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河北省邢台二中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析



河北省邢台二中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 16 小题, 每小题 5 分,共 80 分) . 1.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个()

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.都不



2.若过 A(﹣2,m)和 B(m,4)的直线与斜率为﹣2 的直线平行,则 m 的值为() A.﹣8 B. 0 C. 2 D.10 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm,则球的表面积是() 2 2 2 2 A.8πcm B.12πcm C.16πcm D.20πcm 4.下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B. 同一平面的两条垂线一定共面 C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 5.半径 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为() A. πR
3

B.

πR

3

C.

πR

3

D.

πR

3

6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π,则 圆台较小底面的半径为() A.7 B. 6 C. 5 D.3 7.垂直于同一条直线的两条直线一定() A.平行 B.相交

C.异面

D.以上都有可能

8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是() A.A1C1⊥AD B. D1C1⊥AB C. AC1 与 DC 成 45°角 D.A1C1 与 B1C 成 60°角 9.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ

③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③

C.③和④

D.①和④

10.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是()

A.

B.

C.2000cm

3

D.4000cm

3

11.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所 成的角等于()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

12.在三棱锥 A﹣BCD 中,AC⊥底面 BCD,BD⊥DC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30°,则 点 C 到平面 ABD 的距离是() A. B. C. D.

13.二面角 α﹣l﹣β 为 60°,A、B 是棱 l 上的两点,AC、BD 分别在半平面 α、β 内, AC⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为()

A.2a

B.

a

C. a

D.

a

14.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大 时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为()

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

15.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 B 的余弦值是() A. B.

,其余各棱的长都为 1,则二面角 A﹣CD﹣

C.

D.

16. 如图, 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱线长为 1, 线段 B1D1 上有两个动点 E, F, 且 EF= 则下列结论中错误的是()



A.AC⊥BE B. EF∥平面 ABCD C. 三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 17.已知直线 l1 经过点 A(m,1) ,B(﹣3,4) ,l2 经过点 C(1,m) ,D(﹣1,m+1) , 若 l1⊥l2,则 m 的值为. 18.已知平面 α∥β∥γ,两条直线 l、m 分别与平面 α、β、γ 相交于点 A、B、C 和 D、E、 F,已知 AB=6, = ,则 AC=.

19.已知菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,沿对角线 BD 将△ ABD 折起,使二面角 A﹣ BD﹣C 为 120°,则点 A 到△ BCD 所在平面的距离等于. 20.四面体 S﹣ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中 点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于. 21.如图,二面角 α﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB?α.B∈l,AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 45 分) 22.如图,已知直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,底面 ABCD 是直角梯形,A 是直 角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值.

23.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明:SO⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A﹣SC﹣B 的余弦值.

24.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B﹣B1C﹣A 的大小.

河北省邢台二中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试 卷

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 16 小题, 每小题 5 分,共 80 分) . 1.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个()

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.都不对

考点: 由三视图还原实物图. 分析: 根据主视图、左视图、俯视图的形状,将它们相交得到几何体的形状. 解答: 解:由三视图知,从正面和侧面看都是梯形, 从上面看为正方形,下面看是正方形, 并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱, 故这个三视图是四棱台. 故选 A. 点评: 本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化. 2.若过 A(﹣2,m)和 B(m,4)的直线与斜率为﹣2 的直线平行,则 m 的值为() A.﹣8 B. 0 C. 2 D.10 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 直线的斜率. 直线与圆. 根据直线平行斜率相等和直线的斜率公式列出方程,求出 m 的值. 解:∵过 A(﹣2,m)和 B(m,4)的直线与斜率为﹣2 的直线平行, ,解得 m=﹣8,

故选:A. 点评: 本题考查直线平行斜率相等,以及直线的斜率公式的应用,属于基础题. 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm,则球的表面积是() 2 2 2 2 A.8πcm B.12πcm C.16πcm D.20πcm 考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长, 求出正方体的对角线长, 即 可求出球的表面积. 解答: 解:正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 =2R, 2 R= ,S=4πR =12π 故选 B 点评: 本题是基础题, 考查正方体的外接球的不面积的求法, 解题的根据是正方体的对角 线就是外接球的直径,考查计算能力,空间想象能力.

4.下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形 B. 同一平面的两条垂线一定共面 C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 证明题. 分析: 根据证明平行四边形的条件判断 A,由线面垂直的性质定理和定义判断 B 和 C, 利用实际例子判断 D. 解答: 解:A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故 A 不符合题意; B、 由线面垂直的性质定理知, 同一平面的两条垂线互相平行,因而共面, 故 B 不符合题意; C、由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故 C 不符合题意; D、由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故 D 符合题意. 故选 D. 点评: 本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义, 只要抓住定理中的关键条件进行 判断,可借助于符合条件的几何体进行说明,考查了空间想象能力和对定理的运用能力. 5.半径 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为() A. πR
3

B.

πR

3

C.

πR

3

D.

πR

3

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 求出扇形的弧长,然后求出圆锥的底面周长,转化为底面半径,求出圆锥的高,然 后求出体积. 解答: 解:2πr=πR,所以 r= ,则 h= ,所以 V=

故选 A 点评: 本题是基础题,考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系,圆锥体积的求法,考查 计算能力. 6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π,则 圆台较小底面的半径为() A.7 B. 6 C. 5 D.3 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 设出上底面半径为 r,利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长 为 3,圆台的侧面积为 84π,求出上底面半径,即可. 解答: 解:设上底面半径为 r,因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线 长为 3,圆台的侧面积为 84π,所以 S 侧面积=π(r+3r)l=84π,r=7 故选 A

点评: 本题是基础题,考查 圆台的侧面积公式,考查计算能力,送分题. 7.垂直于同一条直线的两条直线一定() A.平行 B.相交

C.异面

D.以上都有可能

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 分类讨论. 分析: 根据在同一平面内两直线平行或相交,在空间内两直线平行、相交或异面判断. 解答: 解:分两种情况:①在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行; ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面. 故选 D 点评: 本题主要考查在空间内两条直线的位置关系. 8.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是() A.A1C1⊥AD B. D1C1⊥AB C. AC1 与 DC 成 45°角 D.A1C1 与 B1C 成 60°角 考点: 异面直线及其所成的角;棱柱的结构特征. 分析: 由题意画出正方体的图形,结合选项进行分析即可. 解答: 解:由题意画出如下图形: A.因为 AD∥A1D1, 所以∠C1A1D1 即为异面直线 A1C1 与 AD 所成的角,而∠C1A1D1=45°,所以 A 错; B.因为 D1C1∥CD,利平行公理 4 可以知道:AB∥CD∥C1D1,所以 B 错; C.因为 DC∥AB.所以∠C1AB 即为这两异面直线所成的角,而 ,所以 C 错; D. 因为 A1C1∥AC, 所以∠B1CA 即为异面直线 A1C1 与 B1C 所成的角, 在正三角形△ B1CA 中,∠B1CA=60°,所以 D 正确. 故选:D.

点评: 此题考查了正方体的特征, 还考查了异面直线的夹角的定义即找异面直线所成的角 往往平移直线然后把角放入同一个平面内利用三角形求解. 9.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ

③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是() A.①和② B.②和③

C.③和④

D.①和④

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系; 命题的真假判断与应用; 空间中直线与直线之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行 的性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个 平面的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正 确.由此可得本题的答案. 解答: 解:对于①,因为 n∥α,所以经过 n 作平面 β,使 β∩α=l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α,l?α,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α∥β 且 β∥γ,所以 α∥γ,结合 m⊥α,可得 m⊥γ,故②是真命题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α、β、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α⊥γ 且 β⊥γ,但是 α⊥β,推不出 α∥β,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A 点评: 本题给出关于空间线面位置关系的命题, 要我们找出其中的真命题, 着重考查了线 面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 10.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是()

A.

B.

C.2000cm

3

D.4000cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题. 分析: 由三视图可知,几何体是四棱锥,一个侧面垂直底面,底面是正方形,根据数据计 算其体积. 解答: 解:如图,几何体是四棱锥,一个侧面 PBC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形, .

故选 B.

点评: 本题考查三视图、椎体的体积,考查简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空 间想象能力和基本的运算能力. 11.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所 成的角等于()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 常规题型. 分析: 延长 CA 到 D, 根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角,而三角形 A1DB 为等边三角形,可求得此角. 解答: 解:延长 CA 到 D,使得 AD=AC,则 ADA1C1 为平行四边形, ∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角, 又 A1D=A1B=DB= AB, 则三角形 A1DB 为等边三角形,∴∠DA1B=60° 故选 C. 点评: 本小题主要考查直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的性质、异面直线所成的角、异面直线所 成的角的求法,考查转化思想,属于基础题. 12.在三棱锥 A﹣BCD 中,AC⊥底面 BCD,BD⊥DC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30°,则 点 C 到平面 ABD 的距离是() A. B. C. D.

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 先证明 BD⊥平面 ACD,可得△ ABD 是直角三角形,分别计算△ ABD、△ BCD 的 面积,利用 VC﹣ABD=VA﹣BCD,可求点 C 到平面 ABD 的距离. 解答: 解:∵AC⊥平面 BCD,BC、BD?平面 BCD, ∴AC⊥BC,BD⊥AC, ∵BD⊥DC,AC∩CD=D, ∴BD⊥平面 ACD, ∵AD?平面 ACD, ∴BD⊥AD, ∴△ABD 是直角三角形, ∵AC=a,∠ABC=30°, ∴AB=2AC=2a,BC= a, ∵△DBC 是等腰直角三角形, ∴BD=CD= BC= a,
2

∴S△ BCD= ×BD×CD= a , ∵AD= = a, a,
2

∴S△ ABD= ×AD×BD=

设 C 到平面 ABD 距离为 d, 由 VC﹣ABD=VA﹣BCD,可得 × ∴d= 故选 B. . a ×d= × a ×a
2 2

点评: 本题考查点到平面间距离的计算,考查三棱锥的体积,正确运用等体积,是解题的 关键. 13.二面角 α﹣l﹣β 为 60°,A、B 是棱 l 上的两点,AC、BD 分别在半平面 α、β 内, AC⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为()

A.2a

B.

a

C. a

D.

a

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题. 分析: 先利用现有图形构造出一个四棱柱,再利用空间向量进行计算,欲求 CD 的长,即 求向量 的模,也就是求向量 的模,利用向量的数量积运算即可求得.

解答: 解:∵AC⊥l,BD⊥l, ∴< ∴ ∴| = 答案:A = |= =2a. , + >=60°,且 + , ? =0, ? =0,

点评: 本题主要考查了空间向量,以及空间几何体的概念、空间想象力,属于基础题. 14.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大 时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为() A.90° B.60° C.45° D.30° 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 欲使得三棱锥体积最大,因为三棱锥底面积一定,只须三棱锥的高最大即可,即当 平面 BAC⊥平面 DAC 时,三棱锥体积最大,计算可得答案. 解答: 解:如图,当平面 BAC⊥平面 DAC 时,三棱锥体积最大 取 AC 的中点 E,则 BE⊥平面 DAC, 故直线 BD 和平面 ABC 所成的角为∠DBE cos∠DBE= ∴∠DBE=45°. 故选 C. ,

点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系, 考查空间想象能力、 运算能力 和推理论证能力,属于基础题. 15.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 B 的余弦值是() A. B. ,其余各棱的长都为 1,则二面角 A﹣CD﹣

C.

D.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;空间角. 分析: 先作出二面角 A﹣CD﹣B 的平面角,再利用余弦定理求解即可. 解答: 解:由已知可得 AD⊥DC 又由其余各棱长都为 1 得正三角形 BCD,取 CD 得中点 E,连 BE,则 BE⊥CD 在平面 ADC 中,过 E 作 AD 的平行线交 AC 于点 F,则∠BEF 为二面角 A﹣CD﹣B 的平面 角 ∵EF= (三角形 ACD 的中位线) ,BE= 形 ABC,F 是斜边中点) (正三角形 BCD 的高) ,BF= (等腰 RT 三角

∴cos∠BEF=

=

=

故选 C.

点评: 本题考查二面角的平面角,考查余弦定理,正确作出二面角的平面角是关键.

16. 如图, 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱线长为 1, 线段 B1D1 上有两个动点 E, F, 且 EF= 则下列结论中错误的是()



A.AC⊥BE B. EF∥平面 ABCD C. 三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用证线面垂直,可证 AC⊥BE;判断 A 正确; 根据正方体中上下面平行,由面面平行的性质可证,线面平行,从而判断 B 正确; 根据三棱锥的底面面积与 EF 的位置无关,高也与 EF 的位置无关,可判断 C 正确; 例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小,根据大小不同判断 D 错误. 解答: 解: ∵在正方体中, AC⊥BD, ∴AC⊥平面 B1D1DB, BE?平面 B1D1DB, ∴AC⊥BE, 故 A 正确; ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,EF?平面 A1B1C1D1,∴EF∥平面 ABCD,故 B 正确; ∵EF= ,∴△BEF 的面积为定值 ×EF×1= ,又 AC⊥平面 BDD1B1,∴AO 为棱锥 A﹣

BEF 的高,∴三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值,故 C 正确; ∵利用图形设异面直线所成的角为 α,当 E 与 D1 重合时 sinα= ,α=30°;当 F 与 B1 重合时 tanα= ,∴异面直线 AE、BF 所成的角不是定值,故 D 错误;

故选 D.

点评: 本题考查了异面直线所成的角及求法,考查了线面垂直、面面平行的性质,考查了 学生的空间想象能力及作图分析能力. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 17.已知直线 l1 经过点 A(m,1) ,B(﹣3,4) ,l2 经过点 C(1,m) ,D(﹣1,m+1) , 若 l1⊥l2,则 m 的值为﹣ .

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知中 l1⊥l2,可知两直线斜率的乘积为﹣1,结合直线所过的点,求出两直线 的斜率,进而构造关于 m 的方程,可得答案. 解答: 解:已知直线 l1 经过点 A(m,1) ,B(﹣3,4) , l2 经过点 C(1,m) ,D(﹣1,m+1) , 若 l1⊥l2,则 m≠﹣3, 故 l1 的斜率 k1= 由 k1?k2= × ,l2 的斜率 k2= ,

=﹣1,得:m=﹣ ,

故答案为:﹣ 点评: 本题考查的知识点是斜率公式,直线垂直的充要条件,难度不大,属于基础题. 18.已知平面 α∥β∥γ,两条直线 l、m 分别与平面 α、β、γ 相交于点 A、B、C 和 D、E、 F,已知 AB=6, = ,则 AC=15.

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 过 A 作 AG∥m 交 β 于 H, γ 于 G, 连结 BH, CG, AD, HE, GF, 证明△ ABH∽△ACG, 推出 ,利用 AH=DE,HG=EF,AG=DF,求解 AC 即可.

解答: 解:如图所示,过 A 作 AG∥m 交 β 于 H,γ 于 G,连结 BH,CG,AD,HE,GF, 则点 A,B,C,G,H 共面; ∵β∥α,平面 ACF∩β=BG,平面 ACF∩γ=CF, ∴BH∥CG, ∴△ABH∽△ACG, 可得: ,

∵AG∥m,∴AH=DE,HG=EF,AG=DF, ∴ ,∴AC=15.

故答案为:15.

点评: 本题考查了空间中的平行关系的应用问题, 解题时应根据空间中平行关系的互相转 化,得出对应线段成比例,从而进行计算,是中档题. 19.已知菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,沿对角线 BD 将△ ABD 折起,使二面角 A﹣ BD﹣C 为 120°,则点 A 到△ BCD 所在平面的距离等于 .

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题考查了立体几何中的折叠问题, 及定义法求二面角和点到平面的距离, 我们由 已知菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,沿对角线 BD 将△ ABD 折起,使二面角 A﹣BD﹣ C 为 120°,及菱形的性质:对角线互相垂直,我们易得∴∠AOC 即为二面角 A﹣BD﹣C 的 平面角,解△ AOC 后,OC 边的高即为 A 点到平面 BCD 的距离. 解答: 解:已知如下图所示: 设 AC∩BD=O,则 AO⊥BD,CO⊥BD, ∴∠AOC 即为二面角 A﹣BD﹣C 的平面角 ∴∠AOC=120°,且 AO=1, ∴d=1×sin60°=

故答案为: 点评: 根据二面角的大小解三角形, 一般先作出二面角的平面角. 此题是利用二面角的平 面角的定义作出∠AOC 为二面角 A﹣BD﹣C 的平面角,通过解∠AOC 所在的三角形求得 ∠AOC.其解题过程为:作∠AOC→证∠AOC 是二面角的平面角→利用∠AOC 解三角形 AOC,简记为“作、证、算”.

20.四面体 S﹣ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中 点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 取 AC 中点 O,连结 EO,FO,BE,由题意得∠OEF 是异面直线 EF 与 SA 所成的 角(或所成角的补角) ,由此能求出异面直线 EF 与 SA 所成的角. 解答: 解:如图,取 AC 中点 O, 连结 EO,FO,BE, 则题意知 EO∥SA,FO∥BC, ∴∠OEF 是异面直线 EF 与 SA 所成的角(或所成角的补角) , ∵EO=FO= EF= ,BE= = = = , ,



=

=



∴∠OEF=

. .

∴异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 故答案为: .

点评: 本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能 力的培养. 21.如图,二面角 α﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB?α.B∈l,AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是 .

考点: 平面与平面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 过点 A 作平面 β 的垂线, 垂足为 C, 在 β 内过 C 作 l 的垂线. 垂足为 D,连接 AD, 从而∠ADC 为二面角 α﹣l﹣β 的平面角,连接 CB,则∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角,在 直角三角形 ABC 中求出此角即可. 解答: 解:过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C, 在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连接 AD,有三垂线定理可知 AD⊥l, 故∠ADC 为二面角 α﹣l﹣β 的平面角,为 60° 又由已知,∠ABD=30° 连接 CB,则∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角 设 AD=2,则 AC= ,CD=1 AB= =4 ;

∴sin∠ABC= 故答案为 .

点评: 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系, 以及直线与平面所成角, 考查空间想 象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 45 分) 22.如图,已知直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,底面 ABCD 是直角梯形,A 是直 角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角.

分析: 由 AB∥CD,得∠C1BA 就是 BC1 与 CD 所成的角,由此能求出异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值. 解答: 解:由题意 AB∥CD, ∴∠C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角. 连接 AC1 与 AC,在 Rt△ ADC 中,可得 AC= . 又在 Rt△ ACC1 中,可得 AC1=3. 在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH∥AD 交 AB 于 H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB= . 又在 Rt△ CBC1 中,可得 BC1= , 在△ ABC1 中,cos∠C1BA= , .

即异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值为

点评: 本题考查点到直线的距离, 考查异面直线所成角的余弦值的求法. 考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力. 23.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明:SO⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A﹣SC﹣B 的余弦值.

考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证 SO⊥平面 ABC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 SO 与平 面 ABC 内两相交直线垂直,而 SO⊥BC,SO⊥AO,又 AO∩BO=O,满足定理条件; (2)以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O ﹣xyz,求出两半平面的法向量,求出两法向量的夹角即可.

解答: 证明: (Ⅰ)由题设 AB=AC=SB=SC=SA,连接 OA,△ ABC 为等腰直角三角形, 所以 ,且 AO⊥BC,

又△ SBC 为等腰三角形,故 SO⊥BC, 且 ,从而 OA +SO =SA .
2 2 2

所以△ SOA 为直角三角形,SO⊥AO. 又 AO∩BO=O. 所以 SO⊥平面 ABC. (Ⅱ)解: 以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、y 轴的正半轴, 建立如图的空间直角坐标系 O﹣xyz. 设B (1, 0, 0) , 则C (﹣1, 0, 0) , A (0, 1, 0) , S (0, 0, 1) . SC 的中点 .∴ . 故 等于二面角 A﹣SC﹣B 的平面角. ,



所以二面角 A﹣SC﹣B 的余弦值为



点评: 本小题主要考查直线与平面垂直,以及二面角等基础知识,考查空间想象能力,运 算能力和推理论证能力. 24.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B﹣B1C﹣A 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;二面 角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)根据已知条件知 A1C1,A1B1,A1A 三直线两两垂直,从而可分别以这三直 线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,求出图形上各点的坐标.设平面 B1AC 的法向量为 ,根据 即可求出 ,而由条件知 为平面 ABB1A1

的一条法向量,只要 (Ⅱ)求出

即可得出平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; ,设直线 A1C 和平面 B1AC 所成角为 θ,则由

sinθ=|cos

|=

即可求得 sinθ; , 设二面角 B﹣B1C﹣A 的大小为 α,

(Ⅲ) 设平面 BB1C 的法向量为 由 cos

即可求得 cosα,从而求出二面角 B﹣B1C﹣A 的大小.

解答: 解: (Ⅰ)证明:根据条件知 A1C1,A1B1,A1A 三直线两两垂直,分别以这三直 线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系; 设 AB=BB1=1,BB1⊥平面 ABC,∴∠B1CB 为直线 B1C 与平面 ABC 所成角; ∴∠B1CB=30°; ∴ ,∠BAC=90°,∴ ,所以: A( 0, 0) , A (0, 0, 1) , B (0, 1, 1) , C ( 1 0, 设平面 B1AC 的法向量为 , 0, 1) , , ,则: ;

,取 z1=1,∴ A1C1⊥A1B1,A1C1⊥AA1,AA1∩A1B1=A1; ∴A1C1⊥平面 ABB1A1; ∴ ∴ ; 为平面 ABB1A1 的一条法向量;



∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (Ⅱ) sinθ= ,设直线 A1C 与平面 B1AC 所成角为 θ,则: ;

∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角为 (Ⅲ)设平面 BB1C 的法向量为

; , ,则:

,取 x2=1,则 又平面 B1AC 的一条法向量为



,设二面角 B﹣B1C﹣A 的大小为 α,则:

=



∴二面角 B﹣B1C﹣A 的大小为 arc



点评: 考查平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,知道两平面垂直时,两平面 法向量的关系, 弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系, 向量夹 角余弦的坐标公式,弄清两平面形成二面角和平面法向量间夹角的关系.



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