9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学:第三章:数列-递推法解题(竞赛精讲)



§3.3 递推法解题
基础知识
对于某些与自然数有关的问题,我们有时可以用递推法解决,扎谓用递推法解题,就是 根据题目的特点,构造出递推关系解题的一种方法,解决问题的关键在于构造递推关系。递 推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。 利用递推法解题的一般步骤为:(1)确定初始值;(2)建立递推关系;(3)利用递推关系求 通项。 递推方法是人们从开始认识数量关系时

就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中最 小的数是 1,比 1 大 1 的数是 2,接下来比 2 大 1 的数是 3,?由此得到了自然数数列:1,2, 3,4,5,?.在这里实际上就有了一个递推公式,假设第 n 个数为 an,则 an+1=an+1; 即由 自然数中第 n 个数加上 1,就是第 n+1 个数。由此可得 an+2=an+1+1,这样就可以 得到自然数数列中任何一个数. 再看一个例子: 平面上 5 条直线最多能把圆的内部分成几部分?平面上 100 条直线最多能把圆的内部分 成几部分? 解:假设用 ak 表示 k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里 k=0,1,2,?. a0=1 a1=a0+1=2 a2=a1+2=4 a3=a2+3=7 a4=a3+4=11

?
归纳出递推公式 an+1=an+n. (1) 即画第 n+1 条直线时,最多增加 n 部分.原因是这样的:第一条直线最多把圆分 成两部分,故 a1=2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多,就应和第 一条直线在圆内相交,交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段,而每条线段又把 原来的一个区域划分成两个区域,因而增加的区域数是 2,正好等于第二条直线的序 号.同理,当画第三条直线时,要想把圆内部分割的部分数尽可能多,它就应和前两条 直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又 把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是 3,正好等于第三条直线的 序号,?.这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式(1)是正确的.这样就 易求得 5 条直线最多把圆内分成: a5=a4+5=11=5=16(部分) 。 要想求出 100 条直线最多能把圆内分成多少区域,就去求通项公式。 一般来说,如果一个与自然数有关的数列中的任一项 an 可以由它前面的 k(≤n-1)项经过 运算或其他方法表示出来,我们就称相邻项之间有递归关系,并称这个数列为递归数列.如果
用心 爱心 专心

这种推算方法能用公式表示出来,就称这种公式为递推公式或递推关系式.通过寻求递归关系 来解决问题的方法就称为递推方法. 许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系,可以用递推公式来表达它的数量关 系.如何寻求这个递推公式是解决这类问题的关键之一,常用的方法是“退”到问题最简单情 况开始观察.逐步归纳并猜想一般的速推公式.在小学生阶段,我们仅要求学生能拨开问题的 一些表面现象由简到繁地归纳出问题的递推公式就行了,不要求严格证明 .当然能证明更好. 所谓证明,就是要严格推出你建立的关系式适合所有的 n,有时,仅仅在前面几项成立的关系 式,不一定当 n 较大时也成立。 1、 “河内塔问题” 传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板,板上插着三根宝石针,在 第一根宝石针上,从下到上穿着由大到小的 64 片中心有孔的金片.每天都有一个值班僧侣按 下面规则移动金片:把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上 .要求一次只能移动一 片,而且小片永远要放在大片的上面.当时传说当 64 片金片都按上面的规则从第一根宝石针 移到另一根宝石针上时,世界将在一声霹雳中毁灭.所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问 题(也称为“Hanoi 塔”问题) ,当然,移金片和世界毁灭并无联系,这只是一个传说而已, 但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情 .解这个问题的方法在算法分析中也常 用到.究竟按上述规则移动完成 64 片金片需要移动多少次呢? 将此问题一般化为: 设有 n 个银圈,大小不同,从大到小排列在三根金棒中的一根。这些银圈要搬到另一根 金棒上,每次搬一个。第三根金棒作为银圈暂时摆放用。在搬动过程中,仍要保持大圈在下, 小圈在上,问要搬动多少次,才能将所有银圈从一根棒搬到另一根,且搬完后银圈相对位置 不变? 思路:寻找 a n 与前面各项之间的关系,由题设条件列出等式。 解:令用 a n 表所求的搬动次数,把第一棒 n 个银圈的 n ? 1 个搬到第三棒,再将最大一个 银圈搬到第二棒,然后又将第三棒上的 n ? 1 个圈搬到第二棒上,如此继续,可完成这次搬动 任务。 因为搬 n ? 1 个银圈从一棒到另一棒需 an ?1 次,故可得递推式 an ? 2an ?1 ? 1, a1 ? 1 。 下面对递推式 an ? 2an ?1 ? 1, a1 ? 1 的求解。 最后,可得 a n ? 2 ? 1 。
n

典例分析
例 1.用 100 元人民币购买物品,规定每天只能用以下三种方式之一购买物品: (1)买甲物品 1 元;(2)买乙物品 2 元;(3)买丙物品 2 元 而且规定不允许不买物品。试问有多少种方式花完这 100 元钱?

用心

爱心

专心

例 2.有一种用硬币下棋的游戏,棋盘上标有第 0 站,第 1 站,第 2 站,??,第 100 站。一 枚棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次硬币,棋子跳动一次:若掷出的是正面,棋子向前跳两 站,若掷出的是反面,则棋子向前跳一站,直到棋子恰好跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失败大本营)时,游戏结束。如果硬币出现正反面的概率都是 本营与失败大本营的概率。

1 ,分别求棋子跳到胜利大 2

例 3.现有四个人做传球游戏,要求接球后马上传给别人。由甲先传球,并作为第 1 次传球, 求经过 10 次传球仍回到发球人甲手中的传球方式的种数。

例 4.(Bernoulli-Euler 装错信问题)某人写了 n 封信,并在每个信封上写下了对应的地址和 收信人的姓名。问:将所有的信都错信封的情况共有多少种?

例 5.现将 n 边形的边依次记为 a1 , a2 ,?, an ,每条边都涂上红、黄、绿三种颜色中的一种, 要使相邻两边的颜色互不相同,有多少种不同的涂色方法?

用心

爱心

专心

例 6.(第五届西部竞赛题)已知 ? 这个多项式的系数之和。

2005

? ? 2005 可以表示成 ? ? ? ,?? 为变元的二次多项式,求

例 7.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ,数列 {a n } 是公差为 d 等差数列,数列 {bn } 为公比为 q(q ? 1)
2

的等比数列,且 a1 ? f (d ? 1) , a3 ? f (d ? 1) ; b1 ? f (q ? 1) , b3 ? f (q ? 1) 。设数列 {c n } 对于任意的正整数 n 都有

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? an?1 成立,求 c1 ? c3 ? c5 ? ? ? c2 n?1 的值。 b1 b2 b3 bn

例 8.已知一列非零向量 a n 满足: a1 ? ( x1 , y1 ) , an ? ( xn , yn ) ? (1)证明:{| a n |}是等比数列; (2)求向量 an?1 与向量 a n 的夹角;

?

?

?

1 ( xn?1 ? yn?1 , xn?1 ? yn?1 ) ( n ? 2 ) 2

?

?

?

(3)设向量 a1 ? (1,2) ,把 a1 , a2 ,??, a n 中所有与 a1 共线的向量取出按原来的顺序排成 一列,组成一组新数列,记为: b1 , b2 ,??, bn ,求数列{ bn }的通项公式;若令

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? OB n = b1 + b2 +?+ bn , O 为坐标原点,求点列 {Bn } 的坐标。

用心

爱心

专心



更多相关文章:
高中数学:递推数列的解法例题及能力训练答案
高​中​数​学​:​递​推​数​列​的​解​法​例...a n ? f ( n ) (其中 f ( n ) 不是常数值函数)型数列的通项答案 ...
高中理科数学解题方法篇(递推数列)
递推数列求通 项一直是各类数学竞赛的热点之一,而近几年来高考多有此类考题,...求通项公式的方法一样,都是叠加法,下面就以 高考题为例来说明其解题方法和...
高中数学解题方法谈递推数列求通项
高中数学解题方法谈递推数列求通项_数学_高中教育_教育专区。由递推数列求通项...an?1 · f (n)(n ≥ 2) 的递推数列求通项适用此法. 三、待定系数法 ...
(高考数学复习讲练17)常见递推数列通项的求解方法(学生)
常见递推数列通项的求解方法 递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、 待定系数法,或是转化为等差或等比数列的...
高考数学(理)三轮复习专家讲坛 由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题
递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题_数学_高中教育_教育...6 3 1?n+1 1 2 n+1 n+1 [解] 法一:在 an+1= an+? an+1= (...
(高考数学复习讲练16)常见递推数列通项的求解方法(教师)
常见递推数列通项的求解方法 递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、 待定系数法,或是转化为等差或等比数列的...
高中数学竞赛 第31讲 数列的递推教案
高中数学竞赛 第31讲 数列递推教案_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 31 讲...p(n)a n ? q ( p ? 0) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列...
【创新方案】2014届高三数学一轮复习 专家讲坛 由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题 理
【创新方案】2014届高三数学一轮复习 专家讲坛 由递推公式求通项的7种方法及破解...其中反证法在解题中起着重要的作用. 3 3an * [例 3] 已知数列{an}的首...
题目efa6f238376baf1ffc4fad6f
答题 数学 数列的概念及简单表示法 定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”。已知数列{an}中,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图