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全国高中数学联赛模拟试题4附答案



全国高中数学联赛模拟试题(四) 第一试 一、 选择题(每小题 6 分,共 36 分) : 1、函数 f ? x ? ? a2 ? x2 是奇函数的充要条件是 x?a ?a (A)-1≤a<0 或 0<a≤1 (B)a≤-1 或 a≥1 (C)a>0 (D)a<0 2、已知三点 A(-2,1)、B(-3,-2)、C(-1,-3)和动直线 l:y=kx.当点 A、 B、C 到直线

l 的距离的平方和最小时,下列结论中,正确的是 (A)点 A 在直线 l 上 (B)点 B 在直线 l 上 (C)点 C 在直线 l 上 (C)点 A、B、C 均不在直线 l 上 3、如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,过顶点 A1 D1 在空间作直线 l,使 l 与直线 AC 和 BC1 所成的角 C1 都等于 60°.这样的直线 l 可以做 B1 A1 (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条 D C 4、整数的 n ? C100 两位质因数的最大值是 200 A B (A)61 (B)67 (C)83 (D)97 5、若正整数 a 使得函数 y ? f ?x? ? x ? 13 ? 2ax 的最大值也是整数,则这个 最大值等于 (A)3 (B)4 (C)7 (D)8 6、在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染 1, 再染 2 个偶数 2、4;再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 5、7、9;再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 10、12、14、16;再染此后最邻近的 5 个连 续奇数 17、19、21、23、25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列 1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中,由 1 开始的第 2003 个数是 (A)3844 (B)3943 (C)3945 (D)4006 二、 填空题(每小题 9 分,共 54 分) : 1、在复平面上,Rt△ABC 的顶点 A、B、C 分别对应于复数 z+1、2z+1、(z +1)2,A 为直角顶点,且|z|=2.设集合 M={m|zm∈R,m∈N+},P={x|x 1 = m ,m∈M}.则集合 P 所有元素之和等于 . 2 2、函数 f(x)=|sinx|+sin42x+|cosx|的最大值与最小值之差等于 . 1 3、关于 x 的不等式 x 2 ? 2a 2 ? 2 x ? a 2 ? 4a ? 7 ?0 x 2 ? a 2 ? 4a ? 5 x ?a 2 ?4a ? 7 ? ? ? ? 的解集是一些区间的并集,且这些区间的长度的和小于 4,则实数 a 的取 值范围是 . 4、 银行计划将某项资金的 40%给项目 M 投资一年, 其余的 60%给项目 N. 预 计项目 M 有可能获得 19%到 24%的年利润, N 有可能获得 29%到 34%的 年利润.年终银行必须回笼资金,同时按一定的回扣率支付给储户.为 使银行的年利润不少于给 M、N 总投资的 10%而不大于总投资的 15%, 则给储户的回扣率的最小值是 . 5、已知点(a,b)在曲线 arcsinx=arccosy 上运动,且椭圆 ax2+by2=1 在圆 x2 + y2 = 2 3 的外部(包括二者相切的情形) .那么, arcsinb 的取值范围 是 . 6、 同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为 a, 球的半径为 R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为?、?,则 tan(?+?)的值是 . 三、 (


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