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2011年湖南省高中数学竞赛试卷B卷



2011 年湖南省高中数学竞赛试卷 B 卷
注意事项:1、首先填写所在县(市)学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写 3、本试卷共 19 题,满分 150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分,每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 2 1、 F ( x) ? (1 ? x ) f ( x)( x ? 0)是偶函

数,且f ( x)不恒等于零, 则f ( x) ( ) 2 ?1 A、是偶函数 B、不是奇函数也不是偶函数 C、是奇函数 D、可能是奇函数也可能是偶函数 2、假设 x、y 都是正数并且成反比,若 x 增加了 a% ,则 y 减少了 ( ) a 0 100 0 a 0 100a 0 ( A) ( B) (C ) ( D) 0 0 0 0 1? a a 100 ? a 100 ? a 3、若方程 x ? x ? k 有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是
( A)k ? 0 (B)k< 1 4 (C)0 ? k< 1 4 (D)k ? 1 4



)

4、函数 f ( x) ? x | x | ?2 3x ? 2的图象与x轴的交点个数为 A、 4 B、 3 C、 2 D、1





1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5、已知 ? ? , ? ? , ? ? , 则 ? ? 的值为 x y?z 2 y z?x 3 z x? y 4 x y z





3 5 (D) 2 2 2 6、若集合 M={1,3,a},N={a ,1}且 M∪N={1,3,a},那么满足条件的 a 的值为 ( A) 1 (B) 2 (C)
( A) 0 (B) ?1 (C) ? 3 (D) ? 3或0

7、 o 若 lg

3 1 则a的取值范围是 ,? 5 3 3 ( A) ? a ? 1 (B)a ? 5 5
a


(C)0 ? k ? 3 5 3 (D)0 ? k ? 或a ? 1 5

)

8、当 1 ? x ? 3时,函数f ( x) ? 2 x ? 6 x ? c的值域为
? 3 ? ( A) ? f ( ), f (3) ? ? 2 ? 2 ? ? (B)? f (1), f ( ) ? 3 ? ? (C)? f (1), f (3) ?


(D)? c, f (3) ?



9、设 f(x)是 (??, ??)上的奇函数, 且f ( x ? 2) ? ? f ( x),当0 ? x ? 1时,f ( x) ? x,
则f (7.5) ? ( A) 1.5



)
(B) 0.5 (C) -0.5 (D) -1.5

10、如果 x和y是非零实数, 使得 | x | ? y ? 3和 | x | y ? x3 ? 0, 那么x ? y等于 (
( A) 3 (B) 4- 13 (C) 1- 13 2 (D) 13



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分,请将正确答案填在横 线上) 11、已知 两点M (1, 0), N ? ?3, 0 ? 到直线l的距离分别为1和3,
则满足条件的直线l的条数是

12、若 p 是质数,且方程 x 2 ? px ? 444 p ? 0 的两个实根均为整数,则 p 的值为 13、 函数f ( x) ? x ? 1 ? 25 ? 5 x的值域是 14、已知 x 2 ? 2 y 2 ? 1, 则z=3x+2y2的最大值和最小值分别为 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 66 分,解答要求有必要的过程) 15、 (本小题满分 12 分) 对于正整数 a,b,c(a≤b≤c)和实数 x,y,z,w,若① ②
1 1 1 1 ? ? ? ,试求 a ? b ? c 的值。 x y z w

a x ? b y ? c z ? 30w

16、 (本小题满分 12 分)
设M ? ? x | x 2 ? ax ? b ? 0? , N ? ? x | x 2 ? cx ? 15 ? 0? , 若M ? N={3,5},M ? N={3}试求a, b, c

17、 (本小题满分 14 分) 一个直角三角形的两直角边长均为整数, 且满足方程 x 2 ? (m ? 2) x ? 4m ? 0 , 试求 m 的值及此直角三角形的三边长。 18、 (本小题满分 14 分) 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,过点 A 作圆的切线与 CD 的 3 延 长线交于点 F,如果 DE= CE, AC ? 8 5 ,D 是 EF 的中点,求 AB 的值。 4 19、 (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? x 2 ? bx ? c的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a), ⑴如果 a,b,c 都是整数,且 c ? b ? 8a, 求a, b, c ⑵设二次函数 y ? x 2 ? bx ? c的图象经与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C, 如果关于 x的方程x 2 ? bx ? c ? 0的两个根都是整数,求?ABC的面积.



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