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江苏省2004年冬令营试题(二)


江苏省 2004 年冬令营试题(二)
2004.11.30. 1.设 P(x)是实系数多项式函数 P(x)=ax +bx2+cx+d.试证:如果对任何|x|<1,均有|P(x)|≤1,则 |a|+|b|+|c|+|d|≤7. 解:由于 P(x)是实系数多项式函数,即 P(x)连续,从而|P(1)|≤1,|P(-1)|≤1. P(1)=a+b+c+d; P(-1)=-a+b-c+d;
3

1 1 1 1 P( )= a+ b+ c+d; 2 8 4 2 1 1 1 1 P(- )=- a+ b- c+d. 2 8 4 2 解得 2 1 1 a= [P(1)-P(-1)-2P( )+2P(- )], 3 2 2 2 1 1 b= [P(1)+P(-1)-P( )-P(- )], 3 2 2 1 1 1 c= [-P(1)+P(-1)+8P( )-8P(- )], 6 2 2 1 1 1 d= [-P(1)-P(-1)+4P( )+4P(- )]. 6 2 2 故, 所以, 故 同样, 2 1 1 2 1 1 a+b= [2P(1)-3P( )+P(- )],a-b= [-2P(-1)-P( )+3P(- )], 3 2 2 3 2 2 |a+b|≤4,|a-b|≤4, |a|+|b|=max{|a+b|,|a-b|}≤4. 1 1 1 1 1 1 c+d= [-P(1)+6P( )-2P(- )],c-d= [-P(1)+2P( )-6P(- )]. 3 2 2 3 2 2 ①

所以, |c+d|≤3,|c-d|≤3, 故 |c|+|d|=max{|c+d|,|c-d|}≤3. 从而, |a|+|b|+|c|+|d|≤7. 本解亦可写为: p(x)=4x3-3x 符合条件:对任意 x∈[-1,1],|p(x)|≤1。 (由 cos3θ=4cos3θ-3cosθ)。 当 λ=± 1 时, p(λ)= λa+b+λc+d,p(± )=± a+ b± c+d。 2 8 4 2 4 2 ? 2 ? 4 于是 |λa+b|=| P(?)-2P( )+ P(- )|≤ +2+ =4, 3 2 3 2 3 3 1 2 ? 2 ? 1 |λc+d|=|- P(?)+2P( )- P(- )|≤ +2+ =3; 3 2 3 2 3 3 因此, |a|+|b|+|c|+|d|= max |?a+b|+ max |?c+d|≤7。于是最小 m=7. ?=± 1 ?=± 1 二.给定大于 3 的整数 n,设实数 x1,x2,?,xn,xn+1,xn+2 满足条件 0<x1<x2<?<xn<xn+1<xn+2. 试求

?

? ? ?

xi+1 xj+2 (∑ )(∑ ) x x i=1 i j=1 j+1
n

n

n

(∑ k=1x 2 +x x k+1 k k+2

xk+1xk+2

xl+1+xlxl+2 )(∑ ) xlxl+1 l=1
n

2

的最小值,并求出使该式达到最小值的所有满足条件的实数组 x1,x2,?,xn,xn+1,xn+2. xi+1 解:⑴ 记 =ti(ti>1,1≤i≤n+1).则题中式子可写为 xi
n i=1 n j=1 n

(∑ti)(∑tj+1) tktk+1 (∑ )(∑(tl+tl+1)) t +t k=1 k k+1 l=1
n n n n n n n n ti ti tktk+1 取分母(∑ )(∑(tl+tl+1))=(∑ti-∑ )(∑(ti+ti+1)=(∑ti)(∑(ti+ti+1))-(∑ )(∑(ti+ti+1)) t +t t +t t +t k=1 k k+1 l=1 i=1 i=1 k k+1 i=1 i=1 i=1 i=1 k k+1 i=1 n n 2 i=1 n i=1 n i=1 n i=1 2 2 n

≤(∑ti) +(∑ti)(∑ti+1)-[∑
n 2 i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1

ti ? ti+ti+1]2 ti+ti+1

=(∑ti) +(∑ti)(∑ti+1)-(∑ti)2
n i=1

= (∑ti)(∑ti+1). 因此,对符合条件的实数组 0<x1<x2<?<xn<xn+1<xn+2,题中的式子不小于 1. ti ti+ti+1 ti+ti+1 1 ti+1 1 ⑵ 上式中等号成立的条件为 =d(d 为常数,1≤i≤n),即 = ,? = -1=c(c 为常数). ti d ti d ti+ti+1 xi+1 - - 记 t1=b,有 tj=bcj 1(1≤j≤n+1).相应的有 =tt=bci 1,1≤i≤n+1. xi 记 x1=a>0,有 xk=tk-1tk-2?t1a=abk 1c


(k-1)(k-2) 2

,2≤k≤n+2.

x2 ∵ x2>x1,∴ b= >1, x1 又,因 tj=bcj 1>1(1≤j≤n+1),∴ c>


n

1 j-1 1 (≥ ,1≤j≤n+1). b b

⑶ 由上可得结论: ① 对于符合条件的实数组 x1,x2,?,xn,xn+1,xn+2,题中式子的最小值为 1. ② 能使式子达到最小值的符合条件 0<x1<x2<?<xn<xn+1<xn+2 的实数组 x1,x2,?,xn,xn+1,xn+2 应是 x1=a,xk= abk 1c


(k-1)(k-2) 2

,2≤k≤n+2.

其中,a>0,b>1,c>

n

1 ,1≤j≤n+1. b

三.把一些棋子放在一个 n?n 的棋盘上,满足如下条件: ⑴ 每个不含棋子的小方格均与含有棋子的小方格有公共边; ⑵ 给出任意一对有棋子的小方格,总有一系列含有棋子的小方格,起始位置与停止位置是这一对小方 格,使得其中任意两个连续的方格都有公共边. 1 试证:至少需要在棋盘上放置 (n2-1)个棋子. 3 解:用平面上的点代表放有棋子的格,若两个放有棋子的格相邻,则在代表它们的两点间连一条线.这 样就得到了一个图.由⑵知,该图是连通图. 若一个放有棋子的格与一空格相邻,我们就说这个有棋子的格“管住”了该空格.由⑴知棋盘上的格 子或是图中的点,或是被图中点管住的点. 从我们已作好的图中可以看出,所有顶点至多分成四类:每个一度点管住至多 3 个空格,每个二度点 管住至多 2 个空格,每个三度点至多管住 1 个空格.每个四度点没有管住空格.设 i 度点的个数为 Vi(i=1, 2,3,4).则有 f(V1,V2,V3,V4)=V1+V2+V3+V4+V3+2V2+3V1≥n2. ① 若 V1≤2,则 n2≤V1+V2+V3+V4+V3+2V2+2V1+2≤V1+V2+V3+V4+2V1+2V2+2V3+2V4+2, 1 于是 3(V1+V2+V3+V4)≥n2-2,即 V1+V2+V3+V4≥ (n2-2). 3 ② 若 V1>2,由于该图是一个连通图,故任意三个悬挂点中一定可以找到两个悬挂点,它们各自所在 的连通分支交汇于一个三度点或四度点. 若它们交汇于一个三度点,则令 V1?=V1-1,V2?=V2+2,V3?=V3-1. f(V1,V2,V3,V4)-f(V1?,V2?,V3?,V4?)=0. 若它们交汇于一个四度点,则令 V1?=V1-1,V2?=V2+1,V3?=V3+1,V4?=V4-1. f(V1,V2,V3,V4)-f(V1?,V2?,V3?,V4?)=0. 每经过一次调整,f(V1,V2,V3,V4)的值不变,而 V1 的值减少 1.这样经过若干次调整后可使 V1≤2, 由情形①可知仍有 f(V1,V2,V3,V4)≤n2, 1 且 V1+V2+V3+V4)≥ (n2-2). 3 1 综上可知,棋盘上至少有 (n2-2)个棋子. 3


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