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第2章 基本初等函数(i) 2.1.2第2课时



第二章 2.1.2 指数函数及其性质

第2课时 指数函数及其性质的应用

学习 目标

1.理解指数函数的单调性与底数的关系. 2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.

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知识梳理

自主学习

知识点一

指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性

(1)复合函数y=f(g(x))的单调性:当y=f(x)与u=g(x)有相同的单调性时,

函数y=f(g(x))单调 递增 ,当y=f(x)与u=g(x)的单调性相反时,函数y=
f(g(x))单调 递减 ,简称为 同增异减 .

(2)当a>1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有 相同 的单调性;当0<a<1时,
函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性 相反 .

答案

知识点二

指数型函数y=k· ax(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)模型

1.指数增长模型 设原有量为 N,每次的增长率为 p ,经过 x次增长,该量增长到 y,则 y= N(1+p)x(x∈N). 2.指数减少模型 设原有量为 N,每次的减少率为 p ,经过 x次减少,该量减少到 y,则 y= N(1-p)x(x∈N).

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题型探究

重点突破

题型一 利用指数型函数的单调性比较大小
例1 比较下列各组中两个值的大小:

(1)1.72.5,1.73;
解 ( 单调性法 ) 由于1.72.5 与1.73 的底数都是 1.7,故构造函数 y=1.7x,则

函数y=1.7x在R上是增加的.
又2.5<3,所以1.72.5<1.73.

解析答案

(2)0.6-1.2,0.6-1.5; 解 ( 单调性法 ) 由于 0.6 - 1.2 与 0.6 - 1.5 的底数都是 0.6 ,故构造函数 y= 0.6x , 则函数y=0.6x在R上是减少的. 因为-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5. (3)2.3-0.28,0.67-3.1. 解 (中间量法)由指数型函数的性质,知 2.3-0.28<2.30=1, 0.67-3.1>0.670=1, 所以2.3-0.28<0.67-3.1.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小:
(1)0.8-0.1,0.8-0.2; 解
-0.2.

由指数型函数的性质知,y=0.8x是减函数,-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8
2
3

? 1 ?3 (2)(3) ,2 5 ;

1 解 由指数函数的性质知(3)

?

2 3

>1,0<2

?

3 5

1 <1,所以(3)

?

2 3

>2

?

3 5

.

(3)3-x,0.5-x(-1<x<0). 解 ∵-1<x<0,∴0<-x<1. 而3>1,因此有3-x>1, 又0<0.5<1,∴有0<0.5-x<1,

∴3-x>0.5-x(-1<x<0).
解析答案

题型二
例2


利用指数型函数的单调性解不等式

1 3x-1 (1)解不等式(2) ≤2;
1 -1 ∵2=(2) ,

1 3x-1 1 -1 ∴原不等式可以转化为(2) ≤(2) .
1x ∵y=(2) 在 R 上是减函数,

∴3x-1≥-1,∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
解析答案

(2)已知 a

x2 ?3 x +1

<ax+6(a>0,a≠1),求 x 的取值范围.



分情况讨论:

①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是减函数,
∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0,

根据相应二次函数的图象可得x<-1或x>5;
②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是增函数,

∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0,
根据相应二次函数的图象可得-1<x<5.

综上所述,当0<a<1时,x<-1或x>5;
当a>1时,-1<x<5.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练2

1 {x|x<2} (1)不等式4x<42-3x的解集是_______.
2 x2 ?3 x +7

(2)设 0<a<1,关于 x 的不等式 a
x 2-3x

>a

2 x2 ? 2 x-3

{x|x>2} 的解集是_______.

1 解析 (1)由 4 <4 ,得 x<2-3x,即 x<2, 1 所以不等式的解集为{x|x<2}.

(2)因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数.
又a
2 x2 ?3 x +7

>a

2 x2 ? 2 x-3



所以2x2-3x+7<2x2+2x-3,解得x>2. 所以不等式的解集是{x|x>2}.
解析答案

题型三 指数型函数的单调性
例3
?1? ? 判断 f(x)= ? ?3?
x2 ? 2 x

的单调性,并求其值域.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 3


求函数 y= 2
? x2 ? 2 x

? x2 ? 2 x

的单调区间.

函数 y= 2

的定义域是 R.

令u=-x2+2x,则y=2u. 当x∈(-∞,1]时,函数u=-x2+2x为增函数,函数y=2u是增函数,
所以函数 y= 2
? x2 ? 2 x

在(-∞,1]上是增函数.

当x∈[1,+∞)时,函数u=-x2+2x为减函数,函数y=2u是增函数,
所以函数 y= 2
? x2 ? 2 x

在[1,+∞)上是减函数.
的单调减区间是[1, +∞), 单调增区间是(-∞, 1].
解析答案

综上, 函数 y= 2

? x2 ? 2 x

题型四
例4

指数型函数的综合应用

1 已知定义在 R 上的函数 f(x)=a+ x 是奇函数. 4 +1

(1)求a的值; 解 ∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,

1 1 ∴f(0)=0,即 a+2=0,a=-2.

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由);
解 1 1 由(1)知 f(x)=-2+ x , 4 +1

故f(x)在R上为减函数.
解析答案

(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值 范围. 解 ∵f(x)为奇函数, ∴f(t2-2t)+f(2t2-k)<0可化为f(t2-2t)<f(k-2t2), 由(2)知f(x)在R上单调递减, ∴t2-2t>k-2t2,
1 R恒成立, 即3t2-2t-k>0对于一切t∈ ∴Δ=4+12k<0,得 k<-3,

1 ∴k 的取值范围是(-∞,-3).
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 4

ex a 设 a>0,f(x)= a +ex是 R 上的偶函数.

(1)求a的值; 解 依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),
ex a 1 即 a +ex=aex+aex,
? ? 1? 1? ? ?? x ∴?a-a??e -ex? ?=0 ? ?? ?

对一切 x∈R 成立.

1 由此得到 a-a=0,

即a2=1.又a>0,∴a=1.
解析答案

(2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数. 证明 设0<x1<x2,
x1
x2

则 f(x1)-f(x2)=e -e
=(e
x2

+ x1 - x2 e e
x1 +x2

1

1

-e

x1

? 1 ? x1 1-e x2 ? x1 +x2 -1?=(e -e ) )· x1 +x2 ?e ? e
x2

.

∵0<x1<x2,∴e
又 1-e
x1 +x2

>e ,∴e
x1 +x2

x1

x2

-e >0.

x1

<0,e

>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).

即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
解析答案

解题思想方法

利用图象解决复合函数的单调性
2

例5

1x 已知 f(x)=x +1,g(x)=|(2) -1|,求 f(g(x))的单调区间.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 5

1 |x+2| 已知函数 y=(2) .

(1)作出图象;

? 1 x+2 1 |x+2| ??2? ?x≥-2?, 由解析式可得 y=(2) =? ?2x+2?x<-2?, ?

1 x+2 其图象分成两部分:一部分是 y=(2) (x≥-2)的图象,由下列变换可得到,y 1 x 向左平移2个单位 1 x+2 =(2) ――――――――→y=(2) ;
另一部分 y=2 =2
x+2 x+2

向左平移2个单位 (x<-2)的图象由下列变换可得到:y=2 ――――――――→y
x

1 |x+2| ,如图为函数 y=(2) 的图象.
解析答案

(2)由图象指出其单调区间;



由图象观察知函数在(-∞,-2]上是增函数,在(-2,+∞)上是减

函数.

(3)由图象指出,当x取什么值时,函数有最大值或最小值.
解 1 |x+2| 由图象观察知 x=-2 时,函数 y=(2) 有最大值,最大值为 1,没

有最小值.

解析答案

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当堂检测

1

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4

5

1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是( D ) A.a>b>c C.c>b>a 解析 B.b>a>c D.c>a>b

先由函数 y = 0.8x 判断前两个数的大小,再用 “1” 作为中间量比

较1.20.8与其他两个数的大小.

解析答案

1
?1? ?1? ? ?2a+1 ?3-2a 2.若?2? <? ,则实数 ? ? ? ? ?2?

2

3

4

5

a 的取值范围是( B )

A.(1,+∞) C.(-∞,1)

?1 ? ? ? ,+ ∞ B.?2 ? ? ? ? 1? ? ? D.?-∞,2? ? ?

1 解析 原式等价于 2a+1>3-2a,解得 a>2.

解析答案

3.函数

?1? ?1-x y=? 的单调递增区间为( ? ? 2 ? ?

1

2

3

4

5

A )

A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1)
解析 定义域为 R.设
?1? ? ?u u=1-x,y=?2? . ? ?

∵u=1-x在(-∞,+∞)上为减函数.
?1? ?u 又∵y=? ? ? 在(-∞,+∞)上为减函数, ?2?
?1? ?1-x ∴y=? 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上是增函数, ∴ 选 ? ? ?2?

A.
解析答案

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2

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5-1 4.已知 a= 2 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n

m<n 的大小关系为______.
解析 5-1 ∵0<a= 2 <1,

∴f(x)为R上的减函数, ∴由f(m)>f(n)可知m<n.故填m<n.

解析答案

1

2

3

4

5

1 1 2 5.已知函数 f(x)=a- x ,若 f(x)为奇函数,则 a=____. 2 +1

解析

∵函数f(x)为奇函数,

1 ∴f(0)=a-2=0.
1 ∴a=2.

解析答案

课堂小结 1.比较两个指数式值大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小,可运用指数型函数y=ax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小,一般找一个“中间值c”,若am<c且c<bn,

则am<bn;若am>c且c>bn,则am>bn.
2.指数型函数单调性的应用

(1)形如y=af(x)的函数的单调性:令 u=f(x),x∈[m,n],如果两个函数 y
= au 与 u = f(x) 的单调性相同,则函数 y= af(x) 在 [m, n] 上是增函数;如果 两者的单调性相异(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上是减函数. (2)形如ax>ay的不等式,当a>1时,ax>ay?x>y;当0<a<1时,ax>ay ?x<y.
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