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高中数学必修4教学设计1.3三角函数的诱导公式示范教案



1.3 三角函数的诱导公式 教学目的: 1、牢固掌握五组诱导公式; 2、熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明; 3、能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题; 4、渗透分类讨论的数学思想,提高分析和解决问题的能力。 教学重点、难点 重点:熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明。 难点:诱导公式的推导、记忆及符号的判断。 教学过程: 一、复习引入: 1.利用

单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值; 2.诱导公式一及其用途:

sin(k ? 360? ? ? ) ? sin ? ,cos(k ? 360? ? ? ) ? cos? , tan(k ? 360? ? ? ) ? tan ? , k ? Z ? ? 3、对于任何一个 ? : ?0 ,360 ? 内的角 ? ,以下四种情况有且只有一种成立(其中 ? 为锐角)
?? , 当? ? ?0? ,90? ? ? ? ? ?180 ? ? , 当? ? ?90? ,180? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?180 ? ? , 当? ? ? ?180 , 270 ? ? ? ? ? ? ? ?360 ? ? , 当? ? ? 270 ,360 ?

所以,我们只需研究180? ? ? ,180? ? ? ,360? ? ?与? 的同名三角函数的关系即研究了 ? 与? 的 关系了。 二、讲授新课: 1、诱导公式二: 思考: (1)锐角 ? 的终边与 180 ? ? 的终边位置关系如何?
?

(2)写出 ? 的终边与 180 ? ? 的终边与单位圆交点 P, P ' 的坐标。
?

(3)任意角 ? 与 180 ? ? 呢?
?

结论:任意 ? 与 180 ? ? 的终边都是关于原点中心对称的。则有 P( x, y), P '(? x, ? y) ,由正 弦函数、余弦函数的定义可知: sin ? ? y , cos? ? x ;
?

cos(180? ? ? ) ? ? x . ? ? 从而,我们得到诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos? .
说明:①公式中的 ? 指任意角; ②若 ? 是弧度制,即有 sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos? ; ③公式特点:函数名不变,符号看象限;
?

sin(180? ? ? ) ? ? y ,

sin(180? ? ? ) ? sin ? ④可以导出正切: tan(180 ? ? ) ? ? ? ? tan ? . cos(180? ? ? ) ? cos ?
2、诱导公式三: 思考: (1) 360 ? ? 的终边与 ?? 的终边位置关系如何?从而得出应先研究 ?? ; (2)任何角 ? 与 ?? 的终边位置关系如何? 结论:同诱导公式二推导可得:诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ; cos(?? ) ? cos ? . 说明:①公式中的 ? 指任意角; ②在角度制和弧度制下,公式都成立;
?

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③公式特点:函数名不变,符号看象限; ④可以导出正切: tan(?? ) ? ? tan ? . 3、诱导公式四: sin(180? ? ? ) ? sin ? ;

cos(180? ? ? ) ? ? cos ? .
4、诱导公式五: sin(360? ? ? ) ? ? sin ? ;

cos(360? ? ? ) ? cos ? .
说明:①公式四、五中的 ? 指任意角; ②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③公式特点:函数名不变,符号看象限; ④可以导出正切: tan(180? ? ? ) ? ? tan ? ; tan(360? ? ? ) ? ? tan ? 5、公式六: sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

cos(

?
2

? ? ) ? sin ?

sin(

?

说明:①公式六中的 ? 指任意角;

2

? ? ) ? cos ?

cos(

?

2

? ? ) ? ? sin ?

②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③公式特点:函数名变化,符号看象限 三、典型例题 例 1.求下列三角函数值: (1) sin 960 ; (2) cos(?
?

43? ). 6

解: (1) sin 960? ? sin(960? ? 720? ) ? sin 240? (诱导公式一)

? sin(180? ? 60? ) ? ? sin 60? (诱导公式二)
3 . 2 43? 43? ) ? cos (2) cos(? (诱导公式三) 6 6 7? 7? ? cos( ? 6? ) ? cos (诱导公式一) 6 6 ? ? ? cos( ? ? ) ? ? cos (诱导公式二) 6 6 3 . ?? 2 cot ? ? cos(? ? ? ) ? sin 2 (3? ? ? ) 例 2. (1)化简 tan ? ? cos3 (?? ? ? ) ? ? ? ? ? ? (2) sin120 ? cos330 ? sin(?690 )cos(?660 ) ? tan 675 ? cot 765 ??
解: (1)原式 ?

cot ? ? ( ? cos ?) ?sin 2( ? ? ?) tan ? ? cos 3(? ? ? ) cot ? ? (? cos ? ) ? (? sin ? ) 2 ? tan ? ? (? cos ? )3

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cot ? ? (? cos ? ) ? sin 2 ? tan ? ? (? cos3 ? ) cos 2 ? sin 2 ? ? ? ?1. sin 2 ? cos 2 ? (2)原式 ? sin(180? ? 60? ) ? cos(360? ? 30? ) ? sin(720? ? 690? )cos(720? ? 660? ) ? tan(675? ? 720? ) ? cot(765? ? 720? ) ? sin 60? cos30? ? sin 30? cos60? ? tan(?45? ) ? cot 45? ?
3 3 1 1 ? ? ? ? tan 45? ? 1 2 2 2 2 3 1 ? ? ?1?1 ? 1 4 4 2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 例 3.已知: tan ? ? 3 ,求 的值。 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) 解:∵ tan ? ? 3 , ?2 cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3 tan ? ? ? 7. ∴原式 ? 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 3 例 4.已知 sin ? ? ? ,且 ? 是第四象限角,求 tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )] 的值。 5 解: tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )] ? tan ?[cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ? tan ? (? cos ? ? sin ? ) ? tan ? sin ? ? tan ? cos ? ? sin ? (tan ? ? 1) 4 3 21 由已知得: cos ? ? , tan ? ? ? , ∴原式 ? . 5 4 20 sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) . 例 5.化简 sin(? ? n? ) cos(? ? n? ) 解:①当 n ? 2k , k ? Z 时, sin(? ? 2k? ) ? sin(? ? 2k? ) 2 ? 原式 ? . sin(? ? 2k? ) cos(? ? 2k? ) cos ? ②当 n ? 2k ? 1, k ? Z 时, sin[? ? (2k ? 1)? ] ? sin[? ? (2k ? 1)? ] 2 ?? 原式 ? sin[? ? (2k ? 1)? ]cos[? ? (2k ? 1)? ] cos ? ?
四、课堂练习: 课本第 31 页练习第 1、2、3、4、7 题 五、课堂小结 1. 五组公式可概括如下:? ? k ? 360 (k ? Z ), ?? ,180 ? ? ,360 ? ? 的三角函数值, 等于 ? 的同名函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原函数值的符号;
? ? ?

2.要化的角的形式为 k ? 90 ? ? ( k 为常整数) ; 3.记忆方法: “奇变偶不变,符号看象限” ; (k 为奇数还是偶数) 4. 利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。 其化简方向仍为: “负化正,大化小,化到锐角为终了” 。 六、作业 课本第 32 页习题 B 组第 1、2 题
o

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