推理”教案、教案说明及点评
颜波(新疆兵团第八师石河子一中)





一.教材分析 1.教材的地位和作用 推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系,但是作为一章内容出现在 高中数学教材中尚属首次。 《推理与证明》是新课标教材的亮点之一,本章内容将 归纳与推理的一般方法进行了必要的总结和归纳,同时也

对后继知识的学习起到 引领的作用. 教材的设计还原了数学的本源、本质,是对“观察发现、归纳类比、抽象概 括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳,使已学过得的数学知识和思想方 法系统化、明晰化,操作化.紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例,避免空 泛地讲数学思想方法,以变分散为集中,变隐性为显性的方式学习了推理和证明, 是知识、方法、思维和情感的融合与促进,能让学生充分体会数学的发生、发展. 2.课时划分 《合情推理》的教学分两个课时完成:第一课时内容为归纳推理;第二课时内 容为类比推理. 二、教学目标 1.知识技能目标 理解归纳推理的概念,了解归纳推理的作用,掌握归纳推理的一般步骤,会 利用归纳进行一些简单的归纳推理. 2.过程方法目标 学生通过积极主动地参与课堂活动,经历归纳推理概念的获得过程,了解归 纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程,体会并认识利用归纳推理能猜 测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤;通过具体 解题,感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用;通过自主学习归 纳推理的一般方法,建构归纳推理的思维方式. 3.情感态度,价值观目标 学生通过主动探究、合作学习、相互交流,培养不怕困难、勇于探索的优良 作风,增强了数学应用意识;通过体会成功,形成学习数学知识、了解数学文化 的积极态度. 三、教学重点、难点 重点:归纳推理的含义与作用 难点:利用归纳法进行简单的合情推理 四、教法与教具选择 教学方法:启发发现法、课堂讨论法。 教具:多媒体、粉笔、黑板。 理论根据:启发发现法就是利用归纳法基本步骤开展教学,即在教学过程中 利用合适的资源启发学生主动自我发现,自我猜想,自我归纳.因为学生拥有自己 的知识、经验、灵感,是主动和富有创造性的,所以采用启发发现法,往往能使

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学生在课堂活动中表现出浓厚的学习兴趣.而学生之间的讨论,师生之间的讨论不 仅能培养学生的合作团队意识,对于发现新结论也是非常重要的,因此在教学过 程中要倡导学生参与到课堂活动中来,形成生生互动,师生互动的局面. 五、教学过程 教 学 程 序 师生互动 设计意图 环节 1、引出推理的概念: 推理是人们思维活动的 过程,是根据一个或几个已知的判断来确定 一个新的判断的思维过程。 (2 分钟) 2、日常生活中,推理。例如: 医生诊断病人的病症, 警察侦破案件, 气象专家预测天气的可能状态, 创设 考古学家推断遗址的年代, 情景 数学家论证命题的真伪等等。 3、生活中我们遇到这样的情形, 你能得到怎 样的推理? 4、看见柳树发芽,冰雪融化。 。 。 。 。 。 。 5、看见乌云密布,燕子低飞。 。 。 。 。 。 。 6、看见花儿凋谢,树叶变黄。 。 。 。 。 。 。 (6 分钟) 数学猜想 1、设 f(n)=n2+n+41,观察下列数据,你能猜 到什么结论? 授 自然合理地 提出问题,让学 生体会“数学来 源于生活” 。创造 和谐积极的学习 气氛。 为课堂结尾 的“数学是生动 活泼的,发现问 题是数学学习的 一个重要目的” 埋下伏笔。

学 生 踊 跃回答问题, 教师通过评 价学生推测 的结论引入 推理的概念。





先 引 导 学生发现推 理的结论都 f (1) ? 12 ? 1 ? 41 ? 43 是通过猜想 得到的。再引 f (2) ? 2 2 ? 2 ? 41 ? 47 导学生观察 f (3) ? 32 ? 3 ? 41 ? 53 推理结论是 2 否正确,引出 f (4) ? 4 ? 4 ? 41 ? 61 归纳推理定 2 、 由 此 猜 想 , n 为 任 何 正 整 数 时 义及一般步 f(n)=n2+n+41 都是质数 骤 3、n=40 呢?n=41 呢?(12 分钟) 4、引出归纳推理定义, (板书课题) 5、归纳推理的一般步骤.(14 分钟)

给出例子让 学生通过直观感 知、观察、归纳 做出合理分析, 并抽象概括出合 情推理和归纳推 理的概念,完成 由浅入深、由易 到难、由特殊到 一般的思维飞 跃。

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通 过 归 纳推理的例 子的比较分 析,学生理解 消化归纳推 理的概念。 组 织 学 生进行分组 讨论,引导学 生对归纳推 理的应用进 行举例。

分组讨论降 低了概念学习的 难度,使学生能 够更多的围绕重 点展开探索和研 究。 学生的主体 意识在这里获得 充分的体现。

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感受归纳推理的魅力, 重点介绍两大猜想 (同 时指出) 归纳推理所得的结论仅是一种猜想,未必可 靠,还需证明。 1、费马猜想。 例如,介绍费马猜想 已知 22 ? 1,22 ? 1,22 ? 1,22 ? 1都是质数, 运用归纳推理你能得出什么样的结论? 半个世纪后欧拉发现 5 ? 641 ? 6700417 2 2 ? 1 ? 4294967297 说明了什么? 后来人们又发现 22 ? 1,22 ? 1,22 ? 1 都是合 数,你们又能得到什么样的结论?(18 分钟)
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学 生 主 动探究规律, 感受归纳推 理对发现新 事实、得出新 结论的作用。 引 导 学 生发现并总 结规律。

2.介绍歌德巴赫猜想 观察下列等式 3+7=10 3+17=20 13+17=30 你们能从中发现什么规律? 如果换一种写法呢? 10=3+7 20=3+17 30=13+17 这个规律对于其他偶数是否成立? (25 分钟) 介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发 现 三、归纳推理的作用 1.发现新事实: 应用归纳推理可以发现新事实, 获得新结论, 下面是一个数学中的例子。 观察:1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52, ??由上述具体事实能提出怎样的结论? 可以猜想:前 n 个连续奇数的和等于 n 的平 方, 即 1 ? 3 ? ? (2n ?1) ? n2 . (30 分钟)
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设置费马猜 想和歌德巴赫赫 猜想产生情景, 激发学生的求知 欲。同时提及两 大猜想产生的时 代背景,让学生 接受数学文化的 熏陶,感受归纳 推理的魅力。教 师生动讲述欧拉 发现第五个费马 数的过程,激发 学生的好奇心与 求知欲,同时, 通过“猜想—— 验证——再猜 想”说明科学的 进步与发展处在 一个螺旋上升的 过程。

让 学 生 在解决问题 的过程中发 an ,求这个数列的通项公式。 an?1 ? 现归纳推理 an ? 1 需要检验过 在例 1 和例 2 中, 我们通过归纳得到了两个 程,从而自我 猜想。 虽然它们是否正确还有待严格的证明, 修 正 归 纳 推 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。 理的一般步 (33 分钟) 骤。 2、已 知 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ? 1 , 且 有 授

新 小结:归纳推理的作用 1.发现新事实 2.提供研究方向 体会归纳推 理的一般步骤, 进一步感受归纳 推理的作用。通 过第二小题让学 生感受归纳推理 起到了能够提供 研究方向的作 用,培养学生进 行归纳推理的能 力。



学 生 自 主探究,教师 点评第一小 题的两种解 法。

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例 3、 1996 年的诺贝尔化学奖授予对发现 C60 有重大贡献的三位科学家.C60 是有 60 个 C 原子组成的分子,它结构为简单多面体 形状.这个多面体有 60 个顶点,各面的形状 只有五边形或六边形两种.其中五边形和六 边形的面各有 12 个和 20 个. 计算 C60 分子中有多少条棱? 学 以 致 用 铺设桥梁,以退为进: 在一个凸多面体中, 试通过归纳猜想其顶点数 V、棱数 E、面数 F 满足的关系。 从这些事实中,可以归纳出: 解: 由题意有顶点数 V=60,面数 F=12+20, 由 V+F-E=2 解得 E=90. (38 分钟) 变式: “世界末日”的传说:把这个寓言和现 代科学推测对比, 同时用动画展示游戏过程。 (43 分钟)

由 学 生 在讲义上作 图,发现规律 并总结,再通 过学生之间 充分讨论之 后相互交流, 教师点评。

给学生创建 一个开放的、有 活力、有个性的 数学学习环境。 感受数学美 和发现规律的喜 悦,激发学生更 积极地去寻找规 律、认识规律。 同时让学生感受 到只要做个有心 人,发现规律并 非难事。





五、 学 生 讨 让学生自己 1.归纳推理的成功范例:费马猜想,歌德巴 论总结,相互 小结,这是一个 赫猜想,牛顿发现万有引力,门捷列夫发现 补充,教师点 多 维 整 合 的 过 元素周期表。得出:归纳推理是科学发现的 评。 程,是一个高层 重要途径。 次的自我认识过 3.小结回顾,思维收获 。(44 分钟) 程。 1.完成课本 P83 A 组 1—3 2.选做 孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理;七桥问题;欧拉回路(选择两 个猜想探究来源) (45 分钟)





实习作业的 设置为了教会学 生怎样利用资料 进行数学学习, 同时让学生了解 网络是自主学习 和拓展知识面的 一个重要平台。 这是本节内容的 一个提高与拓 展。设计选做题 是针对学有余力 的同学提升高 度,链接高考。

六、板书设计

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一、推理 二、归纳推理的含义 三、归纳推理的作用 1.发现新事实 2.提供研究方向 四、归纳推理的一般步骤 五、小结

合情推理 ——归纳推理 例 1(1) (2)

练习

教案说明
一、授课内容的数学本质与教学目标定位 人们习惯于把数学看成是演绎科学、研究结构的科学,主要是由于人们习惯 上从数学研究的结果来看数学的本质特征.然而,结果并不能反映数学的全貌, 组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程,一个“思维的实验过 程”.波利亚(G. Poliva,1888 一 1985)认为,“数学有两个侧面,由欧几里 德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看来 却像是一门实验性的归纳科学.”本节课的设计就是为了还原数学的本质,让学 生意识到数学不仅仅是演绎的科学,更是归纳的科学. 本节课的教学目标设置: 1.理解归纳推理的概念,了解归纳推理的作用,掌握归纳推理的一般步骤, 会利用归纳进行一些简单的归纳推理. 2.学生通过积极主动地参与课堂活动,经历归纳推理概念的获得过程,了解 归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程,体会并认识利用归纳推理能 猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤;通过具 体解题,感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用;通过自主学习 归纳推理的一般方法,建构归纳推理的思维方式. 3.学生通过主动探究、合作学习、相互交流,培养不怕困难、勇于探索的优 良作风,增强数学应用意识;通过体会成功,形成学习数学知识、了解数学文化 的积极态度. 二、学习本内容的基础以及用处 推理与证明思想不仅贯穿于高中数学的整个知识体系,在其他学科领域也有 多处涉及.在高中历史教材《历史人物评说》中介绍亚里士多德时,对推理做了 一定的介绍;高中政治学科的科学方法论中的推理内容对推理也做了相应的讲述 ; 物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理; 高中生本身的学习生活阅历中也有很多合情推理的实例.通过本节课学生可以真 正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性,初步体会科学的方法论在日常生 活的作用.同时,本节课的学习有助于学生更完整更准确地认识到数学不仅仅是演 绎科学,更是归纳的科学;有助于学生形成归纳推理的思维方式, 培养创新精神, 为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础;有助于学生养成良好的科 学态度和严谨的学习作风,形成言之有理、论证有据的习惯. 三、教学内容解析 本节内容中,学生会较快接受推理的概念,但是对于推理方法的分类会有一 定的疑惑.本节课先利用多个例子让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比做出
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合理分析,抽象概括出归纳推理的概念,再利用分组讨论降低了概念学习的难度, 使学生能够更多围绕归纳推理这个重点展开探索和研究. 在体验哥德巴赫猜想产生的过程中,当所给的偶数较大时,学生的检验会遇 到相当大的困难;在体会费马猜想的产生过程中学生的思维容易产生混乱,故设 计了教师讲述欧拉发现第五个费马数的过程,激发学生的好奇心与求知欲,同时, 通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过 程。 在充分体会了归纳推理的生活实例和数学实例以及其他学科实例之后,学生 充分感受到数学美和发现规律的喜悦,能够自主总结出归纳推理的一般步骤,但 是容易忽略归纳推理所得结论的不可靠性,从而忽略检验的步骤.所以本节课设 计了费马猜想的产生及推翻过程,让学生充分体会检验的必要性,体会数学发展 的螺旋上升过程. 对于例 2,学生能非常熟练地运用归纳推理得出通项公式,但容易忽略所得结 论的不可靠性和证明的必要性 . 所以本节课设计引导学生再用演绎推理的方法解 题,就能直观地比较出归纳推理和演绎推理两种思维方式不同的优势.例 3 是在 例 2 上的一种深化,学生无法运用演绎推理的方式直接解题,但可以运用归纳推 理探索解题的方向,从而进一步感受归纳推理的优势. 在本节课的后半节特意设置了学以致用的题目,让学生体会归纳推理的一 般模式,在解决问题的同时也让学生产生愉悦的体会,增加对数学学习的兴趣和 信心。 四、本节课的教法特点 1.引入的设计充分体现了学生的数学情怀 中学数学教学中的大规模练习使学生对于数学有了根深蒂固的认识:数学是 严肃枯燥的,数学是解决问题的科学.从某种意义上讲当前中学数学的教学不同 程度地掩盖了数学的本质.引入设计采用的调查报告中的数据很容易引起学生的 共鸣,抓住了本节课的授课本质,为改变学生对数学的认识现状作好了必要的铺 垫. 2. 问题的选择注重强调数学的文化价值 本节课创设了费马猜想、哥德巴赫猜想、欧拉公式的发现情境,并有相应的 数学史的介绍.学生在体验三大猜想产生的过程中自然地受到数学文化的熏陶,也 能学习到数学家的数学思想精神、思维方法和看问题的着眼点等,从而提高了自 身的数学素养. 3. 充分尊重学生的思维活动和自主探究 在分组讨论的过程中给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台; 在活动中引导学生用归纳的思维方法思考问题,要求学生在学习归纳推理的过程 中运用归纳推理,有效地提高了课堂教学的效率和容量. 4. 计算机软件应用灵活、有针对性 在本节授课过程中,共设计计算机演示操作哥德巴赫猜想和练习中使用的分 子 c60 分子, 世界末日问题中的动画展示将授课过程中的难点一一化解.尤其是世界 末日问题中的动画展示使本来非常难处理的问题简单化、直观化. 5.注重学生个性发展 对课本例 1 进行了发展与深化,创设学生的思维困难,体会归纳推理的思维 简单性、合理性;练习设计则降低对知识的要求,使得不同层次的学生都能得到 相应的训练,提高课堂的思维效率;作业设计中的网站浏览有利于丰富学生的知

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识,拓展视野,将数学课堂延伸到学校以外;作业中的选做题为学有余力的学生 提供进一步发展的空间. 五、学生学情分析及教学策略分析: 我校共 24 个教学班,其中理科班 17 个,按学生层次分两个尖尖班,五个实 验班,10 个理科平行班,这个班是理科平行班,这个班学生学习数学相对比较吃 力,备课时(相对实验班)很少拔高,同时设法激发和保护学生学习数学的积极 性。授课过程在达到本节课的教学目标的基础上,能让学生深刻体会到数学是生 动的、有趣的,数学的本质并非仅仅是解决问题,更重要的是发现问题(数学不 仅仅是演绎的科学,更是归纳的科学) .




蒋新林

新疆兵团第八师石河子教育局教研室

从完整的授课录像可以看出:颜波老师的教学充分体现了以学生为主体、教 师为主导、合情推理(归纳推理)为主线、学生思维发展为主体的数学教育目标, 以教材内容为素材加工整理设计的一堂有学习价值的优秀参评课。整节课有如下 主要特点: 一、教材内容处理合理、重点突出 合情推理一课是人教 A 版选修 2-2 的教学内容,它包括归纳推理和类比推理, 分两个课时完成,内容多、容量大、密度高。如第一节课都讲,对归纳推理的概 念形成过程教学不足,因此颜老师着重抓住归纳推理展开教学,这样处理,重点 突出,效果较好,教学目标容易达成。 二、兼顾知识的发生发展过程和数学本质的提炼 颜老师这节课教学循序渐进,从“推理---数学猜想---归纳推理---归纳推理 的应用” ,是学生经历了非严格到严格的过程,重点组织学生学习合情推理和归纳 推理,课堂上通过五个环节及丰富的事例,使学生充分体验了归纳推理的要义和 主要步骤,使新课程中的“三维教学目标”在本节课教学中得到了较好的体现。 颜老师的设计教学: 第一环节中,教师例举了: “医生诊断病人病症;警察侦破案件;气象预测天 气;考古学家推断遗址年代;数学家论证命题的真伪”等一系列的实例,让学生 感受推理的意义。并展示了:设 f(n)=n2+n+41,观察猜想能得到什么结论的简单 问题。 第二环节中,从数学猜想: “哥德巴赫猜想,费马猜想,格尼斯堡七桥猜想” 让学生感受合情推理和归纳推理。让学生讨论合作学习,并引导学生理解归纳推 理中的关键词: “部分”——“整体” ; “特殊”——“一般” 。 第三环节,颜老师对两个经典问题:费马猜想、哥德巴赫猜想作了详细的讲 解。 第四环节,学生就三个进行练习巩固,一个是递归数列问题,一个是凸多面 体的顶点数、面数、棱数问题,另一个是世界末日传说。展示了教师较强的基本 功。 第五环节:归纳小结 (1)什么是归纳推理?(2)归纳推理的步骤以及归纳推理所得的的命题不一

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定正确等。 三、多媒体辅助作用较为合理 颜老师教学中的多媒体使用科学合理,有效地化解了数学难点,优化了教学 过程,例如费马猜想、哥德巴赫猜想、世界末日传说等 。讲解中多媒体使用恰到 好处。 四、不足之处: 1、合情推理与归纳推理的关系强调的还不到位,虽然本节课不讲类比推理, 但是应当简单地提及推理分为演绎推理和归纳推理两大类。 2、教学中要注意详略得当。费马猜想的运算有点难,可以考虑略讲。

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