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2.2.2事件的相互独立性13072304



2.2.2 事件的互相独立性

阅读教材54~55页

在一次有关“三国演义”的知识竞赛中,三个 “臭皮匠”能答对该题目的概率分别为 50%,45%,40%,“诸葛亮”能答对该题目的概率为 85%,如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮” 进行比赛,各选手独立答题,不得商量,团队中只 要有一人答出即为该组获胜.问:哪方获胜的可能 性大?

思考 3张奖券中只有 1张能中奖,现分别由 3名 同学有放回地抽取 ,事件A为 " 第一名同学没有 抽到奖券" ,事件B为" 最后一名同学抽到奖券 ". 事件A的发生会影响事件 B发生的概率吗?
显然 , 有放回地抽取奖券时 , 最后一名同学也是 从原来的3张奖券中任取1张,因此第一名同学抽 的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响, 即 事件 A 的发生不会影响事件B发生的概率.于是 P?B | A ? ? P?B ?, P?AB ? ? P?A ?P?B | A ? ? P?A ?P?B ?.

设 A,B为两个事件 , 如果P?AB ? ? P?A ?P?B ?, 则称事件A与事件B相 互 独 立 (mutually independen t ).

可以证明 , 如果事件A与 B相互独立 , 那么 A与B, A与 B, A与B也都相互独立 .

如果事件A与B相互独立,试证明A与B, A与B, A与B,

也都相互独立.
证明: ∵ A=(AB)∪(AB), 而事件AB和AB互斥, ∴ P(A)=P(AB)+P(AB) , P(AB)=P(A) -P(AB). 又事件A与B相互独立,

∴ P(AB)=P(A) -P(A)P(B) =P(A)( 1-P(B) ) =P(A)P(B)
由两事件相互独立的定义知事件A与B相互独立. 同理可证:A与B, A与B也都相互独立.

例 3 某商场推出开奖活动 , 凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券 .奖券上有一个兑奖号码 , 可以 分别参加两次抽奖方式 相同的兑奖活动 .如果两次 兑奖活动的中奖概率都 是 0.05, 求两次抽奖中以下 事件的概率: ?1?都抽到某一指定号码 ; ?2?恰有一次抽到某一指定 号码; ?3?至少有一次抽到某一指 定号码. 解 ?1?记" 第1次抽奖抽到某一指定号 码" 为事件 A, " 第2次抽奖抽到某一指定号 码" 为事件 B,则" 两次抽 奖都抽到某指定号码 " 就是事件 AB.由于两次抽奖结 果互不影响 ,因此 A与B相互独立 .于是由独立性可得 , 两次抽奖都抽到某一指 定号码的概率

P?AB? ? P?A ? P?B? ? 0.05 ? 0.05 ? 0.0025.

?2?" 两次抽奖恰有一次抽到

? 0.05 ? ?1? 0.05? ? ?1? 0.05? ? 0.05 ? 0.095. ?2?" 两次抽奖至少有一次抽 到某一指定号码 " 可以用 ?AB? ? AB ? AB 表示.由于事件 AB, AB和AB两两互 斥, 根据概率加法公式和独 立事件定义 , 所求的概率为 P?AB? ? P AB ? P AB ? 0.0025 ? 0.095 ? 0.0975. 思考 二次开奖至少中一次的 概率是一次开奖中 奖概率的两倍吗 ? 为什么?

P AB ? P AB ? P?A? P B ? P A P?B?

某一指定号码 " 可以用 AB ? AB 表示.由于事件 AB与AB互斥, 根据概率加法公式和 独立事件定义 , 所求的概率为

? ?

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练习 :P55 1 ~ 3
1.分别抛掷2枚质地均匀的硬币,设 “第1枚为正面” 为事件A, “第2枚为正面”为事件B, “2枚结果 相同”为事件C.问:A,B,C中哪两个相互独立? 解:利用古典概型计算概率的公式,可以求得 P(A)=0.5,P(B)=0.5, P(C)=0.5, P(AB)=0.25,P(BC)=0.25,P(AC)=0.25. 可以验证 P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C). 所以根据事件相互独立的定义,有事件A与B相互独 立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.

【说明】本题中事件A与B相互独立比较显然,因为 抛掷的两枚硬币之间是互不影响的.但事件B与C相 互独立,事件A与C相互独立不显然,需要利用定义 验证.从该习题可以看出,事件之间是否独立有时根 据实际含义就可做出判断,但有时仅根据实际含义 是不能判断的,需要用独立性的定义判断.

2.一个口袋内装有2个白球和2个黑球,那么: (1)先摸出1个白球不放回,再摸出1个白球的概率是多少? (2)先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率是多少? (1)先摸出1个白球不放回的条件下,口袋中剩下3个 解: 球,其中仅1个白球, 所以在先摸出1个白球不放回的条 1 件下,再摸出1个白球的概率是 . 3 (2)先摸出1个白球后放回的条件下,口袋中仍然有4个 球,其中有2个白球, 所以在先摸出1个白球后放回的条 件下,再摸出1个白球的概率是 1 . 2 【说明】此题的目的是希望同学们体会有放回摸球与无 放回摸球的区别,在有放回摸球中第2次摸到白球的概 率不受第1次摸球结果的影响,而在无放回摸球中第2次 摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.

【总结】 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是: ①首先确定各事件之间是相互独立的; ②确定这些事件可以同时发生; ③求出每个事件的概率,再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要 掌握公式的适用条件—各个事件是相互独立的,而且 它们同时发生.

3.天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的 降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之 间没有影响,计算在这段时间内: (1)甲、乙两地都降雨的概率;(2)甲、乙两地都不 降雨的概率;(3)其中至少一个地方降雨的概率. 解:设元旦期间甲地降雨的事件为A,乙地降雨的事件为B. (1)甲、乙两地都降雨的事件为AB,所以甲、乙两地都降 雨的概率为 P(AB)=P(A)P(B) = 0.2×0.3 = 0.06. 所以甲、乙两地都 (2)甲、乙两地都不降雨的事件为A,B, 不降雨的概率为 P(AB)=P(A)P(B) = 0.8×0.7 = 0.56. (3)其中至少一个地方降雨的事件为 (AB)∪(AB)∪(AB),

由于事件AB,AB和AB两两互斥,所以其中至少一个地方 降雨的概率为 P(AB)+P(AB)+P(AB)
= 0.06+0.2×0.7+0.8×0.3 = 0.44.



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