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86、棱柱和棱锥



第 85 课时
【教学目标】

棱柱和棱锥

1.掌握棱柱的有关概念以及直棱柱的有关性质. 2.掌握棱锥的有关概念以及正棱锥的有关性质. 3.会解决棱柱、棱锥这两种多面体中的简单线面关系及角的计算问题 4.会解决棱柱与棱锥的表面积、体积的计算问题.

【教学重点】
直棱柱与正棱锥的性质,棱柱、棱锥中的

角的计算,表面积与体积的计算.

【教学难点】
多面体中相关的异面直线所成角,线面角及表面积、体积的计算.

【教学过程】 一.知识整理
1.棱柱中两个互相平行的面叫做底面,其它的面叫做侧面,棱柱的高是指两个底面的距离, 直棱柱是指侧棱垂直于底面的棱柱. 2.棱锥的所有侧棱有一个公共点,叫做棱锥的顶点,以该点为公共顶点的所有三角形面叫 做棱锥的侧面,不过该点的面叫做底面,棱锥的高是指顶点到底面的距离. 3.直棱柱的侧面积等于 ch (其中 c 为底面多边形的周长, h 是棱柱的高) . 4.正棱锥的侧面三角形在底面的边上的高叫做斜高,正棱锥的侧面积等于 底面周长, h? 为斜高) . 5.棱住的体积 V ? Sh ,棱锥的体积 V ?

1 ch ?(其中 c 为 2

1 Sh (其中 S 为底面积, h 为高) . 3

6.祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所 截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.

二.例题解析 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱与棱锥的性质,辨析题,易,逻 辑思维 【题目】
给出下列判断: ① 底面是矩形的四棱柱是长方体;② 底面是正方形的直棱柱是正四棱柱; ③ 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体;④ 底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ⑤ 底面是正三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 其中正确判断序号是______________(写出所有正确判断的序号) .

【解答】

答案: ② 解析:① 错,因为长方体必须是直棱柱;② 正确,正棱柱是底面为正多边形的直棱柱; ③ 错,所有棱长都相等,底面不一定是正方形;④ 错,缺少条件“顶点在底面上的射影是 底面正多边形的中心” .⑤ 错,侧面都是等腰三角形,但侧棱长不一定相等. 所以,答案为② .

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,解答题,中,运算 【题目】
底面是平行四边形的直棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中,AB ? 23 cm ,BC ? 11 cm , 侧棱 AA 1 D1 C1 的长为 100 cm ,底面两条对角线的比是 2 : 3 . A1 (1)求它的两个对角面的面积; B
1

(2)求对角线 BD 与底面所成角的大小(结果 1 用反三角函数值表示) . A D B C

【解答】
解: (1)如图,因为 ABCD? A1 B1C1 D1 是直四棱柱, 所以两个对角面都是矩形. 设 AC ? 3 x , BD ? 2 x ,由平行四边形对角线性质,得

AC 2 ? BD2 ? 2( AB2 ? BC 2 ) ,即 (2x) 2 ? (3x) 2 ? 2(232 ? 112 ) ,
解得 x ? 10 ,所以 AC ? 30 ( cm ) BD ? 20 ( cm ) , . 所以对角面 ACC1 A1 的面积等于 3000 cm , BDD1 B1 的面积等于 2000 cm . (2)因为 DD1 ? 平面 ABCD ,所以 ?D1DB 就是 BD 与底面 ABCD 所成的角, 1 因为 tan ?D1 DB ?
2 2

DD1 ? 5 ,所以 BD1 与底面所成角的大小为 arctan 5 . BD

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,解答题,中,运算 【题目】 在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 、 B 、 C1 三点的平面截去长方体 的一个角后得到如图所示的几何体 ABCD? A1C1 D1 , D1 C1 且这个几何体的体积为 10 . A1 (1)求棱 AA 的长; 1 (2)若 A1C1 的中点为 O1 ,求异面直线 BO1 与 A1 D1 所成
角的大小(结果用反三角函数值表示) . D A B C

【解答】
解: (1)设 AA1 ? h ,由题设 VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1 D1 O1 C1

1 ? 10 ,所以 4h ? ? 2 ? h ? 10 , h ? 3 . 3
故棱 AA 的长为 3 . 1 (2)连结 O1C ,因为 A1 D1 ∥ BC ,所以 ?O1 BC 就是异面

A1

D A B

C

直线 BO1 与 A1 D1 所成的角.在△ O1 BC 中, BC ? 2 , O1 B ? O1C ? 11 ,

1 BC 11 11 ? 所以 cos?O1 BC ? 2 ,故异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的大小为 arccos . O1 B 11 11

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的侧面积与体积,解答题,中, 运算 【题目】
已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长是 3 ,棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍, M 是 BC 的中 点.

AM 的值; PM (2)求正三棱锥 P ? ABC 的体积.
(1)求

【解答】
解: (1)因为 M 是 BC 的中点,且 PA ? PB ? PC ,故 PM ? BC , 又△ ABC 是等边三角形,所以 AM ? BC . 由 S 侧 ? 2S 底 ,所以 P

1 3 ? 3BC ? PM ? 2 ? ? BC 2 , 2 4

A O M B

C

AM 3 3 3 ? . 故 PM ? BC ,而 AM ? BC ,所以 PM 2 3 2

(2)作 PO ? 平面 ABC , O 为垂足,则由 PA ? PB ? PC ,知 O 是正△ ABC 的中心, 所以 OA ?

2 2 3 3 ? ? 3 ? 3 , OM ? ,由(1)得 PM ? AM ? 3 , 3 3 2 2 PM 2 ? OM 2 ? 3 2 9 3 ,故正三棱锥 P ? ABC 的体积 V ? S ABC ? PO ? . 2 3 8

所以 PO ?

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的体积,解答题,难,逻辑思维 【题目】
已知四面体的一条棱长是 x ,其余各棱长均为 1 . (1)把四面体的体积表示为 x 的函数 f (x) ; (2)当 x 为何值时,四面体的体积取得最大值?

【解答】
解: (1)如图,设四面体的棱 CD ? x , AB ? AC ? AD ? BC ? BD ? 1 . 取 AB 中点 E ,连结 CE 、 DE ,则 AB ? CE , AB ? DE , 所以 AB ? 平面 CDE . E 2 因为 CE ? DE ?

A

1 3 ? CD ? 2 ,所以 S ACD ? ? CD ? CE ? ? ? 2 2 ? 2 ?

B

D C

?

1 3 x2 1 ? x? ? ? ? x ? 3 ? x2 . 2 4 4 4
1 S CDE ? ( AE ? BE ) 3

所以 V ABCD ? V A?CDE ? VB ?CDE ?

1 x 3 ? x2 (0 ? x ? 3) . ? S CDE ? AB ? 3 12

x 3 ? x2 (2) f ( x) ? ? 12
所以,当 x ?

x 2 (3 ? x 2 ) 1 3? 9 ? ? ? ? x2 ? ? ? . 12 2? 4 12 ?
2

1 1 6 时, f (x) 取最大值 ,即四面体取最大值 . 8 8 2

三.课堂反馈 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,填空题,易,运算 【题目】
1. (易) 已知正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中,AA ? 2 AB ,E 为 AA 中点, 则异面直线 BE 1 1 与 CD1 所成角的大小为____________________.

【解答】
答案: arccos

3 10 . 10

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,填空题,中,逻辑思维 【题目】 在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且 OA ? OB ? OC , M 是 AB 的中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的大小为______________. 【解答】
答案: arccos

3 . 3

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,填空题,中,运算 【题目】
两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为 5 cm 、 4 cm 、 3 cm ,把它们重叠在一起组成 一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是_____________ cm .

【解答】
答案: 5 5 .

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的体积,填空题,中,运算 【题目】 侧棱长为 2 的正三棱锥,若其底面周长为 9 ,则该三棱锥的体积为_____________. 【解答】
答案:

3 3 . 4

四.课堂小结
1.直棱柱是侧棱垂直于底面的棱柱,在解决直棱柱有关问题时,要充分利用直棱柱的性质. 2.在解决正棱锥问题时,要注意正棱锥的重要特征.在解决有关计算问题时,常涉及以下 几个直角三角形:高、侧棱、底面半径组成的三角形;高、斜高、底面边心距组成的三角形; 底面半径、边心距与底面边的一半组成的三角形,侧面上的斜高、底面边的一半及侧棱组成 的三角形.

五.课后作业 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱与棱锥的性质,填空题,易,运 算

【题目】
下列四个命题: ①有一条侧棱垂直于底面两条边的棱柱是直棱柱; ②有两个相侧面是矩形的 棱柱是直棱柱;③有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体是棱锥;④底面是正方 形的棱锥是正四棱锥.其中正确命题的序号是_____________(写出所有正确命题的序号) .

【解答】
答案:②

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,选择题,易,运算 【题目】 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,
则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ( A. 30
?

) D. 90
?
.

B. 45

?

C. 60

?

【解答】
答案:C

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,填空题,易,运算 【题目】
正三棱锥的底面边长为 a ,侧棱与底面所成角为 45 ? ,则棱锥的斜高等于___________.

【解答】
答案:

15 a. 6

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,填空题,中,运算 【题目】
若正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60°角, AC1 到底 则 1 1 面 ABCD 的距离为_____________.

【解答】
答案: 3 .

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,填空题,中,分析问题 解决问题

【题目】
三棱锥的三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为 3 ,4 ,6 ,则三棱锥的体积为______.

【解答】 答案: 4 . 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的侧面积和体积,解答题,中, 运算 【题目】
如图,已知直三棱柱 ABC? A1 B1C1 的底面是等腰三角形, AB ? AC ? a , ?ABC ? ? ,

D 为 BC 的中点, AD 与底面 ABC 所成的角为 ? ,求棱住的侧面积 S 侧 和体积 V .
A1 B1 C1

A B D

C

【解答】
解: (1)因为 AB ? AC ? a , D 是 BC 中点, 所以 AD ? BC ,又 ?ABC ? ? ,所以 AD ? a sin ? , BC ? 2a cos ? , 又 AA1 ? 底面 ABC ,所 ?A1 DA ? ? , tan? ? 即 AA ? AD ? tan? ? a sin ? ? tan? ,所以 1

AA1 , AD

S 侧 ? ( AB ? BC ? CA) ? AA1 ? (2a ? 2a cos? ) ? a sin ? tan? ? 2a 2 (1 ? cos? ) sin ? tan? .
V (2) ? S 底 ? AA1 ?

1 1 BC ? AD ? AA1 ? ? 2a cos ? ? a sin ? tan ? ? a 3 sin 2 ? cos ? tan ? . 2 2

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的体积,解答题,难,分析问题 解决问题 【题目】
已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形, ?DAB ? 60? ,底面对角线 AC 与 BD 交于点 O , ? 底面 ABCD , 与平面 ABCD 所成角为 60 ? . PB PO 求四棱锥 P ? ABCD P 的体积.

D O A B

C

【解答】
解答:如图,因为 PO ? 平面 ABCD ,所以 ?PBO 就是 PB 与平面 ABCD 所成的角,即 ?PBO ? 60? . 因为 AB ? AD ? 2 , ?DAB ? 60? ,所以 S 底 ? AB ? AD ? sin 60?

? 2 3 ,又 BO ? 1 , PO ? BO ? tan60? ? 3 ,
所以四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ?

1 S 底 ? PO ? 2 . 3

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,解答题,难,分析问题 解决问题 【题目】

? 如图, 在边长为 12 的正方形 A1 AA?A1 中, B 、C 在线段 AA? 上, AB ? 3 ,BC ? 4 . 点 且 作
? ? ? ? P 作 Q 将 BB1 ∥ AA , 1 分别交 A1 A1 、AA1 于 B1 、 ; CC1 ∥ AA , 1 分别交 A1 A1 、AA1 于 C1 、 .

? 该 正 方 形 沿 BB1 、 CC1 折 叠 , 使 得 A?A1 与 AA 重 合 , 构 成 如 图 所 示 的 三 棱 柱 1
ABC? A1 B1C1 .在三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, A1
(1)求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; (2)求截面 APQ 将三棱柱 ABC? A1 B1C1 分成 上下两部分几何体的体积之比.

B1
Q
P

C1

? A1

B1 A1
P

C1
Q

A

B

C

A? A

A

B

C

【解答】
(1)因为 AB ? 3 , BC ? 4 , A?C ? 5 ,即 AC ? 5 ,故 ?ABC ? 90? , 即 AB ? BC ,又 AB ? BB1 ,所以 AB ? 平面 BCC1 B1 . (2)三棱柱 ABC? A1 B1C1 的体积 V ?

B1 A1
P
A

C1
Q

1 ? AB ? BC ? BB1 ? 72 , 2

设截面 APQ 将三棱柱分成的上下两部分体积分别为 V1 、 V2 , 在四棱锥 A ? PBCQ 中, BP ? 3 , CQ ? 7 , BC ? 4 , 所以 S 梯形PBCQ

B

C

A 1 1 ? ( PB ? CQ ) ? BC ? 20 ,所以 V2 ? S 梯形PCBQ ? AB ? 20 , 2 3

于是 V1 : V2 ? 52 : 20 ? 13 : 5 .即截面 APQ 将三棱柱 ABC? A1 B1C1 分成上下两部分几何

体的体积之比为 13 : 5 .

【题目资源】
【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,选择题,易,逻辑思维 【题目】
在保持各棱完整的情况下,一个三棱柱至少可以切割成( ) A.两个三棱锥 B.三个三棱锥 C.四个三棱锥 D.五个三棱锥

【解答】
答案:B

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,选择题,易,逻辑思维 【题目】
一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( ) A.必然都是非直角三角形 B.至多只能有一个是直角三角形 C.至多只能有两个是直角三角形 D.可能都是直角三角形

【解答】
答案:D.

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,填空题,易,运算 【题目】
在正四棱锥 P ? ABCD 中,若侧面与底面所成的二面角的大小是 60 ? ,则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小为_________________.

【解答】 答案: arctan 2 . 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,填空题,易,运算 【题目】
三棱锥 P ? ABC 的三条侧棱两两互相垂直,Q 为底面上一点,Q 到三个侧面的距离分别是

1 , 2 , 3 ,则 Q 到顶点 P 的距离是_____________________.

【解答】
答案: 14 .

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,填空题,易,运算 【题目】
长方体的全面积为 11 ,所有棱长之和为 24 ,则这个长方体的对角线长为_________.

【解答】 答案: 5 . 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,填空题,易,运算 【题目】
正四棱锥的侧面积等于 12 34 ,底面边长为 6 ,则棱锥的高为_____________.

【解答】
答案: 5

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的体积,填空题,易,运算 【题目】
正四棱锥的底面积为 16 cm ,侧棱与底面成 45 角,则该正四棱锥的体积为_______ cm .
2 0 3

【解答】
答案:

32 2 . 3

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的体积,填空题,易,运算 【题目】
正四棱柱的一条对角线之长为 3 cm ,它的全面积是 16 cm ,则它的体积是_______ cm .
2 3

【解答】
答案: 4 或

112 . 27

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,选择题,中,运算 【题目】

若斜三棱柱的高为 4 3 ,侧棱与底面成 60 ? 角,相邻两侧棱之间的距离都是 5 ,则该三棱柱 的侧面积是( (A) 60 ) (B) 90 (C) 60 3 (D) 120

【解答】
答案:D.

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,选择题,中,逻辑思维 【题目】
若一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等,则该棱锥一定不是( (A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 ) (D)六棱锥

【解答】
答案:D

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,填空题,中,分析问题 解决问题 【题目】
有两个相同的直三棱柱,高为

2 ,底面三角形的三边长分别为 3a , 4 a , 5a ( a ? 0 ) .用 a

它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的一个是四棱柱,则 a 的 取值范围是_________________.

【解答】
答案: ? 0 ,

? ? ?

15 ? ?. 3 ? ?

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的体积,解答题,中,运算 【题目】 四面体 ABCD 中, AB 、 BC 、 BD 两两互相垂直,且 AB ? BC ? 2 , E 是 AC 的中点,
异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为 arccos

10 ,求四面体 ABCD 的体积. 10

【解答】 8 答案: 3

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,解答题,中,运算 【题目】
在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,底面边长为 2 ,异面直线 A1 B 与 B1C1 所成角的大小为

arccos

5 ,求侧棱 AA 的长. 1 10

【解答】 解答: 4 . 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,解答题,中,运算 【题目】
14.在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 1 , BC ? 2 . (1)求 PC 与平面 PAD 所成角的大小; (2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小. P E A B C D

【解答】
答案: (1) arctan

5 30 ; (2) arccos . 5 10

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的体积,解答题,中,分析问题 解决问题 【题目】
(1)如图,两块相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块 剪拼成一个正三棱柱模型, 使它们的全面积都与原三角形的面积相等. 请设计一种剪拼方案, 分别用虚线表示在图甲、乙上,并简要说明. (2)试比较(1)中你剪拼的正三棱锥的体积 V1 与正三棱柱的体积 V2 的大小.





【解答】
解: (1)如图甲,沿正三角形三边中点边线折起,可皎成一个正三棱锥.如图乙,在正三角 形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边的长为三角形边长的

1 ,有一组对 4

角为直角,余下部分沿虚线折起,可拼成一个缺上底的正三棱柱,而剪下的三个四边形恰好 拼成这个正三棱柱的上底面. (2)按上面的剪拼方法, V1 ? V2 .





【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的性质,解答题,中,运算 【题目】
如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 PD 的中点. P (1)求异面直线 PA 与 CE 所成角的大小; E (2)求三棱锥 A ? CDE 的体积. A B C D

【解答】
答案: (1) arctan2 2 . (2)

1 . 6

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,解答题,中,运算 【题目】
如图,直三棱柱 ABC? A1 B1C1 的侧棱长为 2 ,底面三角形 ABC 是等腰直角三角形,

?ABC ? 90? , AC ? 2 , D 是 AA 的中点. 1
(1)求三棱柱 ABC? A1 B1C1 的体积 V ; (2)求 C1 D 与底面所成角的大小. A1 D

B1

C1

B

C

A

【解答】
答案: (1) V ? 2 . (2) arctan

1 . 2

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的体积,解答题,中,运算 【题目】
四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,且依次为 2 5 、 13 、 5 ,求四面体的体积.

【解答】 答案: 8 【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的表面积和体积,解答题,中, 分析问题解决问题 【题目】
如 图 , 在 平 行 六 面 体 ABCD? A1 B1C1 D1 中 , AA1 ? ABC D , AB ? 4 , AD ? 2 ,

B1 D ? BC ,直线 B1 D 与平面 ABCD 成 30 ? 角,求平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 的表面
积和体积. D1 A1 D A B1 B C1 C

【解答】
解: S 全 ? 24? 8 3 , V ? 8 3 .

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的性质,解答题,中,运算 【题目】
G 长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 已知 AB ? 6 ,BC ? 12 ,AA ? 8 ,E 、F 、 分别是 AD1 、 1
BD 、 CD1 的中点,求异面直线 EF 与 BG 所成角的大小.

【解答】
答案: arctan

12 5 12 (或 arccos 或 arcsin ) . 5 13 13

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱柱的表面积和体积,解答题,难, 分析问题解决问题 【题目】
已知四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长都为 a ,且 A1 ? ABD是正三棱锥.求这个棱柱的全 面积和体积.

【解答】
解:由题设, A1 ? ABD是正三棱锥,所以 ?A1 AB ? ?A1 AD A1 D A

D1 B1 C B

C1

? ?BAD ? 60? ,所以四棱柱的各个面都是边长为 a .有一个 内角为 60 ? 的菱形.
所以棱柱的全面积 S ? 6 ? S ABCD ? 6 ? AB ? AD? sin 60? ? 3 3a2 . 而四棱柱的高 h 就是正三棱锥 A1 ? BCD 的高,故 h ?

6 a, 3

所以四棱柱的体积 V ? S ABCD ? h ?

2 3 a . 2

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的表面积,解答题,难,分析问 题解决问题 【题目】
已知四棱锥 P ? ABCD 的所有棱的长都是 a ,底面 ABCD 是正方形, E 、 F 分别是 PB 、 PC 的中点,求四棱锥 P ? AEFD 的表面积. P F E D A B C

【解答】
1 AD , AE ? DF ,所以四边 A1 2 1 形 AEFD 是等腰梯形.在 AD 上取一点 G ,使 AG ? AD , D 4 A 则 EG 是梯形 AEFD 的高. D 因为四棱锥 P ? ABCD 的所有棱的长都是 a ,所以 G
解: EF ∥ AD 且 EF ? A

D1 P B1 FC E B

C1

C B

AE ?

1 1 11 3 a, a , EF ? a , AG ? a , EG ? 2 4 4 2

所以, S AEFD ?

3 2 3 2 1? a ? 11 3 11 2 a , S PAD ? a , a? a , S PAE ? S PDF ? ?a ? ? ? 8 4 2? 2? 4 16

S PEF ?

9 3 ? 3 11 2 3 2 a . a ,所以四棱锥 P ? AEFD 的表面积 S ? 16 16

【属性】高三,空间图形与简单几何体,棱锥的体积,解答题,难,分析问题 解决问题 【题目】 三棱锥 P ? ABC 中, PA ? a , AB ? AC ? 2a , ?PAB ? ?PAC ? ?BAC ? 60? .求三 棱锥 P ? ABC 的体积.
P A B D1 C1 B1 C B C

【解答】
解法一:由题意,△ ABC 是等边三角形,故 BC ? 2 a , 又 PB ? PA ? AB ? 2PA ? AB cos60? ? 3a , PB ?
2 2 2 2

3a ,
A

A1 D

所以 PA ? PB ,同理 PA ? PC ,所以 PA ? 平面 PBC . 所以可把原三棱锥看作以 A 为顶点, PBC 为底面的三棱锥. 因为 S PBC ? 2a 2 ,所以 VP? ABC ? VA? PBC ?

1 2 3 S PBC ? PA ? a . 3 3

解法二:取 AB 中点 E , AC 中点 F ,由题意知,四面体 PAEF 是棱长为 a 正四面体,

VPAEF ?

2 3 2 3 a ,所以 VP ? ABC ? 4VPAEF ? a . 12 3



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