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排列组合问题的解法



排列组合问题的解法
解决排列组合问题要讲究策略,用顺口溜概括为:审明题意,排(组)分清;合理分类,用准加 乘;周密思考,防漏防重;直接间接,思路可循;元素位置,特殊先行;一题多解,检验真伪。 (一).特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考虑其他元素的安排。在操作时,针对 实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。 例 1 : 0、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个? 1 1 2 解法一:(元素优先)分两类:第一类,含 0:0 在个位有 A4 种,0 在十位有 A2 A3 种;
2 2 1 1 1 2 第二类,不含 0:有 A1 2 A3 种。 故共有( A 4 + A2 A3 )+ A2 A3 =30种。

注:在考虑每一类时,又要优先考虑个位。 2 解法二:(位置优先)分两类:第一类,0 在个位有 A4 种;第二类,0 不在个位,先从两个偶数中选一个 1 1 1 放个位,再选一个放百位,最后考虑十位,有 种。A2 A3 A3 2 1 1 1 故共有 A4 ? A2 A3 A3 ? 30 练习:甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加 4*100m 接力赛,其中甲、乙不跑最后一棒, 共有多少种不同的安排方法? (此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法, 但位置优先则更简单) 1 3 A4 A5 ? 240 (二).排除法 对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不符合要求的除去 .
5 4 3 例2:5个人从左到右站成一排,甲不站排头,乙不站第二个位置,不同的站法有 A5 =78 ? 2 A4 ? A3

种. (三).相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻 排列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排 .. 列,同时对相邻元素内部进行自排。 例 3: 5 个男生 3 个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法? 解:先把 3 个女生捆绑为一个整体再与其他 5 个男生全排列。同时,3 个女生自身也应
3 全排列。由乘法原理共有 A6 6 A5 种。

(四)。不相邻问题“插空法” 对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他可相邻元素排好,再将不相邻的元素在已排好的元素之间 及两端的空隙之间插入即可(注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的) 例 4: 5 个男生 3 个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法? 3 解:先排无限制条件的男生,女生插在 5 个男生间的 4 个空隙,由乘法原理共有 A5 5A4 种。 注意:①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素,再插入不相邻的元素; ②数清可插的位置数;③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例 5: 马路上有编号为 1、2、3、…、9 的 9 盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能同时关掉相邻的两 盏或三盏,也不能关两端的路灯,则满足要求的关灯方法有几种? 解:由于问题中有 6 盏亮 3 盏暗,又两端不可暗,故可在 6 盏亮的 5 个间隙中插入 3 个暗的即可,有 C3 5 种。 (五) 。定序问题选位不排 对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列, 然后对其它元素进行排列。 例 6: 5 人参加百米跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种情况? 2 解:先在 5 个位置中选 2 个位置放定序元素(甲、乙)有 C5 种,再排列其它 3 人有 A3 ,由乘法原理得共 3 2 3 有 =60 种。 C5 A3
1

(六)“小团体”排列,先“团体”后整体 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先按制约条件“组团”并视为一个元素 再与其它元素排列。 例 7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌 手,则出场方案有几种? 2 解:先从四名男歌手中选 2 人排入两女歌手之间进行“组团”有 A2 种,把这个“女男男女”小团体 4 A2 3 2 3 视为 1 人再与其余 2 男进行排列有 种,由乘法原理,共有 种. A3 A2 4 A2 A3 (七)分排问题用“直排法” 把 n 个元素排成若干排的问题,若没其他的特殊要求,可用统一排成一排的方法来处理. 例8:7 个人坐两排座位,第一排坐 3 人,第二排坐 4 人,则有 种排法. 解:可以在前后两排随意就座,故两排可以看成一排来处理,所以不同的坐法有 A 7 . 7 (八)列举法 如果题中附加条件增多,直接解决困难,用列举法寻找规律有时也是行之有效的方法. 例 9: 从1到100的自然数中, 每次取出不同的两个数, 使他们的和大于100, 则不同的取法有 种。 解:此题的数字较多,情况也不一样,需要分析摸索其规律。为方便,两个加数中较小的为被加数,1+ 100=101>100,1为被加数的有1种;同理,2为被加数的有 2种;3为被加数的有3 种;??;49为被加数的有49种;50为被加数的有50种;但51为被加数的只有49种;52为 被加数的只有48种;??;99为被加数的只有1种,故不同的区法有: (1+2+??50)+(4 9+48+??+1)=2500种。 (九)元素可重复的排列求幂法。 解决“允许重复排列 ”的问题要注意区分两类元素:一类元素可重复,另一类元素不能重复。把不能 ...... 重复的元素看成“客” ,能重复的元素看成“店” ,再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法” 。 例 10:7名学生争夺五项冠军,获得冠军的可能种数是 种。 解:应同一学生可同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看成7家“店” ,五项冠军看成5 5 名“客” ,每个客有7种住宿方法,由分步计数原理得N=7 种。 (十)特征分析法 有约束条件的排数问题,必须紧扣题中所提供的数字和结构特征,进行推理,分析求 解。 例 11:由1、2、3、4、5、6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数? 解:分析数字的特征:6的倍数的数既是2的倍数,又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的 数字之和是3的倍数”的特征。而且1+2+??+6=21是3的倍数,从6个数字中取5个,使之和 还是3的倍数,则所去掉的数字只能是3或6。因而可以分两类讨论:第一类,所排的五位数不含3,即 由1、2、4、5、6作数码;首先从2、4、6三个中任选一个作个位数字有 种,然后其余4个数 4 1 字在其他数位上的全排列有 A3,所以 A4 11 44 N A N ?A A A 11? 33 44 ;第二类,所排的五位数不含 6,即由 1、2、3、4、5 作数码,依上法有 1 4 N2 ? A2A4 ,故 N=N1 ? N2 ? 120 种。 (十一)名额分配问题用隔板法 例 12: 10 张参观公园的门票分给 5 个班,每班至少 1 张,有几种选法? 解:这里只是票数而已,与顺序无关,故可把 10 张票看成 10 个相同的小球放入 5 个不同的盒内,每 盒至少 1 球,可先把 10 球排成一列,再在其中 9 个间隔中选 4 个位置插入 4 块“档板”分成 5 格(构 成 5 个盒子)有 种方法。 C94 注:档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。 (十二)个数不少于盒子编号数,先填满再分隔 例 13: 15 个相同的球放入编号为 1、2、3 的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法? 解:(解法一)先用 6 个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把 9 个球放入 3 个盒内即可,可用 2 2 块档板与 9 个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 种。 C11
2

(解法二)先在 2 号盒和 3 号盒分别放入一个球和两个球,则问题转化为 12 个相同的球放入 3 个盒 子内,每个盒子至少放入一个球,有多少种不同的放法? (十三)不同 元素进盒,先分堆再排列 .. 对于不同的元素放入几个不同的盒内,当有的盒内有不小于 2 个元素时,不可分批进入,必须先 分堆再排入。 例 14: 5 个老师分配到 3 个班搞活动,每班至少一个,有几种不同的分法? 3 解:先把 5 位老师分 3 堆,有两类:3、1、1 分布有 种和 1、2、2 分布有 种,再排列到 C5 3 个班里有
3 种,故共有 A3 ? C5 ?
3

? ?

1 2 2 C5 C4 C2 A22

? 3 ? ? A3 。 ?

注意:不同的老师不可分批进入同一个班,须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一 次进入”。 (十四)两类元素的排列,用组合选位法 例 15: 10 级楼梯,要求 7 步走完,每步可跨一级,也可跨两级,问有几种不同的跨法? 解:由题意知,有 4 步跨单级,3 步跨两级,所以只要在 7 步中任意选 3 步跨两级即可。故有 种跨 3 法。 C7 A 注意:两类元素的排列问题涉及面很广,应予重视。 例 16: 沿图中的网格线从顶点 A 到顶点 B,最短的路线有几条? 解:每一种最短走法,都要走三段“|”线和四段“—”线,这是两类元素不分顺 B 3 序的排列问题。故有 或 种走法。 C7 C74 例 17: 从 5 个班中选 10 人组成校篮球队(无任何要求),有几种选法? 解:这个问题与例 12 有区别,虽仍可看成 4 块“档板”将 10 个球分成 5 格(构成 5 个盒子),是球与档 板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球,故 4 块“档板”与 10 个球一样也要参与 4 排成一列而占位置,故有 种选法。 C14 注意:怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。 (十五)利用对应思想转化法。对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化 为简单问题处理。 例 18: 长方体上任意两顶点的连线段中,异面直线共有多少对? 分析:任意一对异面直线必然对应四个顶点,而这四个顶点不共面,构成四面体,每个四面体上有 3 对异 面直线,因此把求异面直线的问题转化成求可以构成多少个四面体的问题。
4 解: C8 ? 12 ? 3 ? 174

?

?

例 19:如图,∠AOB 的两边分别有异于 O 的 4 个点 A1、A2、A3、A4 和 5 个点 B1、B2、B3、B4、B5,连接 AiBj(i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,5)构成的线段中,有多少个交点在∠AOB 内? 分析:在∠AOB 内相交的两条线段对应一个四边形的两对角线,所以求交点个数问题转化为求四边形个数 A 2 2 问题。解: C4 =60 ? C5 A4 A3 (十六)取鞋问题先双后支 A2 A1 例 20:从五双鞋中任取四支,恰有一双的取法有多少种?
1 解:先从五双中取一双,有 C5 种,再从余下 4 双中选两

O

B 1 B2 B3 B4 B5

B

2 1 1 1 2 1 1 双,从每双的两只中选择 1 支,有 C4 。共有 C5 种。 ? C2 ? C2 ? C4 ? C2 ? C2

(十七)涂色问题抓住关键分类讨论 例 21:如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选择,要求在每块里种一种花, 且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为 种。
3

A

D

分析:A、C 种花是否相同将会影响 B、D 的可选择种数,因此按照 A、 C 种花是否相同进行分类。 解:若 A、C 种花同,则 B、D 各自可从余下三种花中选择一种,有
1 1 1 种;若 A、C 种花不同,则 B、D 只能从余下两种花中选择, C4 ? C3 ? C3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 有 A4 。共有 C4 + A4 =84 种。 ? C3 ? C3 ? C2 ? C2 ? C2 ? C2

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