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湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学文试题(Word版含答案)



湖北省部分重点中学 2013-2014 学年度下学期高二期中考试

数 学 试 卷(文 科)
本试卷满分 150 分 答题时间 120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2.选择题作答:每小题选出答案后,将答案填在答题卡上的对应题号后,答在其他位置无效。 3.填空题和解答题作答:直接答在

答题卡上对应的区域内,答在其他位置一律无效,答在对应区域外、填 错答题区域均无效。 一.选择题:共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点坐标是(
A.

) D. (?1,0) ( )

(0,?1)

B. (0,1)

C. (1,0)

2.若 y ? x 3 ? 3 x ? cos x 错误!未找到引用源。 ,则 y' 错误!未找到引用源。等于 A. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。 )

3.已知: ?1 ? b ? 0 , a ? 0 ,那么下列不等式成立的是(
A. a ? ab ? ab
2

B. ab ? ab ? a
2 2

C. ab ? a ? ab
2

D. ab ? ab ? a
2

4. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 C. 4 D. 2

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合, 则 p 的值为 ( 3

) A. ? 4

B. ? 2

5.若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x 2 ? 2 f ' (2) x ? 3 ,则 f ?(3) ? ( A. ? 2 B. 2 C. ? 12 D. 12



6.以抛物线 y 2 ? 8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x ? 2 ? 0 相切,这些圆必过一定点,则这一定点的 坐标是( A. (0, 2) ) B. (2,0) C. (4,0) D. (0, 4)

7.设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如下右图所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为(

)

-1-

8. 已知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , 直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,
P 到直线 l 的距离为 d2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为( )

A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?1 2

D.

5 2 ?2 2

x2 y 2 9.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F1 ,若椭圆上存在一个点 P ,满足以椭圆短轴为直径的圆 a b
与线段 PF1 相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为( A. )

5 3

B.

2 3

C.

5 9

D.

2 2
)

10.设三次函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x) ,函数 y ? x ? f ?( x) 的图象的一部分如下图所示,则(
A. f ( x ) 极大值为 f ( 3) ,极小值为 f (? 3) B. f ( x ) 极大值为 f (? 3) ,极小值为 f ( 3) C. f ( x ) 极大值为 f ( ?3) ,极小值为 f (3) D. f ( x ) 极大值为 f (3) ,极小值为 f ( ?3)

? 3
-3 0

3

3

二.填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分 11.双曲线

x2 y 2 + =1 的离心率 e ? 3 ,则 k 的值为 4 k

12.点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, P 到该抛物线焦点的距离为 4 ,则点 P 的横 坐标为 13.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值为 14. 已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) , 则关于 x 的不等式 15. 已知 a, b ? R ,且 a ? b ? ab ,则 a ? 4b 的最小值是_______
?

ax ? b ? 0 的解集是 x?2



16. 过抛物线 x ?
2

1 y 的焦点作直线交抛物线于 A、B 两点, 线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 2, 则线段 AB 8

长为


-2-

17. 若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 上不是单调函数,则实数 k 的取 值范围_______ 三.解答题:本大题共 5 个小题,共 65 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3 , x ? R. . (1)解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若不等式 m 2 ? m ? f ( x) , ?x ? R 都成立,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分)函数 f ( x ) ? ln x ? (1) a ? 0 时,求 f ( x ) 最小值;

1 ? ax(a ? R) x

(2)若 f ( x ) 在 ? 2, ?? ? 是单调减函数,求 a 取值范围.

20. (本小题满分 13 分)已知圆 C1 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1,定直线 l 的方程为 y ? ?1 .动圆 C 与圆 C1
2 2

外切,且与直线 l 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (2)直线 l ? 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P , 过点 P 作直线 l ? 的垂线恰好经过点 A(0, 6) ,并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q ,求直线 PQ 的方程及 弦 PQ 的长。

21. (本小题满分 13 分)如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的焦点在 x 轴上,左右顶点分别为 A1 , A ,上 a2 2

顶点为 B,抛物线 C1 , C2 分别以 A,B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O,C1 与 C2 相交于直线 y ? 2 x 上一点 P. (1)求椭圆 C 及抛物线 C1 , C2 的方程; (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,已知点 Q ? 2, 0 ,求 QM ? QN 的 最小值.

?

?

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ?

1 3 3 x ? mx 2 ? mx, ? m ? 0 ? 。 3 2
-3-

(1) 当 m ? 2 时,

①求函数 y ? f ( x) 的单调区间;

②求函数 y ? f ( x) 的图象在点 (0, 0) 处的切线方程; (2) 若函数 f ( x ) 既有极大值,又有极小值,且当 0 ? x ? 4m 时,

3 f ( x) ? mx 2 ? ( m ? 3m 2 ) x ? 36 恒成立,求 m 的取值范围。 2

2013-2014 学年度上学期高二期中考试(文科)(答案)
一. 二. BDDCA 11. k ? ?32 BDCAD 12.3 13. 9 14. (?1,2)
-4-

15. 9 三.解答题

16.

65 16

17. [1, )

3 2

1 3 ? 3 ? ?1 ?x ? ? ?x? ?x ? 18. 解:原不等式等价于 ? 或 ?2 2 2 或? 2 ? ? ? ?4 ? 4 x ? 5 ?2 ? 5 ?4 x ? 4 ? 5
得?

1 1 1 3 3 9 ?x? 或 ?x? 或 ?x? 4 2 2 2 2 4
1 9 , ] 4 4
………………………6 分

因此不等式的解集为 [ ?

(2)? f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? (2 x ? 3) ? 2

m2 ? m ? ? f ( x)?min ? 2 ? m2 ? m ? 2 ? 0 ? ?1 ? m ? 2
19. (1) a ? 0 时 f ( x )= ln x ?

……… 12 分

f ?( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 x x2 x

1 x

0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0,x ? 1 时 f ?( x) ? 0

? f ( x)在? 0,1? 单减,在 ?1, ? ?? 单增 ? x ? 1 时 f ( x) 有最小值 1 ……………………………………………6 分
(2) f ?( x)=

?1? 1 a?? ? ? ? x? x

2

1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a ? x x x2 ax2 ? x ? 1 ?0 f ( x) 在 ? 2, ?? ? 为减函数,则 x2 1 1 x ? 2 恒成立, a ? ( ) 2 ? 最小值 ……………………………………9 分 x x
2 2

?1? 1 ?1 1? 1 令 g ( x) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x? x ? x 2? 4 1 1 1 ? ? g ( x) ? 0 x ? 2 则0 ? ? x 2 4 1 ?a ? ? 4

……………………………13 分

20.解(1)设动圆圆心 C 的坐标为 ( x, y ) ,动圆半径为 R ,则

| CC1 |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? R ? 1 ,且 | y ? 1|? R
-5-

———2 分

可得

x 2 ? ( y ? 2) 2 ?| y ? 1| ?1 .

由于圆 C1 在直线 l 的上方,所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l 的上方,所以有 y ? 1 ? 0 ,从而得

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? y ? 2 , 整 理 得 x2 ? 8 y , 即 为 动 圆 圆 心
程. ———6 分

C

的 轨 迹 M

的 方

x x0 2 4 ) ,则切线的斜率为 0 ,可得直线 PQ 的斜率为 ? ,所以直 (2)如图示,设点 P 的坐标为 ( x0 , 4 8 x0
线 PQ 的方程为 y ?

x2 x02 4 ,所以有 6 ? 0 ? 4 ,得 x02 ? 16 .因 ? ? ( x ? x0 ) .由于该直线经过点 A(0,6) 8 8 x0


为点 P 在第一象限,所以 x0 ? 4 ,点 P 坐标为(4,2) ,直线 PQ 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 . ——10 分 把直线 PQ 的方程与轨迹 M 的方程联立得 x ? 8 x ? 48 ? 0 ,解得 x ? ?12 或 4
2

? PQ ? 1 ? k 2 x2 ? x1 ? 16 2

———13 分

21.解: (Ⅰ)由题意, A( a ,0 ) ,B(0, 2 ) ,故抛物线 C1 的方程可设为 y 2 ? 4ax ,C2 的方程为

x 2 ? 4 2 y ………… 1 分
? y 2 ? 4ax ? 2 ? 由 ?x ? 4 2 y ? ? ? y ? 2x
所以椭圆 C:

得 a ? 4, P(8,8 2 ) ………… 3 分

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C1: y 2 ? 16x, 抛物线 C2: x 2 ? 4 2 y …5 分 16 2
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 OP 的斜率为 2 ,所以直线 l 的斜率为 ?

设直线 l 方程为 y ? ?

2 x?b 2

-6-

? x2 y2 ? ?1 ? ? 16 2 由? ,整理得 5x 2 ? 8 2bx ? (8b 2 ? 16) ? 0 ?y ? ? 2 x ? b ? 2 ?
设 M( x1 , y1 ) 、N( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8 2 8b 2 ? 16 b, x1 x2 ? 5 5
………… 7 分

因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? ? 128 b 2 ? 20(8b 2 ? 16) ? 0 解得 ? 10 ? b ? 10 ………… 8 分

y1 y 2 ? (?

2 2 1 2b b2 ? 8 x1 ? b)(? x2 ? b) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 2 2 2 2 5

因为 QM ? ( x1 ? 2, y1 ),QN ? ( x2 ? 2, y2 ) 所以 QM ? QN ? ( x1 ? 2, y1 )(x2 ? 2, y2 ) ? x1 x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2

9b 2 ? 16b ? 14 ? ………… 11 分 5
8 时, QM ? QN 取得最小值 9 9 8 2 16 8 14 38 (? ) ? ? ? ………… 13 分 其最小值等于 ? (? ) ? 5 9 5 9 5 9 1 3 2 2 22.解: (1)当 m ? 2 时, f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 x, 则 f ? ? x ? ? x ? 4x ? 3 ,…1 分 3
因为 ? 10 ? b ? 10 ,所以当 b ? ? ① 令 f ? ? x ? ? x ? 4x ? 3 错误!未找到引用源。 ,解得 x=1 或 x=3
2

…………2 分

错误!未找到引用源。 函数的单调递增区间是:错误!未找到引用源。 函数的单调递减区间是: (1,3) ② 错误!未找到引用源。 f ? ? 0? ? 3 , 错误!未找到引用源。函数 y ? f ( x) 的图象在点 (0, 0) 处的切线方程为 y ? 3x 。……………6 分 ( 2 )因为函数 f ( x ) 既有极大值,又有极小值,则 f ? ? x ? ? x ? 2mx ?
2

…………4 分

3 m ? 0 有两个不同的根,则有 2

3 ……… 8 分 2 3 1 3 2 2 2 2 令 g ( x) ? f ( x) ? mx ? ( m ? 3m ) x ? x ? 2mx ? 3m x 2 3

? ? 4m2 ? 6m ? 0,

又 m ? 0,? m ?

-7-

依题意: ?g ( x)?max ? 36

即可

g?( x) ? x2 ? 4mx ? 3m2 ? 0 ? x ? m, 或x ? 3m ,
? g?( x)? 0 ? x? m 或 ? x 3m ,? g ( ? x) ? 0 ?m ? x 3 m

? g( x)在?0, m? , ?3m,4m?上为增函数, 在? m,3m? 上为减函数 ,………10 分
? g ( m) ? 4 3 4 m , g (3m) ? 0为g ( x)的极值 ,又 g (0) ? 0, g (4m) ? m3 , 3 3 4 ………12 分 ? g ( x)最大值为 m 3 , 3 4 ? m 3 ? 36 ? m ? 3 ………………13 分 3 3 ………………14 分 m 的取值范围为 ? m ? 3 。 2

-8-



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