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对数的概念(一)



3.在式子2 =32中,
有三个数2(底),5(指数)和32(幂) (1)由底数2,指数5得到幂32的运算是: 乘方运算。

5

记为: 2 =32
(2)由幂32,指数5得到数底数2的运算是: 开方运算。
5 记为: 32 ? 2

5

(3)由底数2,幂32得到

指数5的运算是: 对数运算!

因为 25=32,所以记为:log2 32 ? 5

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的x次幂等于N, 就是

a ?N
x

,那么数 x 叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? x

a叫做对数的底数,N叫做真数。

x a ? N 与 对数式 loga N ? x 的关系 思考:指数式

指数式与对数式的关系

log N X a = ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 底数 指数 幂 底数 真数 对数
( a ? 0, a ? 1)
指数式中的底数 指数式中的幂

X a =N

指数式中的指数

? ? ?

对数式中的底数

对数式中的真数
对数式中的对数

(2) 指数式与对数式的对比
两式中b、a、N的关系是同一的,只不过写法不一样, 位置和读法不一样,请完成下表:

名称

式子
指数式: a b =N

a
幂的底数

b
指数 对数

N
幂值 真数

对数式: log a N=b 对数的底数

例如:

4 2 ? 16
102
1 2

? ? 100 ? ? ?

log4 16 ? 2
log10 100 ? 2
1 log4 2 ? 2

4 ?2
10?2 ? 0.01

log10 0.01 ? ?2

讲解范例 例1 将下列指数式写成对数式: (1) 54 ? 625 ? log5 625 ? 4

1 1 (2 ) 2 ? ? log2 ? ?6 64 64 (3) 3a ? 27 ? log3 27 ? a m ?1? (4) ? ? ? 5.13 ? log1 5.13 ? m 3 ? 3?
?6

底数 指数 幂

N log X a = ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ 对数
底数真数

X a =N

练习 1.把下列指数式写成对数式 (1 ) (2 )

2 ?8?
3 5

log2 8 ? 3

2 ? 32 ? log2 32 ? 5 1 ?1 (3) 2 ? ? log2 1 ? ?1 2 2
(4)

27

?

1 3

1 ? ? 3

1 1 log27 ? ? 3 3

讲解范例 例2 将下列对数式写成指数式: (1) log1 27 ? ?3 ?

1 ? ?3 ? (2) log5 125
(3)log e 10 ? 2.303 ? (4)log10 0.01 ? ?2 ?

3

?1? ? ? ? 27 ? 3? 1 ?3 5 ? 125
e
2.303 ?2

?3

? 10

10 ? 0.01

练习 2 将下列对数式写成指数式: (1 )

log3 9 ? 2 ?

3 ?9
2

(2) log5 125 ? 3 ?

5 ? 125
3

1 (3) log2 ? ?2 ? 4 1 ? ?4 ? (4) log3 81

1 2 ? 4 1 ?4 3 ? 81
?2

对数

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指数

loga N ? x 探究 在对数式: 1.N的范围? 2.当N=1,N=a时X值是多少?

⑴负数与零没有对数(∵在指数式中幂 N > 0 ) ⑵ 恒等式一: log 1 ? 0,
a

0 a ?1? 对任意 a ? 0 且 a ? 1 都有

恒等式二: loga a ? 1

loga 1 ? 0

同理:a1 ? a ?loga a ? 1

⑶在对数式中有其它恒等式吗? 指数式 a ? N 写成 对数式 loga N ? x
x

如果将 a x ? N 中的X写成 loga N

则有恒等式三: a

loga N

?N

对数式 loga N ? x 写成 指数数式 a x ? N

如果将 loga N ? x 中的N写成

ax

则有恒等式四: loga a x ? x

设logaM = p, logaN =q 有对数的定义可以得:M = ap, N = aq 所以MN = ap.aq = ap+q → logaMN = P+q
即可证得

则有恒等式五loga(MN)=logaM+logaN

对数的基本性质:
(1) 零和负数没有对数 (2) 1的对数等于0,即 (3) 底的对数等于1,即 (4) 对数恒等式
loga 1 ? 0.

loga a ? 1.
b

a

log a N

? N , log a a ? b


说明: (1)在对数式

N ? 0, a ? 0
loga 1 ? 0.

log a N 中,要注意各量的取值范围

a ? 1.

(2)

loga a ? 1. 两个最特殊的对数值,

常用来化简对数式。 (3)对于 一些特殊的对数式,可以用对数恒等式 直接求解。

对数的性质:

⑴负数与零没有对数
loga 1 ? 0,

loga a ? 1

a loga N ? N
loga a x ? x
loga(MN)=logaM+logaN logaMq = qlogaM loga(
M N

) =logaM -logaN

⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log N 简记作lgN。
10

log10 5 简记作lg5;log 3.5 简记作lg3.5. 例如: 10

⑸自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 loge N 简记作lnN。 例如:loge 3 简记作ln3 ; loge 10 简记作ln10 (6)底数a的取值范围: (0,1) ? (1,??) 真数N的取值范围 : (0,??)

1.重要公式:

1) 负数和零没有对数。 2)

log a 1 ? 0 (a ? 0 , a ? 1)
log a a ? 1 (a ? 0 , a ? 1)
王新敞
奎屯 新疆

3)
4) 5 )

a

loga N

? N (a ? 0 , a ? 1, N ? 0)
N

log a a ? N (a ? 0, a ? 1)

换底公式及其推论

2.积、商、幂的对数运算法则:

如果 a > 0,且a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N ( 2) N n log a M ? nlog a M(n ? R) ( 3)

换底公式及其推论

二、新授内容:
1.对数换底公式:
logm N loga N ? (a ? 0且a ? 1 ,m ? 0且m ? 1 ,N ? 0) logm a
证明:设 loga N ? x 则a x ? N 两边取以m 为底的对数:

logm a ? logm N ? x logm a ? logm N
x

log m N ?x? log m a

log m N ? log a N ? log m a

换底公式及其推论

2.两个常用的推论:

(1)loga b ? logb a ? 1,loga b ? logb c ? logc a ? 1
n (2) log am b ? log a b(a ? 0且a ? 1,b ? 0) m
n

lg b lg a 证明: (1) log a b ? log b a ? ? ?1 lg a lg b

lg b n lg b n (2) log am b ? ? ? log a b m lg a m lg a m
n

n

1

2

练习 3.求下列各式的值 (1 ) (2 ) (3 ) (4)

log5 25 ? 2

log25 25 ? 1
lg10

?1

lg 0.01 ? ?2

(5)
(6)

lg 1000 ? 3

lg 0.001? ?3

练习 4.求下列各式的值 (1 ) (2 ) (3 ) (4)

log0.5 1 ? 0

log9 81 ? 2

log25 625 ? 2
log3 243 ? 5
lg 4 64 ? 3

(5)
(6)

log 2 2 ? 2

讲解范例 例3计算:(1) log9 27
x 9 ? 27, 解法一:设 x ? log9 27, 则
3 log 27 ? log 3 ? log9 9 ? 9 解法二: 9 3 2

3 ?3 ,
2x 3

3 2

3 ?x? 2

(2) log4 3 81 x x 解法一:设 x ? log 3 81 则 ?4 3 ? ? 81, 3 4 ? 34 ,
4

? x ? 16

16 4 log 81 ? log ( 3 ) ? 16 4 4 解法二: 3 3

对数恒等式

loga a ? b log a N a ? N,
b

例题:

练习

讲解范例

例4计算: (3)log ?2? 3 ? 2 ? 3 解法一: 设 x ? log ?2? 3 ? 2 ? 3

?

?

?

?
?1

则 ?2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? ?2 ? 3 ? , ? x ? ?1
x ?1

解法二: log?2? 3 ? 2 ? 3 ? log?2? 3 ? ?2 ? 3 ? ? ?1 (4 )

?

?

log3
4 x

解法一:设 则
3

? 5 ? ? 625,
54

x ? log3
5

5

4

625
4 x 3

5

4

625
? 54 , ? x ? 3
5

解法二: log3

625 ? log3 4 (3 54 ) 3 ? 3

小结 :

1.定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?

的x次幂等于N, 就是

a ?N
X

,那么数 X叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? X a叫做对数的底数,N叫做真数。

log N X a = ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 底数 指数 幂 底数 真数 对数

X a =N

对数的性质:

⑴负数与零没有对数
loga 1 ? 0,

loga a ? 1

a loga N ? N
loga a x ? x
loga(MN)=logaM+logaN logaMq = qlogaM loga( N ) =logaM -logaN
M

课后作业:
P75习题4.4 第2 题



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