9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年3月上旬优生辅导函数与相似



2016 年 3 月优生辅导: 2016 中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)

例 1 直线

1 y ? ? x ? 1 分别交 x 轴、 y 轴于 A、 B 两点, △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°后得到△COD, 3
2

抛物线 y=ax +bx+c 经过 A、C、D 三点. (1)

写出点 A、B、C、D 的坐标; (2) 求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点 G 的坐标; (3) 在直线 BG 上是否存在点 Q,使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与△COD 相似?若存在,请求出点

Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1 思路点拨 1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角. 2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标. 3.第(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提. 4.△ABQ 与△COD 相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点 Q 与点 B 的位置关系分上下 两种情形,点 Q 共有 4 个. 满分解答 (1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0).

(2) 因为抛物线 y=ax +bx+c 经过 A(3, 0)、 C(0,3)、D(-1,0) 三点,所以 ? ?c ? 3,
2

?9a ? 3b ? c ? 0,


?a ? b ? c ? 0. ?

得? ?b ? 2,

? a ? ?1, ?c ? 3. ?

所以抛物线的解析式为 y=-x +2x+3=-(x-1) +4,顶点 G 的坐标为(1,4). (3)如图 2,直线 BG 的解析式为 y=3x+1,直线 CD 的解析式为 y=3x+3,因此 CD//BG. 因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以 AB⊥CD.因此 AB⊥BG,即∠ABQ=90°.

2

2

因为点 Q 在直线 BG 上,设点 Q 的坐标为(x,3x+1),那么 BQ ?

x 2 ? (3x) 2 ? ? 10 x .

Rt△COD 的两条直角边的比为 1∶3,如果 Rt△ABQ 与 Rt△COD 相似,存在两种情况:

①当

BQ ? 10 x ? 3 时, ? 3 .解得 x ? ?3 .所以 Q1 (3,10) , Q2 (?3, ?8) . BA 10

②当

BQ 1 1 1 1 ? 10 x 1 .解得 ? 时, x ? ? .所以 Q3 ( , 2) , Q4 ( ? , 0) . ? BA 3 3 3 3 3 10

图2 考点伸展

图3

第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明 AB⊥BG;二是

BQ ? x 2 ? (3x) 2 ? ? 10 x .

我们换个思路解答第(3)题: 如图 3,作 GH⊥y 轴,QN⊥y 轴,垂足分别为 H、N. 通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°. 在 Rt△BGH 中, sin ?1 ?

1 , 3 . cos ?1 ? 10 10

①当

BQ ? 3 时, BQ ? 3 10 . BA

在 Rt△BQN 中, QN ? BQ ? sin ?1 ? 3 , BN ? BQ ? cos ?1 ? 9 . 当 Q 在 B 上方时, Q1 (3,10) ;当 Q 在 B 下方时, Q2 (?3, ?8) .

②当

BQ 1 1 1 1 ? 时, BQ ? 10 .同理得到 Q3 ( , 2) , Q4 ( ? , 0) . BA 3 3 3 3

例 2 Rt△ABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示,反比例函数

y?

k (k ? 0) 在第一象限内的图像与 BC x

边交于点 D(4,m),与 AB 边交于点 E(2,n),△BDE 的面积为 2. (1)求 m 与 n 的数量关系; (2)当 tan∠A=

1 2

时,求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式;

(3)设直线 AB 与 y 轴交于点 F,点 P 在射线 FD 上,在(2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相似,求 点 P 的坐标.

图1 思路点拨 1.探求 m 与 n 的数量关系,用 m 表示点 B、D、E 的坐标,是解题的突破口. 2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是 FD//x 轴. 3.如果△AEO 与△EFP 相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况. 满分解答

(1)如图 1,因为点 D(4,m)、E(2,n)在反比例函数 得 n=2m.

y?

k x

的图像上,所以 ?

? 4m ? k , ? 2n ? k .
1 2

整理,

(2)如图 2,过点 E 作 EH⊥BC,垂足为 H.在 Rt△BEH 中,tan∠BEH=tan∠A= =1.因此 D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1).

,EH=2,所以 BH

已知△BDE 的面积为 2, 所以

1 1 BD ? EH ? (m ? 1) ? 2 ? 2 .解得 m=1.因此 D(4,1),E(2,2), 2 2

B(4,3).

因为点 D(4,1)在反比例函数

y?

k x

的图像上,所以 k=4.因此反比例函数的解析式为

y?

4 x



设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,代入 B(4,3)、E(2,2),得 ?

?3 ? 4 k ? b, ?2 ? 2 k ? b.

解得 k

?

1 ,b ? 1. 2

因此直线 AB 的函数解析式为

y?

1 x ?1. 2

图2

图3

图4

(3)如图 3,因为直线

y?

1 x ? 1 与 y 轴交于点 F(0,1),点 D 的坐标为(4,1),所以 FD// x 2

轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况:

①如图 3,当

EA EF ? AO FP
EA FP ? AO EF

时,

2 5 5 ? 2 FP

.解得 FP=1.此时点 P 的坐标为(1,1).

②如图 4,当

时,

2 5 FP ? 2 5

.解得 FP=5.此时点 P 的坐标为(5,1).

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示”,如果没有这个条件限制,保 持其他条件不变,那么还有如图 5 的情况:

第(1)题的结论 m 与 n 的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为

y??

12 ,直线 AB 为 x

y?

1 x ? 7 .第(3)题 FD 不再与 x 轴平行,△AEO 与△EFP 2

也不可能相似.

图5

2014 中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3 如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).

(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标; (2)将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于 点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1.设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S,A1、 B1 的坐标分别为 (x1,y1)、 (x2,y2).用含 S 的代数式表示 x2-x1,并求出当 S=36 时点 A1 的坐标; (3)在图 1 中,设点 D 的坐标为(1,3),动点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段

BC 运动,动点 Q 从点 D 出发,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动.P、Q 两点同时出发,当点 Q 到达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动.设 P、Q 两点的运动时间为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线 AB、
x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不 存在,请说明理由.

图1 思路点拨

图2

1.第(2)题用含 S 的代数式表示 x2-x1,我们反其道而行之,用 x1,x2 表示 S.再注意平移过程中梯 形的高保持不变,即 y2-y1=3.通过代数变形就可以了. 2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此 本题的策略是先假设,再说理计算,后验证. 3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线 AB 与 x 轴的夹角不变,直线 AB 与抛物线的对称轴的夹 角不变.变化的直线 PQ 的斜率,因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方,或者假设交点 G 在 x 轴的 上方. 满分解答 (1)抛物线的对称轴为直线 x

? 1 ,解析式为 y ? 1 x 2 ? 1 x ,顶点为 M(1, ? 1 ).
8 4
8

2( x1 ? 1 ? x2 ? 1) ? ? ? 3( x1 ? x2 ) ? 6 ,由此得到 2 s 1 2 1 1 1 x1 ? x2 ? ? 2 .由于 y2 ? y1 ? 3 ,所以 y2 ? y1 ? x2 ? x2 ? x12 ? x1 ? 3 .整理,得 3 8 4 8 4
(2) 梯形 O1A1B1C1 的面积 S

?

72 1? ?1 . ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? ? ? 3 .因此得到 x2 ? x1 ? S 4? ?8

当 S=36 时, ?

? x2 ? x1 ? 14, ? x2 ? x1 ? 2.

解得 ?

? x1 ? 6, ? x2 ? 8.

此时点 A1 的坐标为(6,3).

(3)设直线 AB 与 PQ 交于点 G,直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E,直线 PQ 与 x 轴交于点 F,那么 要探求相似的△GAF 与△GQE,有一个公共角∠G. 在△GEQ 中,∠GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值. 在△GAF 中,∠GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF. 因此只存在∠GQE=∠GAF 的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.

由于 tan ?GAF

?

DQ t 3 t 20 3 ? , tan ?PQD ? ,所以 ? .解得 t ? . 4 5?t 7 4 QP 5 ? t

图3

图4

考点伸展 第(3)题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况?如图 4,假如存在,说理过程相同,求得的 t 的值也是相 同的.事实上,图 3 和图 4 都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图 3.

例 4 如图 1,已知点 A (-2,4) 和点 B (1,0)都在抛物线

y ? mx2 ? 2mx ? n 上.

(1)求 m、n; (2)向右平移上述抛物线,记平移后点 A 的对应点为 A′,点 B 的对应点为 B′,若四边形 A A′B′

B 为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线 AB′ 的交点为 C,试在 x 轴上找一个点 D,使得以点 B′、C、D 为顶点的三角形与△ABC 相似.

图1 思路点拨 1.点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到,各具特色.第(1)题用在待定系数法中;第(2)题用 来计算平移的距离;第(3)题用来求点 B′ 的坐标、AC 和 B′C 的长. 2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.

3. 探求△ABC 与△B′CD 相似, 根据菱形的性质, ∠BAC=∠CB′D, 因此按照夹角的两边对应成比例, 分两种情况讨论. 满分解答

(1) 因为点 A (-2, 4) 和点 B (1,0)都在抛物线

y ? mx2 ? 2mx ? n 上,所以 ? ?

4m ? 4m ? n ? 4, ? m ? 2m ? n ? 0.

解得 m ? ?

4 ,n ? 4. 3

(2)如图 2,由点 A (-2,4) 和点 B (1,0),可得 AB=5.因为四边形 A A′B′B 为菱形,所以 A A′ =B′B= AB=5.因为

y??

4 2 8 4 16 2 x ? x ? 4 ? ? ? x ? 1? ? ,所以原抛物线的对称轴 x=-1 向 3 3 3 3

右平移 5 个单位后,对应的直线为 x=4.

因此平移后的抛物线的解析式为

y, ? ?

4 ?x ? 4?2 ? 16 3 3



图2

(3) 由点 A (-2,4) 和点 B′ (6,0),可得 A B′= 4

5.

如图 2,由 AM//CN,可得

2 B 'C B ' N B 'C ? ,即 ? B'M B' A 8 4 5

.解得 B ' C

? 5 .所以

AC ? 3 5 .根据菱形的性质,在△ABC 与△B′CD 中,∠BAC=∠CB′D.
AB B ' C 5 5 ? 时, ,解得 B ' D ? 3 .此时 OD=3,点 D 的坐标为(3 , ? AC B ' D 3 5 B'D

①如图 3,当

0).

②如图 4, 当

A B B D' ? A C BC '

时,

5

3 5

?

B'D 5 13 13 , 解得 B ' D ? . 此时 OD= , 点 D 的坐标为 ( , 3 3 3 5

0).

图3 考点伸展

图4

在本题情境下,我们还可以探求△B′CD 与△AB B′相似,其实这是有公共底角的两个等腰三角形, 容易想象,存在两种情况. 我们也可以讨论△B′CD 与△CB B′相似,这两个三角形有一组公共角∠B,根据对应边成比例,分两 种情况计算. 2012 中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5 已知:如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴 上,OA=2,OC=3,过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D,连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC,交 OA 于点 E. (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 OC 交于

点 G.如果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M,点 M 的横坐标为

6 5

,那么 EF=2GO 是否成立?若成立,

请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在成立,请说明理由.

图1

动感体验 请打开几何画板文件名 “09 重庆 26” , 拖动点 G 在 OC 上运动, 可以体验到, △DCG 与△DEF 保持全等, 双击按钮“M 的横坐标为 1.2”,可以看到,EF=2,GO=1. 拖动点 P 在 AB 上运动的过程中,可以体验到,存在三个时刻,△PCG 可以成为等腰三角形.

思路点拨 1.用待定系数法求抛物线的解析式,这个解析式在第(2)、(3)题的计算中要用到. 2.过点 M 作 MN⊥AB,根据对应线段成比例可以求 FA 的长. 3.将∠EDC 绕点 D 旋转的过程中,△DCG 与△DEF 保持全等. 4.第(3)题反客为主,分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形,根据点 P 的位置确定点 Q 的位置,再 计算点 Q 的坐标.

满分解答 (1)由于 OD 平分∠AOC,所以点 D 的坐标为(2,2),因此 BC=AD=1. 由于△BCD≌△ADE,所以 BD=AE=1,因此点 E 的坐标为(0,1).

?c ? 1, ? 设过 E、 D、 C 三点的抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? c , 那么 ?4a ? 2b ? c ? 2, ?9a ? 3b ? c ? 0. ?
2

解得 a

??

5 , 6

b?

13 5 13 c ? 1 .因此过 E、D、C 三点的抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 1 . 6 6 6

(2)把 x

?

6 12 5 2 13 x ? 1 ,求得 y ? .所 代入 y ? ? x ? 5 5 6 6

以点 M 的坐标为 ?

? 6 12 ? , ?. ?5 5 ?

如图 2,过点 M 作 MN⊥AB,垂足为 N,那么

MN DN ? FA DA

,即

12 6 ?2 2? 5 5 .解得 FA ? 1 . ? FA 2
因为∠EDC 绕点 D 旋转的过程中,△DCG≌△DEF,所以 CG=EF=2.因此 GO=1,EF=2GO.

图2

(3)在第(2)中,GC=2.设点 Q 的坐标为 ? x,?

? ?

5 2 13 ? x ? x ? 1? . 6 6 ?

①如图 3, 当 CP=CG=2 时, 点 P 与点 B (3, 2) 重合, △PCG 是等腰直角三角形. 此时

yQ ? xQ ? xG ,

因此 ?

5 2 13 ? 12 7 ? x ? x ? 1 ? x ? 1 。由此得到点 Q 的坐标为 ? , ? . 6 6 ? 5 5?
? 13 ? ?. ? 6?

②如图 4,当 GP=GC=2 时,点 P 的坐标为(1,2).此时点 Q 的横坐标为 1,点 Q 的坐标为 ?1,

③如图 5, 当 PG=PC 时, 点 P 在 GC 的垂直平分线上, 点 P、 Q 与点 D 重合. 此时点 Q 的坐标为 (2 , 2) .

图3

图4

图5

考点伸展 在第(2)题情景下,∠EDC 绕点 D 旋转的过程中,FG 的长怎样变化?

设 AF 的长为 m,那么 FG

? ( 2 ? m) 2 ? ( 2 ? m) 2 ? 2 m 2 ? 8 .

点 F 由 E 开始沿射线 EA 运动的过程中,FG 先是越来越小,F 与 A 重合时,FG 达到最小值 2 过点 A 以后,FG 越来越大,当 C 与 O 重合时,FG 达到最大值 4.

2 ;F 经

例6

在平面直角坐标系内,O 为原点,点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标为(0,4),直线 CM//x 轴(如 图 1 所示).点 B 与点 A 关于原点对称,直线 y=x+b(b 为常数)经过点 B,且与直线 CM 相交于点 D,联 结 OD. (1)求 b 的值和点 D 的坐标; (2)设点 P 在 x 轴的正半轴上,若△POD 是等腰三角形,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,如果以 PD 为半径的圆与圆 O 外切,求圆 O 的半径.

图1

动感体验 请打开几何画板文件名“09 上海 24”,拖动点 P 在 x 轴正半轴上运动,可以体验到,△POD 的形状可 以成为等腰三角形,分别双击按钮“PD=PO”、“OD=OP”和“DO=DP”可以显示三个等腰三角形.在点

P 运动的过程中,两个圆保持相切,可以体验到,当 PD=PO 时,圆 O 不存在.

思路点拨 1.第(1)题情景简单,内容丰富,考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合. 2.分三种情况讨论等腰三角形 POD 的存在性,三个等腰三角形的求解各具特殊性. 3.圆 O 与圆 P 的半径、圆心距都是随点 P 而改变,但是两圆外切,圆心距等于半径和的性质不变.

满分解答 (1)因为点 A 的坐标为(1,0),点 B 与点 A 关于原点对称,所以点 B 的坐标为(-1,0).将 B(- 1,0)代入 y=x+b,得 b=1.将 y=4 代入 y=x+1,得 x=3.所以点 D 的坐标为(3,4).

(2)因为 D(3,4),所以 OD=5, cos ?DOP

?

3 . 5
5 OE 3 ? , OE ? ,所 2 OP 5

①如图 2,当 PD=PO 时,作 PE⊥OD 于 E.在 Rt△OPE 中, cos ?DOP

?

以 OO

?

25 25 , 0) . .此时点 P 的坐标为 ( 6 6

②如图 3,当 OP=OD=5 时,点 P 的坐标为 (5, 0) .

③如图 4,当 DO=DP 时,点 D 在 OP 的垂直平分线上,此时点 P 的坐标为 (6, 0) .

图2

图3

图4

(3)圆 P 的半径 rP

? PD ,两圆的圆心距为 OP.当两圆外切时,圆 O 的半径 rO ? OP ? PD . ? 0 ,此时圆 O 不存在. 5 .此

①如图 2,当 PD=PO 时, rO

②如图 3,当 OP=OD=5 时,作 DH⊥OP 于 H.在 Rt△DHP 中,DH=4,HP=2,所以 DP ? 2 时 rO

? OP ? PD ? 5 ? 2 5 .

③如图 4,当 DO=DP 时, rO

? OP ? PD ? 6 ? 5 ? 1 .

考点伸展 如图 5,在本题情景下,如果圆 P 与圆 C 外切,那么点 P 的变化范围是什么?

如图 6,当圆 P 经过点 C 时,点 P 在 CD 的垂直平分线上,点 P 的坐标为 (

3 , 0) . 2

因此当点 P 在 x 轴上点 (

3 , 0) 的右边时,圆 P 与圆 C 外切. 2

图5

图6



更多相关文章:
2016年3月上旬优生辅导函数与相似
2016年3月上旬优生辅导函数与相似_数学_高中教育_教育专区。2016 年 3 月优生辅导: 2016 中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例 1 直线 1 y ? ? x ?...
(21-45)钟炜2016年下学期荣县初三数学教研会讲学稿(初中数学讲座45)
2016 年 9 月 10 日 (编号:zhongwei196207blog—...22.3 实际问题与二次函数 3 课时;数学活动,小结...8、进行个别辅导,优生提升能力,扎实打牢基础知识,后...
2015-2016年秋季人教版九年级数学上册教学工作计划
2015-2016年秋季人教版九年级数学上册教学工作计划_...7、进行个别辅导,优生提升能力,扎实打牢基础知识,对...二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质(3 课时) ...
2016-2017学年秋季人教版九年级数学上册教学工作计划
2016-2017学年秋季人教版九年级数学上册教学工作计划...7、进行个别辅导,优生提升能力,扎实打牢基础知识,对...二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质(3 课时) ...
2016-2017新人教版九年级数学上册教学工作计划
2016-2017新人教版九年级数学上册教学工作计划_数学_...8、进行个别辅导,优生提升能力,扎实打牢基础知识,后....3 21 章数学活动 小结,第二十二章 二次函数22...
2015-2016年八年级下册数学教学计划
函数的学习,比例与 相似,也会使孩子们在数学的认识...5、进 行个别辅导,优生提升能力,扎实打牢基础知识,...2015-2016学年八年级上学... 3页 ¥2.00 2014...
2016年冀教版九年级上册数学教学计划
2016年冀教版九年级上册数学教学计划_从业资格考试_...第二十九章 相似形,第十章, 反比例函数, 第...即怎样 既让差生吃饱,又让优生吃好的问题。4 如何...
九年级上册 数 学 优 生 辅 导 计 划
九年级上册 数学优生辅导计划_语文_初中教育_教育...3、培养学生学习兴趣 二、辅导对象 刘陶峰、 刘丹...反比例函数、反比例函数的图象与性质及应用 一元二...
2015-2016学年度六年级第二学期数学教学计划冀教版
2015-2016学年度六年级第二学期数学教学计划冀教版_...而且也使学生获得初步的函数观念,为进一步学习相关知识...如对待优生,创造条件使他们“尖子更尖”;对待学习有...
更多相关标签:
2016年12月中上旬电影    优生辅导计划    小学数学优生辅导记录    优生辅导记录    小学语文优生辅导记录    学优生辅导记录    2016免费孕前优生健康    数学优生辅导记录    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图