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求函数解析式的几种方法


求函数解析式的几种方法 函数的表示方法有三种:解析式法、图像法、列表法,其中最常用的是解析式 法,下面介绍几种求函数解析式的方法。 一、利用换元法求函数的解析式。 例 1、已知函数 f(ex)=x2+1,求函数 f(x)的解析式。 解:设 ex=t,t>0,则 x=㏑ t, f(t)=㏑ 2t+1.则 f(x)=㏑ 2x+1 (x>0). 注:已知 f[g(x)]是关于 x 的函数即 f[g(x)]=F(x) 求函数 f(x)的解析式。通常令 g(x)=t,解出 x=φ 将 x=φ 代入 f[g(x)]=F(x)中,求得 f(t) 的解析式,再用 x 替换 t 便得 f(x) 的解析式。 用换元法求函数解析式时,如果所求函数的定义域不是全体实数,需要根据实 际情况标明函数的定义域. 二、根据函数的奇偶性求函数的解析式。 例 2、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,﹢∞)时 f(x)=x2+lg(1+x), 求 函数 f(x)的解析式。 解:设 x∈(-∞,0),则-x∈(0,﹢∞)。 f(x)=-f(-x)=-x-lg(1-x) 则当 x∈(0,﹢∞),f(x)=x2+lg(1+x),x=0 时,f(x)=0 x∈(-∞,0),f(x)=-x2-lg(1-x) 三、消元法求函数的解析式。 例 3、已知函数 f(x)满足 3f(x)+2f()=4x, 求函数 f(x)的解析式. 解:用代换 x,列方程组解 f(x)3f(x)+2f()=4x, 3f()+2f(x)=解得 f(x)=x- 。 注:此题是利用消元法和函数奇偶性求函数的解析式. 四、根据对称性求函数的解析式。 例 4、已知函数 f(x)=x2-2x, x∈[2,3],且 f(x)关于(2,0)中心对称,求 x∈[1,2]上 的解析式。 解: 设 p(x,y)是 x ∈ [1,2] 图像上的点, 则其关于 (2,0)的对称点为 Q(4-x,-y), 则 -f(x)=(4-x)2-2(4-x) f(x)=-(4-x)2+2(4-x)。 五、利用赋值法求函数的解析式。 例 5、 已知函数 y= f(x)对任意实数 x. y 均满足 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)且 f(0)=1, 求函数 y= f(x)的解析式。 解:当 x=0 时,f(-y)=1-y(-y+1),用 x 代换-y 得:f(x)=1+x(x+1)。 注:对于抽象函数求解析式 ,一般情况下技巧性比较强 ,经常利用赋值法求函 数的解析式。 函数是高中数学最重要的内容,是贯穿整个中学数学的一条主线,因而一直是 高考的必考内容和热点内容,而学习函数从求函数的解析式开始,学生开始接触到 高中的一些数学思想,掌握了一些数学思想和方法对以后的学习有指导作用。


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