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2.双曲线的简单几何性质



双曲线的 简单几何性质(2)

B2

. .
A2
B2
2 2 2 2

图形

. .
F1

y

y
F2

F2(0,c)
B1

A1 A2

/>O

F2

x

F1(-c,0)
2 2

B1 F2(c,0)

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
y ? a 或 y ? ?a,x ? R

x ? a 或 x ? ? a,y ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a
b y?? x a

(e ? 1)

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

椭圆与双曲线的性质比较:
椭 圆 方程 a b c关系 图象
F1 x +y 2 a2 b
2 2

双曲线
x2 a
2

? 1 a> b >0) (

?

y2 b
2

? 1 a、b >0) (

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)
y
M

c 2? a 2 + b 2 (a> 0 b>0)
Y p F2 X

0

F2

X

F1

0

y

图象
F1
0

Y
M

p
F2 X

F2

X

F1

0

范围 对称性 顶点

|x|?a,|y|≤b
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b e=
c (e?1) a

(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b
c e= a
( 0<e <1 )

离心率 渐近线



y=±

b x a

例1.已知双曲线的焦点在y轴上,焦距为16,离 心率是4/3,求双曲线的标准方程。 例2.求下列双曲线的渐近线方程,并画出图像: y 2 2 2 2 x y
1). 9 ? 4 ?1

x y 2). ? ? ?1 9 4

如何记忆双曲线的渐进线方程?

0

x

能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程? 双曲线方程
x2 y2 ? 2 ?0 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) 中,把1改为0,得 2 a b
x y x y ( + )( ? ) ? 0 a b a b x y x y + ? 0或 ? ? 0. a b a b

y= ?

b x a

结论:

x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? ? (? ? 0) ? 渐近线方程 2 ? 2 ? 0. a b a b

例3.已知双曲线的渐近线是 x ? 2 y

?0

,并且双曲线过点

M (4, 3 )

求双曲线方程.

y Q

x2 y2 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1? a b y 2 x2 还是 2 ? 2 ? 1? a b

M o 4 x

变形:已知双曲线渐近线是

x ? 2 y ? 0 ,并且双曲线过点
x2 y2 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1? a b y 2 x2 还是 2 ? 2 ? 1? a b
x

N (4, 5 ) 求双曲线方程.

y N
Q

o

x2 y 2 令双曲线为 2 ? 2 ? ?,若求得? ? 0, 则双曲线的交点在x轴; a b 若? ? 0, 则焦点在y轴上。

练习题:
1.求下列双曲线的渐近线方程:

1).x ? 8 y ? 32
2 2

2).9 x ? y ? 81
2 2

3).x ? y ? ?4
2 2

2.求与x 2 ? 4 y 2 ? 1有相同渐近线, 且过点M (4, 3 )的双曲线方程。
2 2

x2 y2 4). ? ? ?1 49 25

3.求与x ? 4 y ? 1有相同渐近线, 且焦点为( ? 5 ,0)的双曲线方程。
1 y2 2 4.求 渐 近 线 为 ? ? x, 且 以 椭 圆 + y x ?1 2 5 的 焦 点 为 顶 点 的 双 曲方 程 。 线

小结:
知识要点:

x2 y2 b 1. 2 ? 2 ? 1的渐近线是y= ? x. a b a y 2 x2 a 2. 2 ? 2 ? 1的渐近线是y= ? x. a b b
技法要点:

x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? ? (? ? 0) ? 渐近线方程 2 ? 2 ? 0. a b a b



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