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2007-2008年东莞中学松山湖学校高二第一学期期中考试期中测试



2007-2008 年东莞中学松山湖学校高二第一学期期中考试期中测试 高二年级数学学科试卷
(考试时间:120 分钟
满分:150 分 命题人:刘建军 审题人:温东生 ) 说明:1.本卷分第Ⅰ卷(选择题),第Ⅱ卷(填空题与解答题),第Ⅰ卷选择题的答案写在第Ⅱ卷的 答案纸上,学生只要交第Ⅱ卷.

第Ⅰ卷
一、 选择题(10 小题,每

小题 5 分,共 50 分.请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中. ) 1.已知等差数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 3 ? 2n , 则它的公差为 A .2
2

B .3
2 2

C. ?2

D. ?3

2.在 ?ABC 中, a ? b ? c ? bc ,则 A 等于 A .120 ?

B.60?

C.45?

D.30?

3.已知 a, b, c ? R ,则下列推证中正确的是 A. a ? b ? am2 ? bm2 C. a 3 ? b3 , ab ? 0 ? B.

a b ? ?a?b c c 1 1 ? a b

1 1 ? a b
?

D. a 2 ? b 2 , ab ? 0 ?

4.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45 ,则此三角形解的情况是 A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解

5.在等比数列 {a n } 中, a1 ? ?16, a4 ? 8, 则 a 7 ? A. ? 4 6.若 a ? 1, 则 a ? B. ? 4 C. ? 2 D. ? 2

1 的最小值是 a ?1
B. a C. 3 D.

A. 2

2 a a ?1

7.在 ?ABC 中,若

cos A b 4 ? ? ,则 ?ABC 是 cos B a 3

A. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形

B. 直角三角形 D. 钝角三角形

8.用篱笆围成一个面积为 196m2 的矩形菜园,所用篱笆最短为( )m A. 56 B. 64 C. 28 D. 20

9. 数列{an}的通项公式是 a n = A.12

1 10 (n∈N*),若前 n 项的和为 ,则项数为 n( n ? 1) 11
C.10 D.9

B.11

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立,则 a 的 取值范围为 A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ?

3 1 ?a? 2 2

D. ?

1 3 ?a? 2 2

二.填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.在△ABC 中,若 a2+b2<c2,且 sinC=

3 ,则∠C= 2
2

.

12.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n ? n ,那么它的通项公式为 an=_________ 13.已知数列 {an } 满足 a1 ? a , an ?

1 ? 1(n ? 2) ,若 a4 ? 0 ,则 a ? _____。 an ?1

?0? x?4 ? 14.已知x,y满足 ? 0 ? y ? 3 ,则 2x+y的最大值为________ ?x ? 2 y ? 8 ?
三.解答题(6 道题,共 80 分) 15.(12 分)已知 ? an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ? an ? 的通项; (2)数列 ? an ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 值。

16. (12 分)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,
2

且 2 cos? A ? B ? ? 1 。 求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。

17. (14 分)已知不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x2 ? x ? 6 ? 0 的解集为 B。 (1)求 A∩B; (2)若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B,求不等式 ax 2 ? x ? b ? 0 的解集。

18. (14 分) 一缉私艇发现在北偏东 45 ? 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度 沿东偏南 15 ? 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北 偏东 45 ? ? ? 的方向去追,.求追击所需的时间和 ? 角的正弦值. 北 C 东 B A

19. 14 分)某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为 21 万元。该公司 ( 第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。 (1)求 an ;
费用(万元)

an
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

4 2 1 2 n


20. 分)设{an}是正数组成的数列, (16 其前 n 项和为 Sn, 并且对于所有的 n (1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ? 数 m 的值。

N+, 都有 8S n ? (a n ? 2) 。
2

4 m , Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n a n ? a n?1 20

N+都成立的最小正整

数学答案 CACBA

CBACD 12. an =2n 13. ?

11.120o

2 3

14. 10

15.解: (1)? a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3 (2) ? 28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

? an ? 2 8? 3 n

……3 分

1 3
……6 分

∴数列 ? an ? 从第 10 项开始小于 0

(3) a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项 其和 S ? 10 ? 25 ?

10 ? 9 ? (?6) ? ?20 2 1 2

……10 分

16. 解: (1) cos C ? cos?? ? ? A ? B ?? ? ? cos? A ? B ? ? ? (2)由题设: ?

?C=120°……4 分
……7 分

?a ? b ? 2 3 ? ? ab ? 2 ?

? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120 ?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

……11 分 ……12 分 ……3 分 ……6 分 ……8 分

? AB ? 10
17.解: (1)由 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A=(-1,3) 由 x2 ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ,所以 B=(-3,2) , ∴A∩B=(-1,2) (2)由不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为(-1,2) , 所以 ?

? 1? a ? b ? 0 ? a ? ?1 ,解得 ? ? 4 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2

……12 分

∴ ? x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得解集为 R.

……14 分

18.解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, ……2 分 则有 AB ? 14 x , BC ? 10 x, ?ACB ? 120 .
?

? (14 x )2 ? 122 ? (10 x )2 ? 240 x cos120?

……8 分

? x ? 2, AB ? 28, BC ? 20,
∴ sin ? ?

……10 分

BC sin120? 20sin120? 5 3 ? ? . AB 28 14 5 3 . 14
……14 分

所以所需时间 2 小时, sin ? ?

19.解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

…………2 分

f ( n) ? 21n ? [2n ?
由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2
解得 10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

…………4 分

…………6 分 …………8 分 …………12 分

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 (3)年平均收入为

25 f (n) =20- (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 n n

当 且 仅 当 n=5 时 , 年 平 均 收 益 最 大 . 所 以 这 种 设 备 使 用 5 年 , 该 公 司 的 年 平 均 获 利 最 大。 …………14 分 20.解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2) n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)
2 2

∴ a1 ? 2 ∴ a2 ? 6

n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2) (2)∵ 8 Sn ? (an ? 2)
2

2

∴ a3 ? 10
2

…………4 分

∴ 8 Sn?1 ? (an?1 ? 2) ( n ? 1)
2 2

两式相减得: 8an ? (an ? 2) ? (an?1 ? 2) 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an ? 1 ? 4

即 an ? an?1 ? 4an ? 4an?1 ? 0
2 2

即 {a n } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 …………10 分

∴ an ? 2 ? ( n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4 n ? 2 2

…………14 分

∵ Tn ?

m 对所有 n ? N ? 都成立 20



m 1 ? 20 2

即 m ? 10 …………16 分

故 m 的最小值是 10



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