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高中数学人教版必修5知识点总结



高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b

c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
圆的半径,则有
2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、 余弦定理的推论:cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ,cos ? ? ,cos C ? . 2bc 2ab 2ac

2 2 2 6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90? ; 2 2 2 2 2 2 ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90? ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90? .

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?


an ? a1 n ?1



④n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

* 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 a ? n S偶 an?1



* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n (其中 ? S偶 n ? 1

. S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an ) 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 25、 在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使 a ,G ,b 成等比数列, 则 G 称为 a 与 b 的等比中项. 若

G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 27 、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q n ?1 ?

an ;④ a1

q n?m ?

an am



* 28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; * 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an

2

? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
* 30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

② Sn? m

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、 不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③a ? b ? a?c ? b?c; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ??, n ? 1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
2 判别式 ? ? b ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax ? bx ? c
2

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根
2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0

x1,2 ?

? a ? 0? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

一元二次 不等式的 解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ? x2 ?

?

? a ? 0?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对

? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . ①若 ? ? 0 , 则 ?x?? y ? C ?

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域. ②若 ? ? 0 , 则 ?x?? y ? C ?

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条 件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数. 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2

a?b ? ab . 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

③ ab ? ?

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ;④ ?? ? ? a ? 0, b ? 0? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?

2

2

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .



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