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2013高考数学公式



集合与简易逻辑
知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二

次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法

? b ? c ( c ? 0 ) ?b ?c,与 ax (1)公式法: ax 型的不等式的解法.
(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +box>0(a>0)解的讨论.

??0
二次函数
2 y ? ax ? bx ? c

??0

??0

( a ? 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx? c ? 0

x ,x ( x x ) 1 2 1? 2

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

? x x ? x 或 x ? x?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
? ?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

? x x? x? x?
1 2

(三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或 q(记作“p∨q” );p 且 q(记作“p∧q” );非 p(记 作“┑q” ) 。 互 逆 原命题 逆命题 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 若 p则 q 若 q则 p 互 否 为 (1)“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反; 逆
互 否 互

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否命题 若 ┐p则 ┐q

为 互

逆 否

否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p

互 逆

(2)“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q;逆否命题:若┑q 则┑p。 6、如果已知 p ? q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件,记为 p?q.

函数
知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. (二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

4. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: x ? x ) ( x ? x ) 22 2 2 ( f ( x ) ? f ( x ) ? x ? b ? x ? b ? 1 21 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x ? b ? x ? b x 1 (三)指数函数与对数函数 指数函数
x y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象和性质

a>1
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0<a<1

4.5

图 象

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

y=1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-0.5

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 ⑴对数运算

(4)x>0 时,0<y<

(5)在 R 上是减

log a ( M ? N ) ? log log log log a log
a a a
a

a

M ? log
a

a

N

(1 )

M ? log N M
n N n

a

M ? log
a

N

? n log 1 log n

??
a

M

?12 )

M ? ? N

M

换底公式: 推论: log ? log
a1 a

log

a

N ?
b a2

log b N log b a
c

b ? log

c ? log

a ?1
a n ?1

a 2 ? log

a 3 ? ... ? log

a n ? log

a1

an

对数函数的图像和性质

.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0; ②偶次根式中被开方数不小于 0; ③对数的真数 大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义 等. .函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③换元法;④不等式法; ⑤函数的单调性法.

数列
等差数列 a a d n ? 1? n? 等比数列
an?1 ? q(q ? 0) an
n ? m a q a a q; a n? m n? n ? 1

定义 递推公 式

;a a ? md a a d n? m ? n n? n ? 1?

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通项公 式 前 n 项 和

a ? a ? ( n ? 1 ) d n 1

1 a qn? (a n ?a 1 1, q?0)

n Sn ? (a 1 ?a n) 2
n ( n ? 1 ) S na d n? 1? 2

na q?1 ) ? 1( ? n Sn??a ?q a? aq 11 ? 1 n (q?2 ) ? ?q 1 ?q ? 1

?

?

重要性 质

* * ? a ? a ? a ( m , n , p , q ? N , m ? n ? p ? q ) a ? a a ? a ( m , n ,p , q ? N , a m n p q m n? p q

m ? n ? p ? q )

看 数

列是不是等差数列有以下方法:

? a ? d ( n ? 2 , d 为常数 ) ①a n n ? 1
②2 a (n?2) a ? a n? n ? 1 n ? 1 ⑶看数列是不是等比数列有以下方法:

? a q ( n ? 2 , q 为常数 , 且 ? 0 ) ①a n n ? 1
2 ②a (n?2,a ) a a ? 0 a ?a n n ? 1 n ? 1 n? n ? 1 n ? 1


在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a 1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使 ? a m ?1 ? 0

得s

m

取最大值. (2)当 a 1 <0,d>0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。 ? a m ?1 ? 0

(三)、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数; ? a n a n ?1 ?

3.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ a n }是等差数列, ? b n ? 是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论

1 1 1 ? ? n (n? 1 ) n n? 1

1 11 1 ? ( ? ) n ( n ? 2 ) 2n n ? 2

三角函数
1. 三角函数的定义域: 三角函数 f (x) ? sinx
f (x) ? cosx

? ? x| x? R ? ? x| x? R
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定义域

f (x) ? tanx

1 ? ? x |x ? R 且 x ? k ? ?? ,k ? Z ? ? 2 ? ?
cos?

2、同角三角函数的基本关系式: sin? ? tan? 3、诱导公式:

s2 i ? n ? c2 o ? ? 1 s

k “奇变偶不变,符号看象限” 把 ? 的 三 角 函 数 化 为 的 三 角 函 数 , 概 括 为 : 2

? ?

?

三角函数的公式:(一)基本关系

? ?? ?? ? ? ?? c 2 ? ? c o ? ? s o s ? ? i 2 c s n ? ? 1 o ? 1 ? 2 s s ? in cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 2t a? n n ?? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?t a2 1?t a n ?
cos( ? ) ? cos cos ? sin sin s2 i? n 2 si c n o s
2 2 2 2

2

tan ? ? tan ? tan( ? ? ? )? 1 ? tan ? tan ?

4. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ?sin x

y? cos x

y ?tan x
1 ? ? x |x ? R 且 x ? k ? ?? , k ? Z ? ? 2 ? ?

定义域 值域 周期性 奇偶性
[?

R
[? 1 ,? 1 ]
2?

R
[? 1 ,? 1 ]
2?

R
?

奇函数
? ? 2k? , 2

偶函数 奇函数 [ ?2 k ? 1?? , ? ? ? ? ?? ; ?? ?k?, ?k 2 2 2 k? ] ? ? 上为增函 数 [2 k? , ? 2 k ? 1 ?? ] 上为减函 数 ( k ?Z ) 上 为 增 函 数 ( k ?Z )


? ? 2k? ] 2

上为增函 数 ; 单调性
[

y

? ? 2k? , 2 3? ? 2k? ] 2

x O

上为减函 数 ( k ?Z )
? cos( ? x ? ? ) ②y 或y ( ? ? 0 )的周期 T ? ? sin( ? x ? ? )
2? . ?

④y 的对称轴方程是 x ? k? ? ? sin( ? x ? ? )

? ? cos( ? x ? ? ) ( k ? Z ),对称中心( k ? ,0 ); y 的 2
2

对称轴方程是 x ?k? ( k ?Z ) , 对称中心 ( k? ? 1 ? ,0 ) ;y 的对称中心 ( ? t a n ? ( x ? ? )

k? . ,0 ) 2

奇偶性的两个条件: 一是定义域关于原点对称 (奇偶都要),二是满足奇偶性条件, 偶函数: ,奇函数: f ) ( ? x ) ? ? f ( x ) f( ? x ) ? f( x )

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1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y?tan 是奇函数, y ?tan( x x ? ?) 是非奇非偶.(定 3

义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x ) 一定有 f (0 ) ?0.( 0 ? x 的定义域,则无此性 质)


⑨y ? sinx 不是周期函数; y ? s in x 为周期函数( T ? ? );
x 为周期函数( T ? ? ); y ? cos x 是周期函数(如图); y ? cos

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 y ? cos2x ? 的周期为 ? (如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 2

y=|cos2x+1/2|图象

. y ? f ( x ) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R

三角函数图象的作法:
1)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线). 2)、利用图象变换作三角函数图象.

平面向量
向量的概念 (1)向量的基本要素:大小和方向. (2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a;

坐标表示法 a=xi+yj=(x,y). (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|. (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O. 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1. (5)相等的向量:大小相等,方向相同 (x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

a ? b ? b ? a
向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

a ? b ? ( x ? xy ,1 ? y ) 1 2 2

( a ?? b ) ca ? ?? ( b c )
AB ? BC ? AC

向量的 减法

三角形法则

a ? b ? ( x ? xy ,1 ? y ) 1 2 2

a ? b ? a ?? (b )

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A B ? ? B A , OB ? OA ? AB
1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量

a |? |? ||a | 足: |?
2. ? >0 时, ? a与a 同向;

?? (a )? ( ? ? ) a
? a ? ( ? x ,? y )
( ?? ?) a ? ? a ? ? a

? <0 时, ? a与a 异向; ? =0 时, ? a ? 0 .
a ? b 是一个数

? ( ab ? ) ? ? a ? ? b
a / / b ? a ? ? b

a ? b? b ? a

向 量 的 数 量 积

1. a 时, ? 0 或 b ? 0

( ? a ) ? b ? a ? () ? b ? ? ( a ? b )

a?b?0.
2.

ab ?? x x ? y y 1 2 1 2

( a ?? bca ) ? ? cb ? ? c
2 2 2 a ? |a | 即 || a = x ? y 2

a ?0 且 b ?0 时 , a b? | a|| b|cos(a,b)

|a ? b | ? |a ||b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一 对实数λ 1, λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. (2)两个向量平行的充要条件 a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O. (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b ? a?b=O ? x1x2+y1y2=O.

x ? x2 ? x ? 1 , ? 1 ? 2 OP = ( + )或 OP OP 2 ? 1 中点公式 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
正、余弦定理 2 2 2 正弦定理:余弦定理:a =b +c -2bccosA, 2 2 2 b =c +a -2cacosB, 2 2 2 c =a +b -2abcosC. 三角形面积计算公式: 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念
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不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2.不等式的基本性质 (1) a (对称性)(2) a (传递性) ? b ? b ? a ? b , b ? c ? a ? c (3) a (加法单调性)(4) a (同向不等式相 ? b ? a ? c ? b ? c ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d 加)(5) a (异向不等式相减)(6) a . ? b , c ? 0 ? ac ? bc ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (7) a (乘法单调性)(8) a (同向不等式 ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd ? b , c ? 0 ? ac ? bc
1 1 ab 相乘) ( 1 0 )a ? b , a b ? 0 ? ? (倒数关系) 9 )ab ?? 0 , 0 ??? cd ? (异向不等式相除) (
c d

a b

n n n n (11)a (平方法则) (12)a ? b ? 0 ? a ? b ( n ? Z , 且 n ? 1 ) ? b ? 0 ? a ? b ( n ? Z , 且 n ? 1 )

(开方法则) 3.几个重要不等式 ? 2 2 2 2 2 (2) (1) 若 (当仅当 a=b 时 若 a 、 b ? R , 则 a ? b ? 2 ab ( 或 a ? b ? 2 | ab | ? 2 ab ) a ? R , 则 | a | ? 0 , a ? 0 取等号)(3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

? 极值定理:若 x 则: , y ? R , x ? y ? S , x y ? P ,

1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; ○ 2 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. ○ 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
a ? b ? c 3 (当仅当 a=b=c 时取等号) ? ( 4 ) 若 a 、 b 、 cR ? , 则 ? a b c 3

b a (当仅当 a=b 时取等号) ( 5 ) 若 a b ? 0 , 则 ?? 2 a b
2 2 2 2 ( 6 ) a ? 0 时 , | x | ? a ? x ? a ? x ? ? a 或 x ? a ; | x | ? a ? x ? a ? ? a ? x ? a

不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 不等式的解法

直线和圆的方程
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是
? ? . 0 ? ? ? 180 ( 0 ? ? ? ? )

注:①当 ? ? 90? 或 x 2 ?x1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都 有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行: k ? k2两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 l 1 ∥ l2? 1 都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的
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错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1 , l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b 1 ,b 2 ,则 l 1 ∥l2? k ? k2, 1 且 b1 ?b 2 或 l 1 , l 2 的斜率均不存在,即 A 是平行的必要不充分条件,且 C1?C2 ) B ? B A 1 2 1 2 ? ? ? 推论:如果两条直线 l 1 , l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥l2? 1 2. ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:① 设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 这 ? l ? k k ? ? 1 1 2 1 2 l 里的前提是 l 1 , l 2 的斜率都存在. ②l ,且 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ,且 l 1 的斜率不 ? l2 ? k ? 0 1 1 存在. (即 A 是垂直的充要条件) B ? A B ? 0 1 2 2 1 . 点到直线的距离: ⑴点到直线的距离公式:设点 P 到 l 的距离为 d ,则有 : Ax ? By ? C ? 0 , P (x0,y0) ,直线 l
d? Ax0 ?By0?C A2 ?B2

.

注:
2 2 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | . P P | ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 2 1 2 1
2 2 特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: |O P | ?x ? y

tan ? 2. 直线的倾斜角(0°≤ ? <180°)、斜率: k?

y ? y 2 1 3. 过两点 P . ( x x ) ( x , y ), P ( x , y ) 的直线的斜率公式: k ? 1? 2 1 1 1 2 2 2 x ? x 2 1

x ,y y 当x (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 ? = 90 ? ,没有斜率 1? 2 1? 2

新疆 学案

王新敞

⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l , : Ax ? By ? C ? 0 , l : Ax ? By ? C ? 0 ( C ? C ) 1 1 2 2 1 2 它们之间的距离为 d ,则有 d ?
C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

7. 关于点对称和关于某直线对称: ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行, 则对称直线必过两条直线的交点, 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 二、圆的方程. 如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0
2 2 2 x ? a ) ? ( y ? b ) ? r. 2. 圆的标准方程:以点 C(a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 (

r2. 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x2?y2?
2 2 ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 3. 圆的一般方程: x .

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D2?E2? 4F ? D E? 2 2 当D 时,方程表示一个圆,其中圆心 C? ? ,? ? ,半径 r ? . ? E ? 4 F ? 0 2 2 2 ? ?
2 2 ? E ? 4 F ? 0 当D 时,方程表示一个点 ? ?

? ?

D E? ,? ? . 2 2?

当D 时,方程无图形(称虚圆). ? E ? 4 F ? 0
2 2 2 4. 点和圆的位置关系:给定点 M . : ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r (x 0,y 0)及圆 C

2

2

2 2 2 ①M 在圆 C 内 ? ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 0 0 2 2 2 ② M 在圆 C 上 ? ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 0 0 2 2 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 0 0

5. 直线和圆的位置关系:
2 22 设圆圆 C : ( ; x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ( r ? 0 )
2 2 直线 l : Ax ; ? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0 )

圆心 C(a, b) 到直线 l 的距离 d ? ① d ? r 时, l 与 C 相切; 附:若两圆相切,则 ? 2

Aa? Bb?C A2 ?B2

.

2 2 ? x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ? 1 1 1

? 相减为公切线方程. 2 ? x? y ? D x ? E y ? F ? 0 2 2 2 ?

2 2 C : x ? y? D x ? E y ? F ? 0 ② d ? r 时, l 与 C 相交; 1 1 1 1 2 2 C : x? y? D x ? E y ? F ? 0 附:公共弦方程:设 2 2 2 2 D ? D ) x ? ( E ? E ) y ? ( F ? F ) ? 0 有两个交点,则其公共弦方程为 ( . 1 2 1 2 1 2

③ d ? r 时, l 与 C 相离. 由代数特征判断: 方程组 ? 其判别式为 ? ,则: ? ? 0 ? l与 C 相切; ? ? 0 ? l与 C 相交; ? ? 0 ? l与 C 相离.
r2上一 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, 则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x2?y2?
2 x ? y y? r 点P . (x0,y0)的切线方程为 x 0 0

? (x?a )2? (y?b )2? r2 ? 用代入法, 得关于 x (或 y ) 的一元二次方程, ? ?Bx ?C?0 ?Ax

圆锥曲线方程
一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:

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PF PF 2 a ? F F 方程为椭圆 , 1? 2? 1 2 PF PF 2 a ? F F 无轨迹 , 1? 2? 1 2 PF PF 2 a ?F F 以 F , F 为端点的线段 1? 2? 1 2 1 2

⑴ ① 椭圆的标准方程: i. ii. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x
y2 ? ? 1 ( a? b?0 ). 2 2 a b
2
2 x ? 2? 1 ( a? b?0 ). a b 2 2

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y

2 2 ? a , 0 )( 0 , ? b )或 ( 0 , ? a )( ? b , 0 ).② ② 一般方程: Ax .⑵ ① 顶点: ( 轴:对称轴:x ? By ? 1 ( A ? 0 , B ? 0 )

? c ,0 )( c ,0 )或 ( 轴 , y 轴 ; 长 轴 长 2 a , 短 轴 长 2 b .③焦 点 : ( 0 , ? c )( 0 ,c ) .④焦 距 :
2 2 准线: x ? ? F F 2 c , c ?a ? b.⑤ 1 2?

a2 c a2 或y ? ? .⑥ 离心率: e ? (0 ?e ?1 ). c a c

⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF PF 2 a ? F F 方程为双曲线 1? 2? 1 2 PF PF 2 a ? F F 无轨迹 1? 2? 1 2

2b2 a2

(?c,

b2 b2 ) )和 ( c , a a

PF PF 2 a ? F F 以 F , F 的一个端点的一条射线 1? 2? 1 2 1 2

⑴ ①双 曲 线 标 准 方 程 :
2 2 . A x ? Cy ? 1 ( A ? C 0 )

2 2 2 2 y y x x ? ? 1 ( a , b ? 0 ), ? ? 1 ( a , b ? 0 ). 2 2 2 2 a b a b

一 般 方 程 :

⑵ ① i. 焦点在 x 轴上:
a , 0 ), ( ? a , 0 ) 顶点: (

焦点: ( c , 0 ), ( ? c , 0 )

准线方程 x ? ?

a2 c

渐近线方程:

x y ? ?0或 a b

x2 a2

?

y2 b2

?0

② 轴 x, y 为对称轴, 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b, 焦距 2c. ③ 离心率 e ?
c 参数关系 c2? a2? b2,e? . a

c . a

④ 通径

2b a

2

.



⑥ 焦点半径公式: 对于双曲线方程

x2 a2

?

y2 b2

? 1( F 1,F 2 分别为双

曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
2 2 2 ⑶ 等轴双曲线: 双曲线 x 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 y ? ?x , 离心率 e ? 2 . ? y ? ? a

三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y2? 2px
y2?? 2px

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图形



y



y

x O

x O

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

F(

p ,0 ) 2
p 2

F (?
x ?

p ,0 ) 2
p 2

x? ?

x? 0 ,y ? R

x? 0 ,y ? R

x 轴

y 轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ?x1 2

PF ?

p ? x1 2

注:通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. 四、圆锥曲线的统一定义.. :椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 定义 1. 到两定点 F1,F2 的距离 之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹 双曲线 1. 到两定点 F1,F2 的距离 之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨 迹 2.与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(0<e<1) 图形 标准方程 方 2. 与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (e>1) 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a ?b )
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2
x?0 (0,0) x轴

y2=2px

程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 |x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0)
2 2 2c (c= a ?b )

F(

p ,0 ) 2

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离心率 准线

c e ? (0?e ?1 ) a
x= ?

e?

c (e ? 1) a

e=1

a c

2

x= ? y=±

a c

2

x ? ?

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a

r? a ? ex
2b a
2

r? ? ( ex ? a )

r ? x?
2p

p 2

2b a

2

立体几何
平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.(①两个平面平行,②两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.(①三条直线在一个平面内平行,②三条 直线不在一个平面内平行) 一、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直 线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内 2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异 面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 ? ? 相等 (如下图) . (二面角的取值范围? ? ?) ? 0 , 180 ? ? 1 1 2 (直线与直线所成角?? ?0,90?) ? ? (斜线与平面成角?? ? ?) 0, 90 2 ? ? (直线与平面所成角?? ? ?) 0, 90 方向不相同 方向相同
? ? (向量与向量所成角 ? ? [ 0 , 180 ])

推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角) 相等. 二、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行.(“线线平行,线面平行”) [注]:①直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则 a ∥ ? . (?)(平面外一条直线) ②直线 a 与平面 ? 内一条直线相交,则 a 与平面 ? 相交. (?)(平面外一条直线) ③若直线 a 与平面 ? 平行,则 ? 内必存在无数条直线与 a 平行. (√) (不是任意一条直线, 可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (?)(可能在此平
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面内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(?)(两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(?)(两直线可能相交或者异面) ⑦直线 l 与平面 ? 、 ? 所成角相等,则 ? ∥ ? .(?)( ? 、 ? 可能相交) 3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行,线线平行”) 直线与平面垂直的判定定理二: 如果平行线中一条直线垂直于一个平面, 那么另一条也垂直 于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. [注]:①垂直于同一平面 的两个平面平行.(?)(可能相交,垂直于同一条直线 的两个平 .... ..... 面平行) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另 一个平面) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 三、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个 平面平行.(“线面平行,面面平行”) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. [注]:一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平 行.(“面面平行,线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二: 如果一个平面与一条直线垂直, 那么经过这条直线的平面垂直于 这个平面.(“线面垂直,面面垂直”) 四. 空间几何体 .异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方 体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; .直线与平面所成的角 .二面角的求法 .空间距离的求法(求点到直线的距离) 转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解; 正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长;

概率 知识要点
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能 1 性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那 n 么事件 A 的概率 P(A) ?
m . n

3. ① 互斥事件: 不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、 B 互斥, 那么事件 A+B
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发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: P(A . ? A ? ? ? A ) ? P(A ) ? P(A ) ? ? ? P(A ) 1 2 n 1 2 n ② 对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件 叫对立事件. ............... 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P ? . (A) P A ) ( ? P? (A A ) ? 1
互斥 对立

ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③ 相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的 积,即 P(A· B)=P(A)· P(B).

回归分析和独立性检验
第一步:提出假设检验问题 系
2 n ( a d ? b c ) 2 (它越小,原假设“H 0 :吸 K ? ( a ? bc ) (? da ) (? cb ) (? d ) 烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“ H 1 :吸烟与患肺癌有关

H 0 :吸烟与患肺癌没有关系 ? H 1 :吸烟与患肺癌有关

第二步:选择检验的指标

系”成立的可能性越大.
n ? xi yi ? n x y ? ? i?1 ? ?b ? n 回归直线方程的求法: ? x i2 ? n ( x ) 2 ? ? i?1 ? ? ?a ? y ? bx

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