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1.1.2-集合间的基本关系







1.1.2 集合间的基本关系 第一课时

? 观察下列各组集合中A与B之间的关系? (1) A={-1,1},B={-1,0,1,2}; (2)A=N,B=R; (3)A={x|x为北京人},B={x|x为中国人}.
集合A的任意一个元素都是集合B的元素. (若a∈A,则必有a∈B)
<

br /> 1.子集的定义
如果集合A的任意一个元素都 是集合B的元素(若a∈A,则 a∈B),则称集合A为集合B 的子集. 记为

B

A

A? B 或 B ? A

? 下列集合A、B中,集合A是B的子集吗? (1) A={-1,1,0},B={-1,0,1};

(2)A ? {2,1,0}, B ? { y | y ?| x |, x ? R}

(3)A ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0}, B ? {?1,0,1}

练习1
1.若A={1,2,3}则( D) A、1? A B、1? A ?A C、{1} D、{1} ? A

2.已知集合A={-4,-1,m},集合B={-4,5}, 若B ? A,则实数m=( 5 )

? N ___ ? Z ___ ? Q ___ ? R 3. N ___
?

? C. 4. 若A ? B, B ? C , 则A ____

子集的性质
①子集的传递性!
②任何一个集合是它本身的子集, 即A ? A
③空集是任何集合的子集
所以,不能说A是B中的部分元素所组成的集合!!

如果集合A?B,但存在元素x∈B, 且x ?A,称集合A是集合B的真子 集.

说明: ? (1)集合A是集合B的真子集,即A是B的子 集,并且B中至少存在一个元素 不是 A 的元素; ? (2)子集包括真子集和相等两种情况; ? (3)空集?是任何 非空 集合的真子集;

1、判断下列写法是否正确 ①??A ②?

?A ?

③A?A

④A

?A ?

解析:
?空集是任何集合的子集。 ①??A

?空集是任何非空集合的真子集。 ② ? ?任何一个集合是它本身的子集。

? A,A ? ? ?

③A?A

?对于集合A,B,C,如果A ? B且B ? C,那么A ? C。 ?如果A ? B,同时B ? A,那么A=B。

2、下列命题正确的有几个 B (1)空集没有子集; (2)任何集合至少有两个子集; (3)空集是任何集合的真子集; (空集是任何非空集合的真子集) (4)若?的元素个数为零 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4、6 3、下列写法中正确的是( 3、 )

( 1 )? ? 0;(2)? ? ?0? ;(3)? ? ? ?? ; (4)? ? ? ?? ;(5)? ? ?0? ;(6)? ? ?0?

【注意点】
(1)子集与真子集符号的方向。

如A ? B与B ? A同义;A ? B与A ? B不同
(2)易混符号

①“?”与“?”:元素与集合之间是属于关系;
集合与集合之间是包含关系。 如:1 ? N,—1?N,Φ ? R,{1} ?{1,2,3} ②{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合, Φ是不含任何元素的集合。 如:Φ ? {0}。不能写成Φ={0},Φ∈{0}

1.(1)分别写出下列各集合的子集及其个 数: ? ,{a},{a,b},{a,b,c}. (2)由(1)猜想:当集合M中含有n个元 素时,则集合M有多少个子集?

解: 写时应注意空集优先、按照顺序来。

? 的子集:? ,即1个子集; (1) ? ,{a},即2个子集; {a}的子集: {a,b}的子集: ? ,{a},{b},{a,b},即4个子 集; {a,b,c}的子集: ? ,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c},即8个子 集。

(2)由(1)可知,当n=0时,有1= 20个子集; 1 当n=1时,有2= 2 个子集; 当n=2时,有4= 22个子集; 3 当n=3时,有8= 2 个子集。 ? ? ? n 因此,含有n个元素的集合M有 2 个子集。

★集合M中有n个元素,则集合M有 2n个子集, 有2 n ? 1 个真子集。

2.已知{1,2} ? A

? {1,2,3,4},写出所有满足条件的集合A。

{1,2} {1,2,3} {1,2,4} {1,2,3,4}
3.用适当的符合填空 ∈ a} (1) a____{

? (2) {1,3,5,7}____{3,5}
= b,a} (5) {a,b}____{

? a,b,c} (3) {a}______{
∈ a,b,c} (6) a____{

? a,b,c} (4) d____{ ? (7) 3____

? x ?3 ? x ? 3?

? (8) ? ____{1,2,3}

4. 设集合A={x|1≤x<4},B={x|x-a<0} 若A是B的真子集,求实数a的取值范围。

利用数轴一目了然!

a ≥4

5.已知集合 A ? {x ?3 ? x ? 4},B ? {x 2m ? 1 ? x ? m ? 1} 且B?A,求实数m的范围.
?

思路点拨:讨论B是否为空集→(借助数轴)列不等式→求得m的取值范围。

B是否为空集 2m-1≥m+1 B是不为空集 ?
? m ? 1 ? 2m ? 1 ?m ? 1 ? 4 ? 2 m ? 1 ? ?3 ? ?

m≥2
?1 ? m ? 2

验证等 号是否 满足

实数m的范围为{m∈R|m≥-1}

[例 1]

设 a= 2+ 3,M={x|x≤ 10},给出下列关 ②M?{a};

系;①a?M;

③{a}∈M; ④{?}∈{a}; ⑤2a?M; 其中正确的关系式共有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
[分析] 解题的关键是确定出a与 10 的大小,正确使用“属 于”、“包含”等符号.

A

(

)

[解析]

a2=5+2 6=5+ 24<5+5=( 10)2, ∴a= 2

+ 3< 10, ∴a 是集合 M 中的一个元素, 又 2a> 10, ∴2a 不是集合 M 中的元素, 而元素与集合之间的关系应由“属于 或不属于”来描述,∴①是错误的,⑤是正确的;再由{a} 是以 a 为元素的集合,{?}表示的是以?为元素的集合,且集 合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述,从而可以 判定③、④错误,②正确. 正确选项应为 A

[例2] 判定下列集合之间是否具有包含或相等关系:

(1)A={x|x=2m-1,m∈Z}, B={x|x=4n±1,n∈Z},
(1)∵A={奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数,∴B?A. 又∵当m为偶数时,设m=2n(n∈Z), 则2m-1=4n-1; 当m为奇数时,设m=2n+1(n∈Z),则2m-1=4n+1. 由此可见,不论m是何整数,2m-1∈B. 故A?B.综上所述,A=B.

(2)A={x|x=-a2-4,a∈R},
B={y|y=-b2-3,b∈R},

(2)∵-a2-4≤-4,-b2-3≤-3, ∴A={x|x≤-4},B={y|y≤-3}. ∴A B.

(3)A={(x,y)|x+y>0,x∈R,y∈R}, B={(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}.

? (3)∵ 若 x > 0 , y > 0 ,则必有 x + y > 0 , ∴B?A. ? 又∵若x=-1,y=2时,x+y>0,∴(- 1,2)∈A. ? 又∵x=-1<0,∴(-1,2)?B,∴B A.

?

总结评述: ①如果要证明 A = B ,只要 证明A?B与B?A同时成立即可. ? ②已知A?B,证明A B,并不需要将属于 B而不属于A的所有元素无一遗漏地全部列 出,只要举出一个即可.同理要说明 A?B 成立,须给出严格的证明过程,但要说明 A?B不成立,只要能找出一个元素x0∈A, 但x0?B即可. ? ③注意集合表示的意义,它与表示集合时 所采用字母的名称无关.

? [ 例 3] 已知 M = {x|x > 1} , N = {x|x > a} , 且M N,则( ) ? A.a≤1 B.a<1 ? C.a≥1 D.a>1 ? [ 分 析 ] 为了形象直观地表示集合的关 系.可借助数轴,让a在x轴上运动,通过 观察归纳 M 与 N 的关系,进而得出 1 与 a 的 关系.

? [解析] 随着 a在x轴上运动,集合 N也在 变化,满足M N的情况如图,显见a<1, 故选B.

? ? ? ?

已知A={x|x<3},B={x|x<a} a≤3 (1)若B?A,则a的取值范围是________ ; (2)若A?B,则a的取值范围是________ ; a≥3 (3)若A B,则a的取值范围是________ ; a>3

3 ? (4)若A=B,则a的值是________ .

? [例4] 设集合A={x|x2+4x=0,x∈R}, B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}, 若B?A,求实数a的值.

[ 分 析 ] B?A 包 括 B = A 与 B A两种情 形.当B=A时,集合B中一元二次方程有 两实根0和-4;当B A时,有B=?或B中 一元二次方程有两相等实根0(或-4).

[解析] A={-4,0} 1°若B=A,则-4,0是方程x2+2(a+1)x+a2 -1=0的两根,∴a=1. 2°若B=?,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, ∴a<-1, 3°若B中只有一个元素,则Δ=0, ∴a=-1, 经验证a=-1时,B={0}满足. 综上所述a=1或a≤-1.

? [点评]

①B

A时,容易漏掉B=?的情况;

? ② B = {0} 或 { - 4} 易造成重复讨论,应直 接由Δ=0,求得a值再验证B A是否成立; ? ③分类讨论应按同一标准进行. ? 本题解答中,实际是按 Δ>0 , Δ = 0 , Δ<0 讨论 B 中方程解的情况的. Δ>0 对应 B = A ; Δ = 0 对应 B = {0} 或 B = { - 4} ; Δ<0 对应 B =?.

? 若 非 空 集 合 A = {x|x2 + px + q = 0} , B = {x|x2-3x+2=0},且B?A,求p、q满足的 条件. [解析] 因为B={1,2},A?B,A≠?. ∴A={1},{2}或{1,2}. (1)A={1,2}时,p=-3,q=2; (2)A={1}时,p=-2,q=1; (3)A={2}时,p=-4,q=4.

? [例5] 已知集合A={x,xy,x-y},集合 B = {0 , |x| , y} ,若 A = B ,求实数 x , y 的 值.
[分析 ] 有限集合的相等,即集合中的元素 一一对应相等,可以由此建立关于 x、y的 方程组来解决问题.

[解析] (1)∵0∈B,A=B,∴0∈A, 又由集合中元素的互异性, 可以断定|x|≠0,y≠0, ∴x≠0,xy≠0,故x-y=0, 即 x= y , 此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x}, ∴x2=|x|,当x=1时x2=1矛盾, ∴x=-1, ∴x=y=-1.

? * ? (江苏苏北四市2010模拟)已知集合A={0, 2 , a2} , B = {1 , a} ,若 A∪B = {0 , 1 , 2 , 4},则实数a的值为______. [答案] 2

[解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4或 a2=4,若a=4,则a2=16,但16?A∪B, ∴a2=4,∴a=±2, ? 又-2?A∪B,∴a=2.

? [ 例 6] 若集合 A= {x|x2+ x - 6= 0}, B = {x|mx+1=0},B A,求m的值. [错解] A={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∵B A,∴mx+1=0的解为-3或2.
1 当 mx+1=0 的解为-3 时,由 m· (-3)+1=0,得 m=3; 1 当 mx+1=0 的解为 2 时,由 m· 2+1=0,得 m=-2; 1 1 综上所述,m=3或 m=-2

? [辨析] 要解答本题,首先要搞清楚集合 A的元素是什么,然后根据B A,求m的 值. ? 在这里未考虑“B=?,即方程mx+1=0 无解”这一情形导致错误.

[正解]

1° 当 B=? 即 mx+1=0 无解时,m=0,

2° 当 B≠?时,∵A={x|x2+x-6=0}={-3,2}, B? A,∴mx+1=0 的解为-3 或 2. 当 mx+1=0 的解为-3 时,由 m· (-3)+1=0,得 m= 1 1 2+1=0,得 m=-2; 3;当 mx+1=0 的解为 2 时,由 m· 1 1 综上所述,m=0、m=3或 m=-2.

? 一、选择题 ? 1 .下列四个命题:①空集没有子集;② 空集是任何集合的真子集;③任何集合至 少有两个子集;④若? A,则A≠?,其中 正确的个数是( ) A. 1 个 B.2个 C. 3 个 D. 4 个 ? [答案] A ? [ 解析 ] 空集是本身的子集,但不是本身 的真子集,它只有本身这一个子集,故① ②③错,只有④正确.

[解析]

1 A={a+1,a-1},B={-3},

1 1 ∵B? A,∴a+1=- 或 a-1=- , 3 3 4 2 ∴a=-3或3.

? 二、解答题 ? 2.设集合A={-1,1},试用列举法写出下列 集合. ? (1)B={x|x∈A}; ? (2)C={(x,y)|x,y∈A}; ? (3)D={x|x?A}. [解析] (1)B={-1,1}. (2)C={(-1,-1),(-1,1),(1,-1), (1,1)}. (3)D={?,{-1},{1},{-1,1}}.

? 3 .已知集合 A={x|-2≤x≤5},非空集合 B = {x|m + 1≤x≤2m - 1} ,且 B?A ,求 m 的取 值集合. ? [解析] ∵B?A且B≠?,

故所求集合为{m|2≤m≤3}. 若把条件B?A,改为(1)B A或(2)A B,请再 求实数m的取值集合.

? 4.已知集合A={1,3,5},求集合A的所 有子集的元素之和. ? [分析] 先写出集合A的所有子集,再求这 些子集的所有元素之和. ? [ 解析 ] 集合 A 的子集分别是: ? , {1} , {3} , {5} , {1 , 3} , {1 , 5} , {3 , 5} , {1 , 3,5}.注意到A中的每个元素x出现在A的 4个子集中,即在其和中出现4次.故所求 之和为(1+3+5)×4=36.

k 1 k 1 4.集合M ? { x | x ? ? , k ? Z }, N ? { x | x ? ? , k ? Z }. 2 4 4 2 则( ) . B. M ? ? N C .M ? ? N D. M 与N 没有相同元素

A. M ? N

分析:令k ? ? ? ?,?1, 0, 1, 2, 3,? ? ?得:
1 M ? {? ? ?, ? , 4 1 , 4 3 , 4 5 , 4 7 , ? ? ?} 4

令k ? ? ? ? ? 3, ? 2,?1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? ? ? 得: 1 1 1 3 5 3 7 N ? {? ? ?, ? , 0, , , , 1, , , , ? ? ?} 4 4 2 4 4 2 4
?M ? ? N, 故选C.

k 1 k 1 4.集合M ? { x | x ? ? , k ? Z }, N ? { x | x ? ? , k ? Z }. 2 4 4 2 则( ) . B. M ? ? N C .M ? ? N
2k ? 1 , k ? Z }, 4

A. M ? N

D. M 与N 没有相同元素

分析:M ? { x | x ?

N ? {x | x ?

k?2 , k ? Z }. 4

当k ? Z时, 2k ? 1为奇数,k ? 2为整数,因为奇数都 是整数,且整数不都是奇数.

?M ? ? N,

故选C.



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