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函数的单调性与导数


3.1.1 导数与函数的单调性
编制:李喜君 审核:周玥 2015-6-5
【学习目标】1.了解可导函数的单调性与其导数的关系。 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【自主探究】 1.函数的单调性与导数的关系 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 _____________ :如果
f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内_____________。

说明:特别的,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是_____________。 2. 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 , 可 通 过 解 不 等 式 _____________ 求 得 , 而 单 调 减 区 间 可 由 不 等 式 _____________解得。 3.求可导函数 f ( x) 单调区间的步骤 (1)____________________________ (2)____________________________ (3)____________________________ 【合作探究】 1. 求下列函数的单调区间.

(1) y ? x 4 ? 2 x 2 ? 6 ;

(2) y ? ? ln x ? 2x 2 ;

2. 函数 f ( x) ? ax3 ? x 在 R 上为减函数,求 a 的取值范围.

~1~

3. 求证:函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.

4. 已知曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 10 ,点 P ( x, y ) 在该曲线上移动,过点 P 的切线设为 l , (1)求证:此函数在 R 上单调递增; (2)求 l 的斜率的范围.

~2~

【巩固提高】 1. 求下列函数的单调区间. (1) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ;

(2) f ( x) ? x ?

9 ; x

、(3) f ( x) ? x ln x .

2. 已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? k 2 ? 1(k ? 0) ,若 f ( x) 的单调减区间是 (0,4) ,求 k 的值.

3.已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax 2 ?

2 3 x 在区间 [ ?1,1] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3

~3~

★4.若函数 f ( x) ? ax3 ? x (1)求实数 a 的取值范围,使 f ( x) 在 R 上是增函数. (2)求实数 a 的取值范围,使 f ( x) 恰好有三个单调区间.



5.偶函数 f ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e 的图像过点 P(0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程为 y ? x ? 2 , 求 f ( x) 的解析式.

~4~


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