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100测评网高二数学练习卷岳阳市一中 立体几何单元测试题



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岳阳市一中 2007 年上期立体几何测试卷
时量:90 分钟 班级 学号 一、选择题(4’×10=40’)
线的位置关系 A.必定相交

满分:100 分 姓名

1.一条直线与一个平面所成的角等于 ? ,另一直线与这个平面所成的角是 ? . 则这两条直
3
6

( B.平行 C.必定异面 D.不可能平行



2.下列说法正确的是 。 A.直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B.直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C.直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D.直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M 3. 设 P 是平面α 外一点, 且 P 到平面α 内的四边形的四条边的距离都相等, 则四边形是 。 A.梯形 B.圆外切四边形 C.圆内接四边形 D.任意四边形 4.平面α 与正四棱柱的四条侧棱 AA1、BB1、CC1、DD1 分别交于 E、F、G、H.若 AE=3, BF=4,CG=5,则 DH 等于 。 A.6 B.5 C.4 D.3 5.二面角α —EF—β 是直二面角,C∈EF,AC ? α ,BC ? β ,∠ACF=30°,∠ACB=60°, 则 cos∠BCF 等于 。 A. 2 3
3

B.

6 3

C. 2
2

D. 3
3

6.把∠A=60°,边长为 a 的菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成 60°的二面角,则 AC 与 BD 的距 离为( ) A. 3 a
4
? ?

B.

3a 4
? ?

C.

3a 2
? ?

D.

6 4

a

7.| a |=| b |=4, 〈 a , b 〉=60°,则| a - b |= 。 A. 4 B. 8 C. 37 D. 13 8. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M、 N 分别是 BB1 、AC 的中点, 设 AB ? a ,AC ? b ,AA 1 ?c, 则 NM 等于
2

。 (B) 1 (a ? b ? c)
2

(A) 1 (a ? b ? c)

(C) 1 ( a ? c )
2

(D) a ?

1 (c ? b ) 2

9.如图,棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看,都有两个直通的 边长为 1 的正方形孔,则这个有孔正方体的表面积(含孔内各 面)是 。 A.258 B.234 C.222 D.210

10.在半径为 R 的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回, 则经过的最短路程是: A. 2? R B. 7 ? R
3

C. 8 ? R
3

D. 7? R
6

将选择题答案填入下表(3’×12=36’) 题号 答案 二、填空题(4’×5=20’)
11.边长为 2 的正方形 ABCD 在平面α 内的射影是 EFCD,如果 AB 与平面α 的距离为 2 , 则 AC 与平面α 所成角的大小是 平面截球的截面面积为 。 。 12.球的半径为 8,经过球面上一点作一个平面,使它与经过这点的半径成 45°角,则这个 13.已知 AB 是异面直线 a、b 的公垂线段,AB=2,且 a 与 b 成 30°角,在直线 a 上取 AP=4, 则点 P 到直线 b 的距离为 。 14. 一个凸多面体的棱数为 30, 面数为 12, 则它的各面多边形内角总和为 。 15.已知 a、b 是直线, ? 、 ? 、 ? 是平面,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,a ? ? ,则 a∥ ? ③若 ? ⊥ ? 、 ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ②若 a、b 与 ? 所成角相等,则 a∥b ④若 a⊥ ? , a⊥ ? ,则 ? ∥ ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

其中正确的命题的序号是________________。

三、解答题(40 分)
16. (8 分) 在△ ABC 所在平面外有点 S, 斜线 SA⊥ AC, SB⊥ BC, 且斜线 SA、 SB 与平面 ABC 所成角相等.(I)求证:AC=BC; (II)又设点 S 到平面 ABC 的距离为 4cm,AC⊥ BC 且 AB=6cm,求 S 与 AB 的距离. S

A O B

C

17. (10 分)平面 EFGH 分别平行空间四边形 ABCD 中的 CD 与 AB 且交 BD、AD、AC、BC

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 于 E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥ AB. (I)求证 EFGH 为矩形; (II)点 E 在什么位置,SEFGH 最大?

CA ? CB ? 1 , ?BCA ? 90? , 18. (12 分) 如图: 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , 底面三角形 ABC 中,
棱 AA1 ? 2 ,M、N 分别为 A1B1、AB 的中点 ①求证:平面 A1NC∥平面 BMC1; ②求异面直线 A1C 与 C1N 所成角的大小; ③求直线 A1N 与平面 ACC1A1 所成角的大小。
A1 C1 M B1

N C A B

N

19. (10 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,其中 AB=3,PA=4,若在线段

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. PD 上存在点 E 使得 BE⊥CE,求线段 AD 的取值范围,并求当线段 PD 上有且只有一个 点 E 使得 BE⊥CE 时,二面角 E—BC—A 正切值的大小. P

A D B C

岳阳市一中 2007 年上期立体几何测试卷答案

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一、将选择题答案(3’×12=36’) 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 C 5 D 6 A 7 A 8 D 9 B 10 B

二、填空题答案(4’×5=20’)
11. 30 ? ; 12. 32? ;13. 2 2 14. 1620 ? ; 15. (1) (4)

三、解答题(10’×4=40’)
16. (1)证明:过 S 作 SO⊥ 面 ABC 于 O

17.解:

又∵ AB⊥ CD ? EF⊥ FG ? EFGH 为矩形. (2)AG=x,AC=m,

a GH x ? ,GH= x m a m b GF m ? x m ? x GF= (m-x) ? ? m b m m a b SEFGH=GH· GF= x· (m-x) m m ab ab ab m 2 m2 m2 m2 2 = 2 (mx-x2)= (- x + mx - + ) = [-( x - )+ ] 2 m m2 m2 4 4 4 m ab m 2 ab ? . 当 x= 时,SEFGH 最大= 2 ? 2 4 4 m
18、建系:A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0)

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1 1 1 1 A1 (1,0,2) , B1 (0,1,2) , C1 (0,0,2) , M ( , ,2) , N ( , ,0) 2 2 2 2 1 1 1 1 (1) CN ? ( , ,0) , C1 M ? ( , ,0) , CN ? C1M ,?CN // C1M 2 2 2 2 1 1 1 1 A1 N ? (? , ,?2) , MB ? (? , ,?2) , A1 N ? MB ,? A1 N // MB 2 2 2 2

? A1 N ? CN ? N , C1 M ? MB ? M ,? 平面 A1NC∥平面 BMC1
(2) A1C ? (?1,0,?2) , C1 N ? ( ,

1 1 ,?2) 2 2

cos? ?

1 ?4 7 10 2 ? 30 1 1 5? ? ?4 4 4 ?

异面直线 A1C 与 C1N 所成角的大小为 arccos

7 10 30
1 1 , ,?2) 2 2

(3)平面 ACC1A1 的法向量为 n ? (0,1,0) , A1 N ? (?

sin ? ?

| A1 N ? n | | A1 N | ? | n |

?

1 2 2 ? 6 1 1 ? ? 4 ?1 4 4

直线 A1N 与平面 ACC1A1 所成角的大小为 arcsin

2 6

19.若以 BC 为直径的球面与线段 PD 有交点 E,由于点 E 与 BC 确定的平面与球的截面是一

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 个大圆,则必有 BE⊥CE,因此问题转化为以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点。 设 BC 的中点为 O(即球心) ,再取 AD 的中点 M,易知 OM⊥平面 PAD,作 ME⊥PD 交 PD 于点 E,连结 OE,则 OE⊥PD,所以 OE 即为点 O 到直线 PD 的距离,又因为 OD> OC,OP>OA>OB,点 P,D 在球 O 外,所以要使以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点, 只要使 OE≤OC(设 OC=OB=R)即可。 由于△DEM∽△DAP,可求得 ME=

4R 16 ? 4 R 2

, 所以 OE2=9+

4R 2 令 OE2≤R2, 2 4?R

即 9+ +∞ ) ,

4R 2 ≤R2 , 解之得 R≥2 3 ; 所以 AD=2R≥4 3 , 所以 AD 的取值范围[ 4 3 , 2 4?R

当且仅当 AD= 4 3 时,点 E 在线段 PD 上惟一存在,此时易求得二面角 E—BC—A 的 平面角正切值为

1 。 2

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