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1.3函数的性质



1.3 函数的性质

一、选择题 1.函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的 是( ) A.f(1)<f( )<f( ) C.f( )<f( )<f(1) B.f( )<f(1)<f( ) D.f( )<f(1)<f( ) )

2.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x

? f ? y ? ”的单调递增函数是( A. f ? x ? ? x 2
1

B. f ? x ? ? x

3

C. f ? x ? ? ?

?1? ? ?2?

x

D.

f ? x ? ? 3x
3.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 的导函数为 f ' ( x) ,且 f ' (0) >0, f ( x ) 的图象与 x 轴恰有一个交点,则

f (1) 的最小值为 ( f ' (0)
C.2
2

)

A.3

B.

3 2

D.

5 2

4 .已知函数 f ( x) 与函数 g ? x ? ? ? x ? 1? 的图象关于 y 轴对称,若存在 a ? R ,使

x ? ?1, m?
A. 3

? m ? 1? 时, f ( x ? a) ? 4 x 成立,则 m 的最大值为(
B. 6 C. 9 D. 12



5. 设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 则 f ?? A.-

? 5? ? =( ? 2?

)

1 2

B.-

1 4

C.

1 4

D.

1 2


?( x ? a ) 2 , x ? 0, ? 6. f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为( 1 ? x ? ? a, x ? 0, x ?

A.[0,2] B.[-1,2] C.[1,2] D.[-1,0] 2 7.已知函数 f(x)是奇函数,且在(-∞,+∞)上为增函数,若 x,y 满足等式 f(2x - 4x)+f(y)=0,则 4x+y 的最大值是( ) A.10 B.-6 C.8 D.9 8.已知幂函数 f ( x ) 的图象经过点 ? ,

?1 ?8 ?

2? ? , P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )是函 4 ? ?

数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
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① x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ; ② x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ; ③ 其中正确结论的序号是( A.①② B.①③ ) C.②④

f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ; ④ . ? ? x1 x2 x1 x2

D.②③ )

9.已知函数 f(x)满足 2f(x)-f( A.[2,+∞)

1 3 )= 2 ,则 f(x)的值域为( x x

B.[2 2 ,+∞)

C.[3,+∞) D.[4,+∞) 2 10.已知周期函数 f(x)的定义域为 R,周期为 2,且当-1<x≤1 时,f(x)=1-x .若直 线 y=-x+a 与曲线 y=f(x)恰有 2 个交点,则实数 a 的所有可能取值构成的集合为 ( )

3 5 或 2k+ ,k∈Z} 4 4 1 3 B.{a|a=2k- 或 2k+ ,k∈Z} 4 4 5 C.{a|a=2k+1 或 2k+ ,k∈Z} 4
A.{a|a=2k+ D.{a|a=2k+1,k∈Z}

二、填空题 11.已知函数 f(x)= ,对任意的 x∈[0,1]恒有 f(x+a)≤f(x)

成立,则实数 a 的取值范围是 . 12. 若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、 b∈R)是偶函数, 且它的值域为(-∞, 4], 则该函数的解析式 f(x)=________. 13.函数 y ?
2x ? 4 x ? [0,3]且x ? 1 的值域为 x ?1
5 3

.

14.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? bx ? 5 ,若 f ? ?100? ? 8 ,那么 f ?100? ? ______ 15. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0时, f ( x) ? x , 若对任意的 x ? [t , t ? 2] ,
2

不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 16. 已知 f ( x) ?

. .

3 2 x ? 3x ? 4, 若 f ( x) 的定义域和值域都是 ? a, b? , 则a ?b ? 4

17 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [? 2, 2 ] 上 的 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x1 , x2 ( x1 ? x2), 恒 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且 f ( x) 的最大值为 1,则不等式 f (log2 x) ? 1 的解为 x1 ? x2
三、解答题 18.已知二次函数 f ( x ) 满足条件 f (0) ? 1 ,及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x .
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(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上的最值. 19.已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、y 恒有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x >0 时,f(x)<0,又 f(1)=-

2 . 3

(1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值. 20.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,对于任意的 x ? 0, y ? 0 ,都有

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,且满足 f (2) ? 1 .
(1)求 f (1)、f (4) 的值; (2)求满足 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=a-

1 . x

(1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:由于函数 f(x+2)是偶函数,所以 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(1) =f ( 3) ,又函数 f( x)在 [0, 2]上增,所以在[2, 4]上减,而 2 ?

5 7 ? 3 ? ? 4 ,所以 2 2

5 7 f ( ) ? f (3) ? f ( ) ,答案选 B. 2 2
考点:函数的奇偶性与单调性的应用 2.D 【解析】 试题分析:对于本题排除法和逐一验证法。首先由函数单调递增可排除 C,再逐一验证其余
1 2 2 三个选项。 A 中 f ( x ? y) ? x ? y ? 2 xy ? ( xy) 2 ? 2 2

f ( x) f ( y) ,即对于任意

的 x, y ? (0,??) 等 式 不 恒 成 立 , 故 A 不 正 确 。 B 中 f ( x ? y) ? ( x ? y)3 ,

f ( x) f ( y) ? x3 y 3 ? ( xy)3 。 考 虑 特 殊 关 系 : 当 x, y ? 0 时 , x ? y ? 2 xy , 即

f ( x ? y) ? 8 f ( x) f ( y) 对于任意的 x, y ? (0,??) 等式不恒成立,故 B 错误。D 中
f ( x ? y) ? 3x? y ? 3x3y ? f ( x) f ( y) 成立,故选 D.
考点:函数性质 3.C 【解析】 试题分析:由 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 得 f ' ( x) =2ax+b, f ' (0) >0,得 b>0, f ( x ) 的图象与 x 轴

b2 ? b ?1 f (1) a ? b ? 1 4 b 1 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2. 恰有一个交点,得 b ? 4a ,所以 ' b b 4 b f (0)
考点:构造均值不等式. 4.C 【解析】 试题分析:由于函数 f ( x) 与函数 g ? x ? ? ? x ? 1? 的图象关于 y 轴对称, 因此 f ?x? ? ?x ? 1? ,
2

2

由 f ( x ? a) ? 4 x 得 ?x ? a ? 1? ? 4 x , 把 x ? 1 代 入 得 ? 4 ? a ? 0 , 当 a ? ?4 时 ,
2

?x ? 3?2 ? 4x ,
解之得 1 ? x ? 9 ,因此 m 的最大值为 9 . 考点:函数图象的对称性. 5.A
答案第 1 页,总 8 页

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【解析】 试题分析: f ? ?

5 1 1 1 1 1 ? 5? ? = ? f ( 2 ) = ? f (2 ? 2 ) = ? f ( 2 ) = ?2 ? 2 (1 ? 2 ) =- 2 ,故选 A. ? 2?

考点:函数的奇偶性,周期性,函数求值 6.A 【解析】 试题分析: 由 f (0) 是 f ( x) 的最小值知, 当 x ? 0 时,f ( x) 的最小值为 f (0) = a 2 , 结合 f ( x) 的解析式知,a≥0,当 x ? 0 时, f ( x) = x ?

1 1 ? a ≥ 2 x ? ? a = 2 ? a ,知 f ( x) 的最小 x x

值为 2 ? a ,则 2 ? a ≥ a 2 ,解得-1≤ a ≤2,所以 0≤ a ≤2,故选 A. 考点:函数的最值,基本不等式,逻辑推理能力 7.C 【解析】∵奇函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 2 ∴f(2x -4x)=-f(y)=f(-y), 2 ∴2x -4x=-y, 2 2 ∴4x+y=4x-2x +4x=-2(x-2) +8≤8,故选 C. 8.D 【解析】 试题分析:因为 f ( x ) 为幂函数,故可设 f ( x) ? x? ,又它的图象经过点 ? ,
?

?1 ?8 ?

2? ? ,可由 4 ? ?

3 1 2 ?1? ? ? ? 得出 ? ? ,所以 f ( x) ? x .设 g ( x) ? xf ( x) ? x x ? x 2 它在 [0, ??) 上为 2 4 ?8?

递 增 函 数 , 若 0 ? x1 ? x2 , 则 有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 故 ① ② 中 只 能 选 择 ② . 设

h( x ) ?

f ( x) x 1 它在 (0, ??) 上为递减函数,若 0 ? x1 ? x2 ,则有 h( x1 ) ? h( x2 ) , ? ? x x x

故③④中只能选择③.因此最终正确答案为 D. 考点:指数运算和幂函数及其性质. 9.B 【解析】由 2f(x)-f( 令①式中的 x 变为 2f(

1 3 )= 2 ① x x

1 可得 x

1 2 )-f(x)=3x ② x 2 2 2 +x ,由于 x >0, x2
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由①②可解得 f(x)=

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因此由基本不等式可得 f(x)=

2 2 2 2 +x ≥2 ? x =2 2 , 2 x x2
2

当且仅当 x = 2 时取等号,因此其最小值为 2 2 ,值域为[2 2 ,+∞).选 B. 10.C 【解析】画出函数 f(x)的草图,当 a=1 时,如图所示,直线 y=-x+1 与曲线 y=f(x)恰 有 2 个交点,故排除 A、B;当 a=

5 5 时,直线 y=-x+ 与曲线 y=f(x)恰有 2 个交点, 4 4

如图所示,根据函数的周期性,选 C.

11. {?1,0} ? [1,??) 【解析】 试题分析:数形结合法,由图象可知当 a ? 1 , a ? ?1 , a ? 0 时,对任意的 x ? [0,1] ,恒 有 f (x+a)≤f( x)成立;当 0 ? a ? 1 , ? 1 ? a ? 0 , a ? ?1 时容易举出反例,答案为

{?1,0} ? [1,??) 。
考点:1.二次函数的图象与性质;2.分段函数的性质;3.恒成立问题
2 12.f(x)= ?2 x ? 4

【解析】
2 2 2a ? ab ? 0 , 试题分析: 因为 f(x)= bx ? (2a ? ab) x ? 2a , 由 f(x)是偶函数知, 解得 a ? 0
2 或 b ? ?2 ,若 a ? 0 ,则 f(x)= bx ,其值域不为(-∞,4],故不适合;若 b ? ?2 ,则 f(x)=

?2 x2 ? 2a2 ,由 f(x)的值域为(-∞,4]知, 2a 2 ? 4 ,所以 f(x)= ?2 x 2 ? 4 .
考点:函数的奇偶性,二次函数值域 13.