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河北省衡水中学2016届高三上学期四调考试文数试题 Word版含答案



一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在下列四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. ) 1、在空间中,下列命题错误的是( )

A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 B.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 C.平行于同一平面的两个平面平行 D.平行于同一直线的两个平面平行 2、设集合 ? ? x x ? 2 x ? 0 , m ? 3
2

?

?

0.5

,则下列关系中正确的是( C. m ? ?

) D. m ? ?

A. m ? ??

B. m ? ?

3、如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取 ? , ? 两点,从 ? , ? 两点分别测得建 筑物顶端的仰角为 30 , 45 ,且 ? , ? 两点间的距离为 60 m ,则该建筑物的高度为(
? ?



A. 30 ? 30 3 m

?

?

B. 30 ? 15 3 m

?

?

C. 15 ? 30 3 m )

?

?

D. 15 ? 15 3 m

?

?

4、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A. ?

1 ? 3 12

B.1 ?

?
12

C. ?

1 ? 3 4

D.1 ? )

? 4

5、已知正数组成的等比数列 ?an ? ,若 a1 ? a20 ? 100 ,那么 a7 ? a14 的最小值为( A. 20 B. 25 C. 50

D.不存在

?x ? y ? 6 ? 0 ? y 的最大值为 2a ? 4 ,最小值为 a ? 1 , 6、 设 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 1 ? 0 , 若 z ? ax ? ?3 x ? y ? 2 ? 0 ?
则实数 a 的取值范围为( )

-1-

A.? ?1, 2?

B.? ?2,1?

C.??3, ?2?

D.? ?3,1?

7 、若函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ? ? x ? ,且 f ? ? x? ? 2 cos? 2x ?

? ?

??

? ,则 y ? f ? x? 在 6?

?0, ? ? 上的单调增区间为(
A.? 0,

) C.? 0,

? ?? ? 6? ?

B.?

? 2? ? ,? ? ? 3 ?
x

? ? ? ?? ? 和 ,? ? 6? ? ? ?3 ? ?

D.? 0,

? ? ? ? 2? ? 和 ,? ? ? 6? ? ? ? 3 ?


8、已知不等式 y ? 4 ? y ? 2 ? A. 1

a 对任意实数 x , y 都成立,则常数 a 的最小值为( 2x
C. 3 D. 4

B. 2

9、已知球的直径 SC ? 4 , ? , ? 是该球球面上的两点. ?? ? 2 , ??SC ? ??SC ? 45 ,
?

则棱锥 S ? ?? C 的体积为(



2 3 4 3 C. 3 3 ? ? ? ? ? ? ? 10、已知 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 ,那么 4a ? b 等于( 3
A.

3 3

B.

D.

5 3 3



A. 2
x

B. 6

C. 2 3

D. 12

11、设过曲线 f ? x ? ? ?e ? x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲 线 g ? x ? ? ax ? 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为( A. ? ?1, 2?
2



B. ? ?1, 2?

C. ? ?2,1?

D. ? ?2,1? )

12、设函数 f ? x ? 满足 x f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ? A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值

ex e2 , f ? 2? ? ,则 x ? 0 时 f ? x ? ( x 8
B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、已知 ? , ? 表示两个不同的平面,m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” 的 条件.(横线上填“充分不必要”,“必要不充分条件”,“充要”,“既不充分

也不必要”中的一个)
2 ? ?log3 ? x ? 1? ? x ? 0 ? 14、已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f x ?1 2 x ? 0 ? ? ? ?

? 10 ? ? f ? ?1? ?



15、 设向量 a ? ?1, 2 ? ,b ? ?

?

? ? 1 ? ? ? , an ?( n ? ?? ),若 a //b ,设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 2 ?n ?n ?
-2-

则 Sn 的最小值为

. .

16、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 17、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin 2 ? x ?

? ?

??

?? ? ? ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .设 x ? ? 时 f ? x ? 取到最大值. 4? ?4 2?

(1)求 f ? x ? 的最大值及 ? 的值;

C 中,角 ? , ? , C 所对的边分别为 a , b , c , ? ?? ? (2)在 ???

?
12

,且

s i n? s i n C ?

s2i n ?,求 b ? c 的值.

18、 (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 ? ? ??CD , 侧面 ??D 是边长为 2 的正三角形, 且与底面垂直, 底面 ?? CD 是

???C ? 60? 的菱形, ? 为 ? C 的中点.
(1)求证: ?C ? ?D ; (2)求点 D 到平面 ??? 的距离.

19、 (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , a1 ? 2 且 a1 , a2 , a3 ? 8 成等差数列.数列 ?bn ? 的前 n 项

-3-

和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 8n . (1)分别求出数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

bn ? ,若 cn ? m ,对于 ?n ? ? 恒成立,求实数 m 的最小值. an

20、 (本题小满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 ??C ? ?1?1C1 中 , D , ? 分 别 是 ?? , ??1 的 中 点 ,

??1 ? ?C ? C? ?

2 ?? . 2

(1)证明: ?C1 // 平面 ?1CD ; (2)求异面直线 ?C1 和 ?1D 所成角的大小; (3)当 ?? ? 2 2 时,求三棱锥 C ? ?1D? 的体积.

21、 (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? x ln x , g ? x ? ?

ax 2 ,直线 l : y ? ? k ? 3? x ? k ? 2 . 2

-4-

(1)函数 f ? x ? 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值; (2)若至少存在一个 x0 ??1, e? 使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 k ? ? ,当 x ? 1 时 f ? x ? 的图象恒在直线 l 的上方,求 k 的最大值.

请考生在 22、 23 两题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑. 如 果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分) 如图,? ? 的直径 ?? 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 ? ,? 为 ? ? 上一点,?? ? ?C ,

D ? 交 ?? 于点 F ,且 ?? ? 2?? ? 4 .
(1)求 ? F 的长度; (2)若圆 F 与圆 ? 内切,直线 ?? 与圆 F 切于点 ? ,求线段 ?? 的长度.

23、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a . (1)当 a ? 7 时,求函数 f ? x ? 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? 3 的解集是 R ,求 a 的取值范围.

?

?

-5-

参考答案及解析 月考卷 一、选择题 1~5 DCABA 二、填空题 13.必要不充分 三、解答题: 17.解: (1)由题意, f ? x ? ? ?1 ? cos ? 2 x ? 14. 3 15. 1 16. 6~10 BDDCC 11~12 AD

8 3

? ?

? ?

? ??

? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 2 ?? ?

?? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又 x??

? ? 2? ?? ? ? . , ? ,则 ? 2 x ? ? 6 3 3 ?4 2?
?
3 ?

故当 2 x ?

?
2

,即 x ? ? ?

5? 时, f ? x ?max ? 3 . 12

(5 分)

(2)由(1)知 ? ? ? ?
2

?
12

?

?
3


2 2 2 2 2 2

由 sin ? sin C ? sin ? ,即 bc ? a .又 a ? b ? c ? 2bc cos ? ? b ? c ? bc .
2 2 则 b ? c ? bc ? bc ,即 ? b ? c ? ? 0 .故 b ? c ? 0 .
2

(12 分)

18.解: (1)取 ?D 中点 ? ,连接 ?? , ? C , ? C ,由题意可知 ???D , ??CD 均为正三 角形.

所以 ?C ? ?D , ?? ? ?D . 又 ?C ? ?? ? ? , ?C ? 平面 ??C , ?? ? 平面 ??C ,所以 ?D ? 平面 ??C , 又 ?C ? 平面 ??C ,所以 ?C ? ?D . (4 分)

(2)点 D 到平面 ??? 的距离即点 D 到平面 ??C 的距离. 由 (1) 可知 ?? ? ?D , 又平面 ??D ? 平面 ?? CD , 平面 ??D ? 平面 ??CD ? ?D ,?? ?

-6-

平面 ??D ,所以 ?? ? 平面 ?? CD .即 ?? 为三棱锥 ? ? ?CD 的体高. 在 Rt???C 中, ?? ? ?C ? 3 , ?C ? 边 ? C 上的高 ?? ? ?? ? ?? ?
2 2

6 ,在 ???C 中, ?? ? ?C ? 2 , ?C ? 6 ,

10 , 2

所以 ???C 的面积 S???C ?

1 1 10 15 . ?C ? ?? ? ? 6 ? ? 2 2 2 2
1 3 1 S ??CD ? ?? , 3

设点 D 到平面 ??C 的距离为 h ,由 VD???C ? V???CD 得, S ???C ? h ? 又 S ??CD ?

1 1 15 1 2 15 ? 2 3 ? 3 ,所以 ? . ? h ? ? 3 ? 3 ,解得 h ? 2 3 2 3 5

故点 D 到平面 ??? 的距离为

2 15 . 5

(12 分) (1 分)

19、解: (1)? a1 ? 2 且 a1 , a2 , a3 ? 8 成等差数列,? 2a2 ? a1 ? a3 ? 8 , 即 2a1q ? a1 ? a1q2 ? 8 , 2q 2 ? 4q ? 6 ? 0 ,? q1 ? 3 , q2 ? ?1. . ? q ? 1 ,? q ? 3 .? an ? 2 ? 3n?1 ( n ? ?? ) 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 12 ? 8 ?1 ? ?7 ,
2

(2 分)

(3 分)

(4 分)
2

当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? n ? 8n ? ?? n ? 1? ? 8 ? n ? 1?? ? 2n ? 9 .

?

?

(5 分)

当 n ? 1 时, 2 ?1 ? 9 ? b1 满足上式, . ? bn ? 2n ? 9 ( n ? ?? ) (2)由(1)得, cn ? (6 分)

2n ? 9 ? ,若 cn ? m ,对于 ?n ? ? 恒成立,即 m ? cn 的最大值. n ?1 2?3 2n ? 7 2n ? 9 ?4n ? 20 ? ? 又 cn ?1 ? cn ? . 2 ? 3n 2 ? 3n ?1 2 ? 3n
当 cn?1 ? cn 时,即 n ? 5 时, c5 ? c6 ; 当 cn?1 ? cn 时,即 n ? 5 ( n ? ? )时, c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ??? ; 当 cn?1 ? cn 时,即 n ? 5 ( n ? ? )时, c6 ? c7 ? c8 ? c9 ? ??? .
? ?

? cn 的最大值为 c5 ? c6 ? ? m 的最小值为
1 . 162

1 1 ,即 m ? . 162 162
(12 分)

20、解: (1)证明:连接 ?C1 与 ?1C 相交于点 F ,连接 DF .

-7-

由矩形 ?CC1?1 可得点 F 是 ?C1 的中点,又 D 是 ?? 的中点,? DF//?C1 ,

? ?C1 ? 平面 ?1CD , DF ? 平面 ?1CD ,? ?C1 // 平面 ?1CD .
(2)由(1)得 ??1DF 或其补角为异面直线 ?C1 和 ?1D 所成角. 设 ?? ? 2 ,则 DF ?

(2 分)

1 1 1 ?C1 ? ?C2 ? C1C2 ? 2 2 2

? 2? ?? 2?
2

2

?1,

?1D ? ?1? 2 ? ?D 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 , ?1F ?

1 ?1C ? 1. 2
2

在 ??1DF 中,由余弦定理得, cos ??1DF ?

12 ?

? 3?

? 12

2 ? 1? 3

?

3 ,且 ??1DF ? ? 0, ? ? , 2

? ??1DF ?

?
6

,?异面直线 ?C1 和 ?1D 所成角的大小为

? . (6 分) 6

(3)? ?C ? ?C , D 为 ?? 的中点,? CD ? ?? ,

? 平面 ???1?1 ? 平面 ??C ? ?? ,? CD ? 平面 ???1?1 .
又 CD ? ?C2 ? ?D2 ? 2 ,

1 1 1 S??1D? ? S矩形???1?1 ? S ??D? ? S ??1?1? ? S ???1D ? 2 ? 2 2 ? ? 2 ?1 ? ?1? 2 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 3 2 , ? 2

?三棱锥 C ? ?1D? 的体积 V ? ? CD ? S?? D? ? ? 2 ?
1

1 3

1 3

3 2 ? 1. 2

(12 分)

21、解: (1)由已知得, f ? ? x ? ? ln x ? 1,且 f ? x ? 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行, 所以 f ? ? e? ? ln e ?1 ? 2 ? k ? 3 ,解得 k ? 5 . (2 分)

(2)由于至少存在一个 x0 ??1, e? 使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,所以 x ln x ?

ax 2 成立至少存在一 2

-8-

个 x ,即 a ? 令 h ? x? ?

2 ln x 成立至少存在一个 x . x

2 ?1 ? ln x ? 2 ln x 2 ln x ? 0 恒成立,因此 h ? x ? ? , 当 x ??1, e? 时,h? ? x ? ? 在 ?1, e? 2 x x x

单调递增. 故当 x ? 1 时, h ? x ?min ? 0 ,即实数 a 的取值范围为 ? 0, ??? . (3)由已知得, x ln x ? ? k ? 3? x ? k ? 2 在 x ? 1 时恒成立,即 k ? 令 F? x? ? (6 分)

x ln x ? 3 x ? 2 . x ?1

x ln x ? 3 x ? 2 x ? ln x ? 2 ,则 F? ? x ? ? ,令 m ? x ? ? x ? ln x ? 2 , 2 x ?1 ? x ?1? 1 x ?1 ? ? 0 在 x ? 1 时恒成立. x x

则 m? ? x ? ? 1 ?

所以 m ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,且 m ?3? ? 1 ? ln3 ? 0 , m ? 4? ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以在 ?1, ?? ? 上存在唯一实数 x0 ( x0 ? ? 3, 4? )使 m ? x ? ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时, m ? x ? ? 0 即 F? ? x ? ? 0 ,当 x ? x0 时, m ? x ? ? 0 即 F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. 故 F ? x ?min ? F ? x0 ? ?

x0 ln x0 ? 3x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 ? ? 3x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . x0 ? 1 x0 ? 1
(12 分)

故 k ? x0 ? 2 ( k ? ? ) ,所以 k 的最大值为 5 . 22、解: (1)连接 ? C , ?D , ?? ,

? ?? ?C . ? ?? ? ?C ,? ??
则有 ?CD? ? ???C ,又 ?CD? ? ?? ? ??FD , ???C ? ?? ? ??C? , 从而 ??FD ? ??C? ,故 ??FD ∽ ??C? ,?

?F ?D ? , ?C ?? ?C ? ?D 12 ? ? 3. ?? 4
(5 分)

由割线定理知, ?C ? ?D ? ?? ? ?? ? 12 ,故 ?F ? (2)若圆 F 与圆 ? 内切,设圆 F 的半径为 r ,

? ?F ? 2 ? r ? 1 ,即 r ? 1 .

-9-

? ?? 是圆 F 的直径,且过 ? 点圆 F 的切线为 ?? .
则 ??2 ? ????? ? 2 ? 4 ? 8 ,即 ?? ? 2 2 . (10 分)

- 10 -

- 11 -



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