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江苏省扬州中学2015-2016学年高二数学上学期期末调研测试试题



江苏省扬州中学 2015-2016 学年高二数学上学期期末调研测试试题
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2016.01 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应

的位置 上) 1.命题“ ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是▲ .
2

2.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比为 2∶3∶5,现用分层抽样的方 法抽取容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 15 件,那么样本容量 n 为 ▲ . Read 3. 在区间 [0,4] 上任取一个实数 x ,则 x ? 2 的概率是▲ . x

If x<0 then π y ? x?3 2 Else

4. 根据如图所示的伪代码,如果输入 x 的值为 0,则输出结果

y 为▲ .

π y ?? x?5 2
End if Print y 第 4 题图 开始

5.若 f ( x) ? 5sin x ,则 f ?( ) ? ▲ .

?

2

6.在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一

n ?1
张(不放回),两人都中奖的概率为 ▲ .

y ? 2n
n?n?2 n?3
Y N

7.如右图,该程序运行后输出的 y 值为▲ .

8.一个圆锥筒的底面半径为 3cm ,其母线长为 5cm ,则这个圆锥筒的 体积为 ▲

输出y
第 7 题图

cm3 .

结束

-1-

9.若双曲线 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线上一点, PF1 ? 3 ,则 PF2 ? 4 3

10.设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? , l ? ? ,则 l ? ? ; ②若 l ∥ m , l ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 m ? ? , l ? m ,则 l ∥ ? ; ④若 l ∥ ? , l ? ? ,则 ? ? ? . 其中真命题的序号 有 .. ▲ .(写出所有正确命题的序号 ) ..

x2 y2 ? 1的左准线,则双曲线的渐近线 11.已知抛物线 y ? 4 2x 的准线恰好是双曲线 2 ? a 4
2

方程为 ▲ .

12 . 已 知 可 导 函 数 f ( x) ( x ? R) 的 导 函 数 f ?( x) 满 足 f ( x) ? f ?( x) , 则 不 等 式

f ( x) ? f (2016)ex?2016 的解集是 ▲ .

13 .若椭圆的中心为坐标原点,长轴长为 4 ,一条准线方程为 x ? ?4 , 则该椭圆被直线

y ? x ? 1 截得的弦长为 ▲ .

x 2 14.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? ae ? (b ? 3) x 在 x ? 0 处取得极值,则 ab 的最大值

等于 ▲ .

-2-

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本小题满分 14 分) 某班 40 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示. (学生成绩 都在 ?50,100? 之间)

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估算该班级的平均分; (3)若规定成绩达到 80 分及以上为优秀等级,从该班级 40 名学生中任选一人,求此人 成绩为优秀等级的概率. 16. (本小题满分 14 分) 如图, 在四面体 ABCD 中, AB ? CD , AB ? AD .M ,N ,Q 分别为棱 AD ,BD , AC 的中点. (1)求证: CD // 平面 MNQ ; (2)求证:平面 MNQ ? 平面 ACD . A M D N B C

Q

17. (本小题满分 15 分)

x2 y2 ? ?1表 已知命题 p : “存在 x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 ” ,命题 q :“曲线 5 ? m 1? m
2

示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 r : t ? m ? t ? 1 (1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 r 的必要不充分条件,求 t 的取值范围.

-3-

18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a . (1)当 a ? ?2 时,求 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程; (2)若 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 22 ,求它在该区间上的最小值.

19. (本小题满分 16 分) 椭圆 E :

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (1, ,过点 P 的动直线 l 与 ) ,且离心率为 2 a b 2 2

椭圆相交于 A, B 两点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若椭圆 E 的右焦点是 P , 其右准线与 x 轴交于点 Q ,直线 AQ 的斜率为 k1 , 直线 BQ 的 斜率为 k2 ,求证: k1 ? k2 ? 0 ; (3) 设点 P ? t ,0 ? 是椭圆 E 的长轴上某一点 (不为长轴顶点及坐标原点) , 是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得

QA PA ? 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. QB PB

y A O
20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

P

x

B
( x ? 1) , g ( x) ? x ? 1 2
2

N

(1)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) ? a ? 0 在区间 ( , e) 上有两个不等的根,求实数 a 的取 值范围; (3)若存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ( x) ? kg( x) ,求实数 k 的取值范围. 2016 年 1 月高二数 学
-4-

1 e

试 题 参 考 答 案 一、填空题: 1. ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0
2

2.75

3.

1 2

4.5

5. 0

6.

1 3 24 7

7. 32 14.2

8. 12?

9.7 10.①④ 11. y ? ? x

12. ?2016, ???

13.

二、解答题: 15.解:(1)由题 (2a ? 2a ? 3a ? 6a ? 7a) ? 10 ? 1 ,? 20 a ? 10 ? 1 , ∴ a ? 0.005 , 分 (2)该班级的平均分为 55 ? --------2 分 -------- 4

2 3 7 6 2 ? 65 ? ? 75 ? ? 85 ? ? 95 ? ? 76.5----9 分 20 20 20 20 20

(3)此人成绩为优秀等级的概率为

8 ? 0.4 20

?? 14 分

16.证明: (1)因为 M , Q 分别为棱 AD , AC 的中点, 所以 MQ // CD , 又 CD ? 平面 MNQ , MQ ? 平面 MNQ , 故 CD // 平面 MNQ . (2)因为 M , N 分别为棱 AD , BD 的中点,所以 MN // AB , 又 AB ? CD , AB ? AD ,故 MN ? AD ,
MN ? CD .

?? 3 分

?? 7 分

?? 9 分

因为 AD ? CD ? D, , AD, CD ? 平面 ACD , 所以 MN ? 平面 ACD 又 MN ? 平面 MNQ , 所以平面 MNQ ? 平面 ACD . ?? 14 分

(注:若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个 平面”证明“ MN ? 平面 ACD ” ,扣 1 分. ) 17.解: (1)若 p 为真: ? ? 4 ? 4m ? 0 解得 m ? 1 若 q 为真:则 ? --------1 分 --------2 分

?5 ? m ? 1 ? m ?1 ? m ? 0

------3 分 --------4

解得 ? 1 ? m ? 2 分

-5-

若“ p 且 q ”是真命题,则 ? 解得 ? 1 ? m ? 1 分

?m ? 1 ?? 1 ? m ? 2

--------6 分 --------7 -------11 分

(2)由 q 是 r 的必要不充分条件,则可得 (t , t ? 1) ? ? (?1,2)

即?

?t ? ?1 (等号不同时成立) ?t ? 1 ? 2

-------13 分 --------15

解得 ? 1 ? t ? 1 分

18.解: (1) f ?( x ) =-3x +6x+9,切线的斜率为 9, 所以 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为
2

y ? 20 ? 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 2 ? 0 .
分 (2)令 f ?( x ) =-3x +6x+9=0,得 x ? 3 (舍)或 x ? ?1
2

--------6

当 x ? (?2, ?1) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? (?2, ?1) 时单调递减,当 x ? (?1, 2) 时

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? (?1, 2) 时单调递增,又 f (?2) = 2 ? a , f (2) = 22 ? a ,
所以 f (2) > f (?2) .因此 f (2) 和 f (?1) 分别是 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值, 于是有 22 ? a ? 22 ,解得 a ? 0 .
3 2 故 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9x ,因此 f (?1) ? ?5

--------12 分

即函数 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最小值为 ?5 .

--------15 分

1 ?1 ? a 2 ? 2b 2 ? 1 ? x2 ? 2 2 2 ? y 2 ? 1.--- 4 分 19.解: (1) ?a ? b ? c ,解得 a ? 2, b ? 1 .所以椭圆 E 的方程为 2 ? c 2 ? ? ? 2 ?a
x12 x2 2 2 ? y1 ? 1, ? y2 2 ? 1 . (2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 2 2
由题意 P ?1 , 0? , Q ? 2, 0?

??? ? ??? ? ? AP ? BP ?? x1 ? 1, y1 ? ? ? x2 ? 1, y2 ? ? x1 y2 ? x2 y1 ? y1 ? y2 .

-6-

? ? x1 y2 ? x2 y1 ?? x1 y2 +x2 y1 ? =x12 y2 2 ? x2 2 y12 = ? 2 ? y12 ? y2 2 ? ? 2 ? y2 2 ? y12 ? 2 y2 2 ? 2 y12

?? x1 y2 +x2 y1 ?? y1 ? y2 ? =2 y22 ? 2 y12 =2 ? y1 ? y2 ?? y1 +y2 ?
若 y1 =y2 ,则 k1 ? k2 ? 0 ,结论成立. (此处不交代扣 1 分)

若y1 ? y2则x1 y2 +x2 y1 =2 ? y1 +y2 ?
? k1 ? k2 ? x y +x y ? 2 ? y1 +y2 ? y1 y ? 2 ? 1 2 2 1 ? 0 .--------10 分 x1 ? 2 x2 ? 2 ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

备注:本题用相似三角形有关知识证明同样给分,用韦达定理解决也相应给分. (3)当直线 l 与 y 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C , D 两点,如果存在定点 Q 满足条件, 则有

QC PC ,即 QC ? QD ,所以 Q 在 x 轴上,可设 Q 点的坐标为 ? x0 ,0? . ? QD PD

当直线 l 与 y 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M , N 两点,则 M , N 的坐标分别为

( 2,0),(? 2,0) .由

x ? 2 QM PM ? ? ,有 0 QN PN x0 ? 2

2 2 ?t ,解得 x0 ? .所以,若存在不 t 2 ?t
2 t

同于点 P 不同的定点 Q 满足条件,则 Q 点坐标只可能为 ( , 0) .--------12 分

下面证明:对任意直线 l ,均有

QA PA ? .记直线 AQ 的斜率为 k1 ,直线 BQ 的斜率为 QB PB

k2 ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

x12 x2 ? y12 ? 1,2 ? y2 2 ? 1 .由题意 2 2

? ??? ? ? 2 ? ??? P ? t, 0? , Q ? , 0 ? ? AP ? BP ?? x1 ? t , y1 ? ? ? x2 ? t , y2 ? ? x1 y2 ? x2 y1 ? t ? y1 ? y2 ? . ?t ?
? ? x1 y2 ? x2 y1 ?? x1 y2 +x2 y1 ? =x12 y2 2 ? x2 2 y12 = ? 2 ? y12 ? y2 2 ? ? 2 ? y2 2 ? y12 ? 2 y2 2 ? 2 y12

?? x1 y2 +x2 y1 ? t ? y1 ? y2 ? =2 y22 ? 2 y12 =2 ? y1 ? y2 ?? y1 +y2 ?
若 y1 =y2 ,则 k1 ? k2 ? 0 .

若y1 ? y2则x1 y2 +x2 y1 =

2 ? y1 +y2 ? t

-7-

2 ? y1 +y2 ? y1 y2 t ? k1 ? k2 ? ? ? ?0. 2 2 2 ?? 2? ? x1 ? x2 ? ? x1 ? ?? x2 ? ? t t t ?? t? ? 易知,点 B 于 x 轴对称的点 B? 的坐标为 (? x2 , y 2 ) .?kQA ? kQB? ?Q, A, B? 三点共线. x1 y2 +x2 y1 ?

?

y QA PA QA QA PA .所以对任意直线 l ,均有 --------16 分 ? ? ? 1 ? QB PB QB QB? y2 PB

20.解:(I) f ? ? x ? ?

?x ? 0 1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? , x ? ? 0, ?? ? .由 f ?( x) ? 0 得 ? 2 x x ?? x ? x ? 1 ? 0

解得 x ?

1? 5 . 2
?1? 5 ? ?. , ? ? ? 2 ? ? ?
--------4 分

故 f ? x ? 的单调递减区间是 ?

(2)设 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? a ? ln x ? 上有两个不同的零点; 因为 ? ?( x) ?

1 2 1 1 x ? ? a ,x ? ? 0, ?? ? 则问题转化为 ? ( x) 在 ( , e) 2 2 e

1 ? x2 .故当 x ? (0,1) 时,? ?( x) ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时,? ?( x) ? 0 ,所以 ? ( x) x

? ? ?a ? 0 ?? (1) ? 0 ? ? 1 3 ? 在 x ? (0,1) 递增.,在 ?1, ?? ? 上单调递减.;则由题意得: ?? (e) ? 0 ,即 ?a ? e 2 ? 2 2 ? 1 ? 1 1 ?? ( ) ? 0 ? a? ? 2 ? e ? 2 2e ?
故0 ? a ?

1 1 ? 2 2 2e

--------10 分

(3)当 k ? 1 时,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

1 2 1 x ? , x ? ? 0, ?? ? .则有 2 2

F? ? x ? ?

1 ? x2 .当 x ? (0,1) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, F? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 x

x ? (0,1) 递增.,在 ?1, ?? ? 上单调递减.? F ( x) max ? F (1) ? 0 ,

? 对任意的 x ? (0,??), 恒有 f ( x) ? g ( x) ,故不存在 x0 ? 1 满足题意.

--------12 分

-8-

当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ( x) ? g ( x) ? kg ( x) ,,从而不存在 x0 ? 1 满足题意--------13 分 当 k ? 1 时,令 G( x) ? f ( x) ? kg( x) , x ? ? 0, ?? ? ,则有

? x 2 ? ?1 ? k ? x ? 1 1 . G? ? x ? ? ? x ? 1 ? k ? x x
由 G? ? x ? ? 0 得, ? x ? ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 .
2

解得 x1 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2
2

2

?4

? 0,

x2 ?

1? k ?

?1 ? k ?
2

?4

? 1.

当 x ? ?1, x2 ? 时, G? ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, x2 ? 内单调递增.从而当 x ? ?1, x2 ? 时,

G( x) > G(1) = 0 ,即 f ? x ? ? k ? x ?1? .
综上,k 的取值范围是 ? ??,1? . --------16 分

-9-



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