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从2009年上海各地高考数学论文模拟试题数列压轴题谈谈2010高考命题趋势


从 2009 年上海各地高考模拟试题数列压轴题谈谈 2010 高考命题趋势
2009 年上海高考已经结束,2010 届的高考的号角即将吹响,很多考生一头埋进全国高 考试题里去研究,我们不妨停下脚步,从各地的模拟试题当中掘金呢。模拟试题是各大市名 师或学科带头人的智慧的结晶,那我就从 2009 年上海各地模拟试题谈谈自己的看法吧。 首先看一道比较基础的压轴题:选自 2009.4 闸北区模拟题 将数列 ?an ? 中的所有项按第一行排 3 项,以下每一行比上一行多一项的规则排 成如下数表:

a1 a4 a8
……

a2 a5 a9

a3 a6 a10 a7
a11

a12

记表中的第一列数 a1 , a4 , a8 ,… ,构成数列 ?bn ? . (Ⅰ)设 b8 ? am ,求 m 的值;
2 2 (Ⅱ)若 b1 ? 1 ,对于任何 n ? N ,都有 bn ? 0 ,且 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 .求数
?

列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列 ?bn ? ,若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为

2 ? ,求上表中第 k ( k ? N )行所有项的和 S (k ) . 5 [解](Ⅰ)由题意, m ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 1 ? 43

q(q ? 0) 的等比数列,且 a 66 ?

2 2 (Ⅱ)由 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 , bn ? 0

令t ?

a n ?1 2 得 t ? 0 ,且 (n ? 1)t ? t ? n ? 0 an

即 (t ? 1)[(n ? 1)t ? n] ? 0 , 所以

bn?1 n ? bn n ?1 b b2 1 b3 2 n ?1 ? , ? ,..., n ? b1 2 b2 3 bn ?1 n
1 n

因此

将各式相乘得 bn ?

(Ⅲ)设上表中每行的公比都为 q ,且 q ? 0 .因为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? ? ? 11 ? 63 , 所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 ?bn ? 的前 63 项,故 a66 在表中第 10 行第三列, 因此 a 66 ? b10 ? q ?
2

2 1 .又 b10 ? ,所以 q ? 2 .则 5 10

bk (1 ? q k ? 2 ) 1 k ? 2 S (k ) ? ? (2 ? 1) . k ? N ? 1? q k

【思考】第二问中为什么不用数学归纳法呢,我们姑且先猜猜。
2 2 由 b1 ? 1 且 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 知

1 2 1 2 2b3 ? b3 ? 1 ? 0 ,? b3 ? 0 ,? b3 ? 2 1 ? 因此,可猜测 bn ? ( n ? N ) n 1 1 将 bn ? , bn ?1 ? 代入原式左端得 n n ?1
2 2b2 ? b2 ? 1 ? 0 ,? b2 ? 0 ,? b2 ?

左端 ?

1 1 1 ? ? ?0 n ? 1 n n(n ? 1) 1 为数列的通项. n

即原式成立,故 bn ?

『经验探究』看到第二问中比较复杂的式子,我们应该想想,是不是可以先猜猜他的结果, 如果猜中了,但是不会做,我还可以得一分,高考有时一分就决定一个人命运呀。如果猜 出结果,想想数学归纳法,因为答案上有很多方法很妙的,在考场中很难想到,我们换种 思维,就能寻找解题的捷径。 很多出题人很喜欢在压轴题中混合上很多的知识点,而且混合上的每一个知识点都有些难 度。向量与数列的综合再也普通不过了,但是最后一问来点数论的知识,题目档次就上去 了,让我们来看看 2009.4 长宁区的一道题目。

设 x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是 i 、 j , 坐标平面上点列 An 、Bn (n ? N ? ) 分 别 满 足 下 列 两 个 条 件 : ① OA1 ? j 且 An An?1 ? i ? j ; ② OB1 ? 3 i 且
? ? 2 Bn Bn ?1 ? ( ) n ? 3 i . 3

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(1)求 OA2 及 OA3 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; (2)若四边形 An Bn Bn?1 An?1 的面积是 an ,求 an (n ? N ? ) 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的自然数 M ,对一切 n ? N ? 都有 an ? M 成立?若存在,求 M ;若不存在,说明理由. 解
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

OA2 ? OA1 ? A1 A2 ? j ? ( i ? j ) ? i ? 2 j ? (1,2)
? ? ? ? ? ?



OA3 ? OA2 ? A2 A3 ? i ? 2 j ? ( i ? j ) ? 2 i ? 3 j ? (2,3)

所 以 An (n ? 1, n) ,它满足直线方程 y ? x ? 1 ,因此点 An 在直线 y ? x ? 1 上。 (2)

。 设直线 y ? x ? 1 交 x 轴于 P(?1,0) ,




2 2 a n ? a n ?1 ? [5 ? (n ? 2) ? ( ) n ?1 ] ? [5 ? (n ? 1)( ) n ] 3 3 2 n ?1 2 n ? 4 2 n ?1 ? ( ) [( n ? 2) ? (n ? 1) ? ( )] ? ?( ) 3 3 3 3

等 即在数列 中, a 4 ? a5 ? 5 ?
16 是数列的最大项, 27

所以存在最小的自然数

,对一切

都有

<M 成立.

[思考] 这道题目其实难度不大,但是许多考生容易做懵,为什么呢,没耐心呗。 当时我在监考的时候,我发现考场很多考生这道题目空在那儿,倒把下面一道 比较难的解析几何题目解出来了,后来我问这个学生原因,学生说太烦了,而 且弄不好就错,与其花那么多力气做错一题,不如先做下面一题。我可以明确 的告诉每位考生,高考繁琐的计算,易错的陷阱题肯定有的,平时训练就要耐 心做下去。

数列中对奇偶数的讨论往往是压轴题目的难点所在,稍微有些错误就会前功尽 弃,下面看看 2009.4 崇明县的模拟试题:
已知数列 ?a n ?中的相邻两项 a 2k ?1 , a 2 k ( k ? 1,2,3? )是关于 x 的方程

x 2 ? (4k ? 2 ? 2 k ) x ? (2k ? 1) ? 2 k ?1 ? 0 的两个根,且 a 2k ?1 ≤ a 2 k ( k ? 1,2,3, ? ).

(1)求 a1 , a 2 , a3 , a 4 的值; (2)求数列 ?a n ?的通项 a n ; (3)求数列 ?a n ?的前 n 项的和 S n . 解:(1)由 (x ? (4k ? 2))(x ? 2 ) ? 0 可知方程两根为 4k ? 2, 2
k
k

k ? 1 , a1 ? 2 , a2 ? 6 k ? 2 , a3 ? 4 , a 4 ? 10
? ? n2 1 ? 2 , n 为奇数 an ? ? (2)(理)当 k ? 4 ,即 n ? 8 时, ?2n ? 2, n 为偶数 ?

?2n ? 4, n 为奇数 ? a ?? n 当 k ? 5 ,即 n ? 9 时, n ? 2 2 , n 为偶数 ?
? ? n2 1 ? 2 , n 为奇数 an ? ? (3)(理)当 k ? 4 ,即 n ? 8 时, , ?2n ? 2, n 为偶数 ?

ⅰ)当 n

? 2k , k ? N ? 为偶数时,

sn ?

2(1 ? 2k ) k (6 ? 4k ? 2) ? ? 2k ?1 ? 2 ? 2k 2 ? 4k 1?2 2

?2
ⅱ)当 n

n ?1 2

n2 ?2? ? 2n 2

? 2k ? 1, k ? N ? 为奇数时,
n ?1 ?1 2

sn ? 2

?2?

?n ? 1? 2
2

? 2 ?n ? 1? + 2

n ?1 2

?2

n ?3 2

?

?n ? 1? 2
2

? 2n ? 4

?2n ? 4, n 为奇数 ? an ? ? n 当 k ? 5 ,即 n ? 9 时, ? 2 2 , n 为偶数 ?

ⅰ)当 n

? 2k , k ? N ? 为偶数时,

sn ?

2(1 ? 2k ) k (6 ? 4k ? 2) ? ? 2k ?1 ? 2 ? 2k 2 ? 4k 1?2 2
n ?1 2

?2
ⅱ)当 n

?2?

n2 ? 2n 2

? 2k ? 1, k ? N ? 为奇数时,
n ?1 ?1 2

sn ? 2
?2

?2?

?n ? 1? 2
2 ? 4n

? 2 ?n ? 1? + 2n

?4

n ?3 2

?

?n ? 1? 2
2

【思考】其它各省市对数列中奇偶数的讨论已经淡化了,但是 2008,2009 上海 卷中依旧有奇偶数讨论的影子,讨论作为一种思想方法,是不会但出高考舞台 的,这需要我们一定的耐心和信心。其实最具代表性奇偶讨论的题目是 2009 年 南京一模的第 20 题,
(2009 南京一模)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? p ? 0 ,且, n ? N (1) 若数列 ?an ? 为等差数列,求 p 的值。 (2) 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 解:(1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d , an?1 ? a1 ? nd , 依题得: [a1 ? (n ? 1)d ](a1 ? nd) ? n ? 3n ? 2 ,对 n ? N 恒成立。
2
?

即: d 2 n 2 ? (2a1d ? d 2 )n ? (a1 ? a1d ) ? n 2 ? 3n ? 2 ,对 n ? N 恒成立。
2

?

? d2 ?1 ? d ? 1 ? d ? ?1 ? 2 所以 ?2a1 d ? d ? 3 ,即: ? 或? ?a1 ? 2 ?a1 ? ?2 2 ?a ?a d ? 2 1 ? 1

? a1 ? p ? 0 ,故 p 的值为 2。
(2)? an?1 ? an ? n ? 3n ? 2 ? (n ? 2)(n ? 3)
2

? an?2 ? an?1 ? (n ? 2)(n ? 3)

所以,

an?2 n ? 3 ? an n ?1 a3 4 a5 6 a n ?1 。 ? , ? ,??, n ? a1 2 a3 4 an?2 n ? 1

① 当 n 为奇数,且 n ? 3 时,

相乘得

an n ? 1 n ?1 p. 当 n ? 1 也符合。 ? , 所以 a n ? 2 a1 2 a a a4 5 7 n ?1 ? , 6 ? ?? n ? a2 3 a4 5 an?2 n ? 1

② 当 n 为偶数,且 n ? 4 时,

相乘得

an n ? 1 n ?1 a2 ? , 所以 a n ? 3 a2 3
6 2(n ? 1) 。因此 a n ? ,当 n ? 2 时也符合。 p p

? a1 ? a2 ? 6 ,所以 a2 ?

? n ?1 p, n为奇数 ? ? 2 所以数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ? 。 2(n ? 1) , n为偶数 ? ? p ?
当 n 为偶数时,

n n n (1 ? ) (3 ? n ? 1) 6 10 n 2(n ? 1) 2 2 2 ? ? S n ? p ? ? 2 p ? ? ?? ? p ? ? p? 2 p p 2 p 2 p 2

?

n(n ? 2) n(n ? 4) p? 8 2p

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,

S n ? S n ?1 ? a n ?

(n ? 1)(n ? 1 ? 2) (n ? 1)(n ? 1 ? 4) n ? 1 p? ? p 8 2p 2

?

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1)(n ? 3) p? 8 2p

所以

(n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1)(n ? 3) p? , n为奇数 ? ? 8 2p Sn ? ? n(n ? 2) n(n ? 4) ? p? ,n 为偶数 ? 8 2p ?

【思考】本道题目当中引入了字母计算,这就使题目抽象多了,题目抽象没关系,只要你 有耐心一定能迎刃而解,我们再看看扬州中学 2009.2 的月考试题,这上面的奇偶讨论就比 较刁钻了: (2009 扬州中学 2 月月考)已知 a 为实数,数列 ?an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时,

?an?1 ? 3 an ? ? ?4 ? an ?1

(an?1 ? 3) (an ?1 ? 3)



(Ⅰ) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前100项的和S100 ;(5 分) (Ⅱ)证明:对于数列 ?an ? ,一定存在 k ? N ,使 0 ? ak ? 3 ;(5 分)
*

(Ⅲ)令 bn ?

n an 20 ? a ,当 2 ? a ? 3 时,求证: ? bi ? . (6 分) n n 2 ? (?1) 12 i ?1

解: (Ⅰ)当a ? 100 时, 由题意知数列 ?an ? 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数列, 从第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而

S100 =

(100 ? 97 ? 94 ? ? ? 4 ? 1) (3 ? 1 ? ? ? 3 ? 1) ……(3 分) ? 共34项 共66项 (100 ? 1) ? 34 66 = ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 . …………(5 分) 2 2

(Ⅱ)证明:①若 0 ? a1 ? 3 ,则题意成立…………………(6 分) ②若 a1 ? 3 ,此时数列 ?an ? 的前若干项满足 an ? an?1 ? 3 ,即 an ? a1 ? 3(n ?1) . 设 a1 ? ?3k ,3k ? 3?,(k ? 1, k ? N ) ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ? ? 0,3? .
*

从而此时命题成立…… (8 分) ③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立……………(10 分) (Ⅲ)当 2 ? a ? 3 时,因为 an ? ?

? a (n为奇数) , ?4 ? a(n为偶数)
(n为奇数)
……………(11 分)

a ? ? 2n ? (?1) n a ? 所以 bn ? n n n = ? 2 ? ( ?1) ? 4 ? a ? 2n ? (?1) n ?

(n为偶数)

因为 bn >0,所以只要证明当 n ? 3 时不等式成立即可. 而 b2 k ?1 ? b2 k ?

4 ? a a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 ? (4 ? 2a) ? 22 k ?1 ? 1 22 k ? 1 (22 k ?1 ? 1)(22 k ? 1) a ?

?

a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 4 ? ? 2 k ………(13 分) 24 k ?1 ? 22 k ?1 ? 1 24 k ?1 2

①当 n ? 2k (k ? N *且k ? 2) 时,

?b ? b ? b ? ?b ? 3 ?
i ?1 i 1 2 i ?3 i

2k

2k

a

4?a a?4 a?4 a?4 ? ( 2?2 ? 2?3 ? ??? ? 2?k ) 3 2 2 2

1 k ?1 1 1 (1 ? ( ) k ?1 ) 4 (a ? 4) ? (1 ? ( ) ) 4 a ? 4 20 ? a 4 4 4 4 ? . ……(15 分) ? ? ? ? ? ? (a ? 4) ? 2 12 1 3 12 3 12 3 1? 4
②当 n ? 2k ?1(k ? N 且k ? 2) 时,由于 bn >0,所以
*
2 k ?1 i ?1

? bi ? ? bi <
i ?1

2k

20 ? a . 12

综上所述,原不等式成立………(16 分) 【思考】虽然很刁钻,但是上海卷很喜欢出这种刁钻的题目,说难也只不过如此,就是考 生在考场里愿不愿意做,肯不肯做,能不能静下心来把思路理清楚。 有些地方的奇偶讨论还要来点分类讨论,你不能含糊,含糊了你自己做着做着就糊涂了, 下面我们看看 2009.4 奉贤区的一道试题: 已知点集 L ? {( x, y) | y ? m ? n} , 其中 m ? (2 x ? b,1) ,n ? (1, b ? 1) , 点列 Pn (an , bn ) 在 L 中, P 为 L 与 y 轴的交点,等差数列 {an } 的公差为 1, n ? N 。 1 (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 f ( n) = 令 Sn ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ;试用解析式写出 ,
?
? ?

Sn 关于 n 的函数。
(3)若 f ( n) = , 给定常数 m( m ? N , m ? 2 ),是否存在 k ? N ,使得
*
?

f (k ? m) ? 2 f (m) ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。
(1)y= · =(2x-b)+(b+1)=2x+1 -----(1 分) -----(1 分) -----(1 分) -----(1 分)

y ? 2 x ? 1 与 x 轴的交点 P (a1 , b1 ) 为 (0,1) ,所以 a1 ? 0 ; 1
所以 an ? a1 ? (n ?1) ?1 ,即 an ? n ?1 , 因为 P (an , bn ) 在 y ? 2 x ? 1 上,所以 bn ? 2an ? 1 ,即 bn ? 2n ? 1 n

(2)设 f (n) ? {

an (n ? 2k ? 1) * ( k ? N ), bn (n ? 2k )
( n ? 2k )
(k?N )
*

即 f ( n) ? {

n ? 1 (n ? 2k ? 1)

2n ? 1

----(1 分)

(A)当 n ? 2k 时, Sn ? S2k ? a1 ? b2 ? a3 ? b4 ? .... ? a2k ?1 ? a2k ? (a1 ? a3 ? ... ? a2k ?1 )

?(b2 ? b4 ? ... ? b2k )
=

----(1 分) ----(1 分) ----(1 分) ----(1 分) ----(1 分)

0 ? 2k ? 2 3 ? 4k ? 1 n 3 ?k ? ? k = 3k 2 ,而 k ? ,所以 Sn ? n 2 2 2 2 4

(B)当 n ? 2k ? 1 时, Sn ? S2k ?1 ? (a1 ? a3 ? ... ? a2k ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ... ? b2k ?2 )

0 ? 2k ? 2 3 ? 4k ? 5 ?k ? ? (k ? 1) = 3k 2 ? 4k ? 1 , 2 2 n ?1 3 2 n 1 而k ? ,所以 S n ? n ? ? 2 4 2 4
=

?3 2 n 1 ? 4 n ? 2 ? 4 , n ? 2k ? 1 ? * 因此 S n ? ? (k?N ) 3 2 ? n ,    ,n ? 2k ?4 ?

----(1 分)

(3)假设 k ? N ,使得 f (k ? m) ? 2 f (m) , (A) m 为奇数 ( 一 ) k 为 奇 数 , 则 k ? m 为 偶 数 。 则 f ( m) ? m? 1, f (m ? k ) ? 2(m ? k ) ? 1 。 则

?

2 (m ? k )? 1? 2 m ? 1) ( ,解得: k ?

1 * 与 k ? N 矛盾。 2

----(1 分)

( 二 ) k 为 偶 数 , 则 k ? m 为 奇 数 。 则 f (m) ? 2m ? 1 , f (m ? k ) ? (m ? k ) ? 1 。 则

(m ? k ) ? 1 ? 2 ( 2 ? 1) m ,解得: k ? 3m ? 1 ( 3m ? 1 是正偶数)。
(B) m 为偶数

----(1 分)

( 一 ) k 为 奇 数 , 则 k ? m 为 奇 数 。 则 f (m) ? m ? 1 , f (m ? k ) ? (m ? k ) ? 1 。 则

(m ? k ) ? 1 ? 2 ( ? 1) m ,解得: k ? m ? 1 ( m ? 1 是正奇数)。

----(1 分)

( 二 ) k 为 偶 数 , 则 k ? m 为 偶 数 。 则 f (m) ? 2m ? 1 , f (m ? k ) ? 2(m ? k ) ? 1 。 则

1 * 2(m ? k ) ? 1? 2( 2 ? 1) m ,解得: k ? m ? 与 k ? N 矛盾。 2

----(1 分)

由此得:对于给定常数 m( m ? N * , m ? 2 ),这样的 k 总存在;当 m 是奇数时, k ? 3m ? 1 ; 当 m 是偶数时, k ? m ? 1 。 ----(1 分) 【思考】听奉贤区教改主任说,这道题目整个区的得分率就很低,不得不调细评分细则, 尽量给分,很多学生做着做着就摸不清东西南北了,糊涂了,全糊在里面了,如果给考生 两个小时,静下心来好好做这一道题目,那么我可以保证很多人能多得 10 分。

【预测】这几年上海高考数学的数列压轴题都很难,有些题目的方法很妙,但是我们说在 现在基础上提高 5-8 分还是有可能的,数列压轴题目依旧会和前面的函数,向量,解析几 何等等综合,但是记住讨论这种思想方法,奇偶讨论,参数讨论,分类讨论等等很重要, 如果压轴题不涉及讨论,只是奇妙的方法搞你,那就不是高考题目,那是比奥赛还奥赛的 奥赛题目,希望大家在平时训练中关注这种方法,衷心祝愿 2010 届考生能在这个方面有所 突破。


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