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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.1 直线与圆的位置关系练习 北师大版必修2



2.3

直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
A组

第 1 课时

1.在直角坐标平面内,过点 P(2,1)且与圆 x +y =4 相切的直线(

2

2

)

A.有两条 C.不存在
2 2


B.有且仅有一条 D.不能确定
2 2

解析:由于 2 +1 >4,所以点 P 在圆 x +y =4 外,因此过点 P 与圆相切的直线有两条. 答案:A 2.下列说法正确的是( )

A.过一点作圆的切线有一条 B.直线 ax+y=1 与圆 x +(y-1) =1 的位置关系与 a 有关 C.圆的弦长 AB、半径 r、弦心距 d 的关系是 AB= D.若一条直线被圆截得的弦长最大,则该直线过圆心 解析:A 错,当点在圆上时,切线有一条;当点在圆外时,切线有两条,当点在圆内时,无切线. B 错,直线 ax+y=1 过定点(0,1),即直线一定过圆心,所以直线一定与圆相交,与 a 的值无关. C 错,应为 AB=2. D 正确,直线被圆截得最长弦为直径. 答案:D 3.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( A.(x+1) +(y-1) =2
2 2 2 2

)

B.(x-1) +(y+1) =2

2

2

1

C.(x-1) +(y-1) =2

2

2

D.(x+1) +(y+1) =2

2

2

解析:因为圆心在直线 x+y=0 上,排除 C,D. 可验证当圆心为(1,-1)时,适合题意.故选 B. 答案:B 4.在同一坐标系下,直线 ax+by=ab 和圆(x-a) +(y-b) =r (ab≠0,r>0)的图像可能是(
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)

解析:直线 ax+by=ab 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 b 和 a,圆心坐标为(a,b). 在 A 中,由直线位置可得 b<0,而由圆的位置可得 b>0,这不可能,故 A 不正确. 在 B 中,由直线位置可得 a>0,而由圆的位置可得 a<0,这不可能,故 B 不正确. 在 C 中,由直线位置可得 b<0,而由圆的位置可得 a<0,这不可能,故 C 不正确. D 选项由分析可知正确. 答案:D 5. 导学号 62180131 直线 y=kx+3 与圆(x-2) +(y-3) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2,则 k 的取值范围 是( A. C.[-] ) B. D.
2 2

解析:设弦心距为 d,则由题意知 d=≤1,即≤1,解得-≤k≤. 答案:B 6.圆 x +y +2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2 2

)

解析:因为直线 x+y+1=0 与圆相交且圆心到直线的距离为半径的一半,所以共有 3 个点,选 C.

2

答案:C 7.若直线 l 经过点(-2,0),且与圆 x +y =1 相切,则 l 的斜率是
2 2

.

解析:设 l 的斜率为 k,则其方程为 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,依题意得=1,解得 k=±. 答案:± 8.直线 x-2y+5=0 与圆 x +y =8 相交于 A,B 两点,则|AB|= 解析:圆心(0,0)到直线 x-2y+5=0 的距离 d=,因此|AB|=2=2=2. 答案:2 9. 导学号 62180132 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则 圆 C 的方程为 解析:由题意得圆心为 C(-1,0). 由点到直线的距离公式得圆心 C 到直线 x+y+3=0 的距离 d=,即圆的半径 r=. 故圆的方程为(x+1) +y =2. 答案:(x+1) +y =2 10.已知直线 2x-y+m=0 与圆 x +y =5. (1)若直线与圆没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线被圆截得的弦长为 2,求 m 的值. 解:由已知,圆心为 O(0,0),半径 r=, 圆心到直线 2x-y+m=0 的距离 d=. (1)因为直线与圆无公共点,所以 d>r,即, 所以 m>5 或 m<-5, 故当 m>5 或 m<-5 时,直线与圆无公共点. (2)如图所示,由题知 r -d =1 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

.

.

3

即 5-=1,得 m=±2. 故当 m=±2 时,直线被圆截得的弦长为 2. 11.求经过点 P(6,-4)且被定圆 x +y =20 截得弦长为 6 的直线的方程. 解:如图所示,作 OC⊥AB 于点 C,连接 OA,OB,
2 2

则 AB=6,OA=2. 在 Rt△OAC 中,|OC|=. 显然直线的斜率存在,设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y+4=k(x-6), 即 kx-y-6k-4=0.

∵圆心到直线的距离为,∴.
即 17k +24k+7=0.∴k=-1 或 k=-.
2

∴所求直线的方程为 x+y-2=0 或 7x+17y+26=0.
B组 1.设 m>0,则直线(x+y)+1+m=0 与圆 x +y =m 的位置关系为( A.相切 C.相切或相离 B.相交 D.相交或相切
2 2

)

解析:因为圆心到直线的距离 d=,圆的半径长 r=. 所以 d-r=-1) ≥0, 4
2

所以直线与圆的位置关系是相切或相离,故选 C. 答案:C 2.已知集合 M={(x,y)|y=,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},且 M∩N≠? ,则 b 的取值范围是( A.-3≤b≤3 C.0≤b≤ B.-3≤b≤3 D.-3<b≤3
2 2

)

解析:如图,集合 M 可看成半圆 x +y =9(0<y≤3),b 为直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,直线与半圆有公 共点,可得-3<b≤3,故选 D.

答案:D 3.已知在圆 x +y -2x-6y=0 内,若过点 E(0,1)的最长弦与最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的 面积为( A.5 ) B.10 C.15 D.20
2 2

解析:∵圆 x +y -2x-6y=0 可化为(x-1) +(y-3) =10. 设圆心为 M,则 M 为(1,3),半径为,如图所示,由题意知 AC⊥BD,且 BE=DE,

2

2

2

2

∵kME=2,∴kBD=-. ∴BD 所在直线方程为 x+2y-2=0. ∴ME=.
5

在 Rt△MED 中,DE =MD -ME =() -() =5,

2

2

2

2

2

∴DE=,BD=2.
又 AC=2,∴四边形 ABCD 的面积

S=AC·BD=×2×2=10.
答案:B 4.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四个不同的公共点,则称两条平行 线和圆“相交”;若两条平行直线和圆没有公共点,则称两条平行线和圆“相离”;若两条平行直线 和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相切”.已知直线 l1:2x-

y+a=0,l2:2x-y+a2+1=0 和圆 x2+y2+2x-4=0 相切,则 a 的取值范围是(
A.a>7 或 a<-3 B.-3≤a≤-≤a≤7 C.a>或 a<D.a≥7 或 a≤-3 解析:当两条平行直线和圆相交时, 有解得-<a<; 当两条平行直线和圆相离时, 有解得 a<-3 或 a>7. 故当两条平行直线和圆相切时,a 的取值范围是-3≤a≤-≤a≤7. 答案:B

)

5. 导学号 62180133 由直线 y=x+1 上的一点向(x-3) +y =1 引切线,则切线长的最小值 为

2

2

.

解析:设 P(x0,y0)为直线 y=x+1 上一点,圆心 C(3,0)到点 P 的距离为 d,切线长为 l,则 l=,当 d 最小 时,l 最小,当 PC 垂直于直线 y=x+1 时,d 最小,此时 d=2,所以 lmin=. 答案: 6

6.直线 x+y+a=0(a>0)与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,且 S△OAB=,则 a= 解析:∵圆心到直线 x+y+a=0 的距离 d=,|AB|=2×,

2

2

.

∴S△OAB=×2×,
解得 a =6 或 a =2.又 a>0,∴a=. 答案: 7. 导学号 62180134 已知圆 C:(x-1) +(y-2) =2,点 P(2,-1),过点 P 作圆 C 的切线 PA,PB,A,B 为切点. 求: (1)PA,PB 所在直线的方程; (2)切线长|PA|. 解:(1)设切线的斜率为 k,因为切线过点 P(2,-1), 所以切线的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. 又圆心 C(1,2),半径 r=, 由点到直线的距离公式,得,解得 k=7 或 k=-1. 故所求切线 PA,PB 的方程分别是 x+y-1=0 和 7x-y-15=0. (2)如图所示,连接 AC,PC,则 AC⊥AP. 在 Rt△APC 中,|AC|=,|PC|=, 所以|PA|==2.
2 2 2 2

7

8.设点 O 为坐标原点,曲线 x +y +2x-6y+1=0 上有 P,Q 两点,满足关于直线 x+my+4=0 对称,又满足 OP ⊥OQ. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. 解:(1)曲线方程为(x+1) +(y-3) =9,表示圆心为(-1,3),半径为 3 的圆,因为点 P,Q 在圆上且关于直 线 x+my+4=0 对称,所以直线 x+my+4=0 过圆心(-1,3),代入直线方程得 m=-1. (2)由(1)知直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 PQ 的方程为 y=-x+b,将直线
2 2

2

2

y=-x+b 代入圆的方程,得 2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.Δ =4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,即 b2-4b-14<0,
解得 2-3<b<2+3. 由根与系数的关系得 x1+x2=-(4-b),x1x2=,y1y2=b -b(x1+x2)+x1x2=+4b, 因为 OP⊥OQ,所以 kOP·kOQ=-1. 所以 x1x2+y1y2=0, 即 b -6b+1+4b=0, 解得 b=1∈(2-3,2+3), 所以直线 PQ 的方程是 y=-x+1.
2 2

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