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2010年高考题 文数 函数与导数



2010 年高考数学真题 专题 2
一、选择题
3

文数

函数与导数

1、(2010 课标全国卷文 4) 曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为( ) (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 (D) y ? ? 2 x ? 2

2、(2010 课标全国卷文 9) 设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 ? x f ? x ? 2 ? ? 0 ? =( ) (A) ? x x ? ? 2 或 x ? 4 ? (C) ? x x ? 0 或 x ? 6 ? (B) ? x x ? 0 或 x ? 4 ? (D) ? x x ? ? 2 或 x ? 2 ?
? l gx , ? x ? 0 1 0 ? f (x) ? ? 1 x ? 6, x ? 10 ?? ? 2

3、(2010 课标全国卷文 12) 已知函数若

a , b , c 均不相等,

且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ,则 a b c 的取值范围是( ) (A) (1,1 0 ) (B) (5, 6 ) (C) (1 0 ,1 2 )
x

(D) ( 2 0, 2 4 )

4、(2010 山东卷文 3) 函数 f ? x ? ? lo g 2 ? 3 ? 1 ? 的值域为( ) (A) ? 0 , ? ? ? (B) ? 0 , ? ? ? ? (C) ? 1, ? ? ? (D) ?1, ? ? ? ?
x

5、 (2010 山东卷文 5) 设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x ) ? 2 ? 2 x ? b( b 当 为常数) ,则 f ( ? 1) ? ( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

6、(2010 山东卷文 8) 已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万 件)的关系式为 y ? ? ( )
1 3 x ? 8 1 x ? 2 3 4 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
3

(A)13 万件
2 '

(B)11 万件
4 '

(C) 9 万件
3 '

(D)7 万件

7、(2010 山东卷文 10) 观察 ( x ) ? 2 x , ( x ) ? 4 x , (co s x ) ? ? sin x ,由归纳推理可 得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ,记 g ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,则
g ( ? x ) =(



(A) f ( x )
x

(B) ? f ( x )
2

(C) g ( x )

(D) ? g ( x )

8、(2010 山东卷文 11) 函数 y ? 2 ? x 的图像大致是( )

1

9、 (2010 广东卷文 2)函数 f ( x ) ? lg( x ? 1) 的定义域是( ) (A)(2, ? ? ) (B)(1, ? ? ) (C)[1, ? ? )
x ?x x

(D)[2, ? ? )
?x

10、 (2010 广东卷文 3)若函数 f ( x ) ? 3 ? 3 (A) f ( x ) 与 g ( x ) 均为偶函数 (C) f ( x ) 与 g ( x ) 均为奇函数

与 g (x) ? 3 ? 3

的定义域均为 R ,则( )

(B) f ( x ) 为奇函数, g ( x ) 为偶函数 (D) f ( x ) 为偶函数, g ( x ) 为奇函数
x

11、 (2010 天津卷文 4)函数 f(x)= e ? x ? 2 的 零 点 所 在 的 一 个 区 间 是 ( (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) 12、 (2010 天津卷文 5)下列命题中,真命题是( )
2



(D) (1,2)

(A) ? m ? R , 使 函 数 f ( x ) = x ? m x ( x ? R ) 是 偶 函 数 (B) ? m ? R , 使 函 数 f ( x ) = x ? m x ( x ? R ) 是 奇 函 数 (C) ? m ? R , 使 函 数 f ( x ) = x ? m x ( x ? R ) 都 是 偶 函 数 (D) ? m ? R , 使 函 数 f ( x ) = x ? m x ( x ? R ) 都 是 奇 函 数
( 13、 (2010 天津卷文 6)设 a ? lo g 5 4, b ? lo g 5 3 ), c ? lo g 4 , 则 (
5 2
2 2 2



(A) a<c<b

(B) b<c<a

(C) a<b<c
2

(D) b<a<c

14、 (2010 天津卷文 10)设函数 g ( x ) ? x ? 2 ( x ? R ) ,
f ( x ) 的值域是(

f ( x ) ? { g ( x ) ? x , x ? g ( x ).

g ( x ) ? x ? 4 , x ? g ( x ),





(A) ? ?
?

?

9

9 ? ? 9 ? , 0 ? (1, ? ? ) (B) [0, ? ? ) (C) [ ? , ? ? ) (D) ? , 0 ? ( 2 , ? ? ) ? ? 4 ? 4 ? 4 ? ?

15、 (2010 浙江卷文 2)已知函数 f ( x ) ? lo g ? x ? 1 ? , 若 f ( a ) ? 1, 则 a ? ( (A)0 (B)1 (C)2
2 ? 1 1? x



(D)3 的一个零点,若

16 、( 2010 浙 江 卷 文 9 ) 已 知 x 是 函 数 f ( x ) ?

2

x 2 ? (1, x 0 ), x 2 ? ( x a , ? ? ) ,则(

) (B) f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0
2

(A) f ( x1 ) ? 0, f ( x 2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? 0

17、 (2010 辽宁卷文 4)已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ,若 x 0 满足关于 x 的方程
2 a x ? b ? 0 ,则下列选项的命题中为假命题的是(



(A) ? x ? R , f ( x ) ? f ( x 0 ) (C) ? x ? R , f ( x ) ? f ( x 0 )
2

(B) ? x ? R , f ( x ) ? f ( x 0 ) (D) ? x ? R , f ( x ) ? f ( x 0 ) )

? x ? 2 x ? 3, x ? 0 18、 (2010 福建卷文 7)函数 f ( x ) ? ? 的零点个数为( ? ? 2 ? ln x, x ? 0

(A)2

(B)2

(C)1
2

(D)0

19、 (2010 安徽卷文 6)设 abc>0,二次函数 f(x)=a x +bx+c 的图像可能是( )

2 5 ?3? ? ? ?5?

3 5 ? 2? ? ? ?5 ?

2 5 ? 2? ? ? ?5 ?

20、 (2010 安徽卷文 7)设 a= (A)a>c>b

,b=

,c=

,则 a,b,c 的大小关系是( ) (D)b>c>a
x ?1

(B)a>b>c
1

(C)c>a>b

? ) 21、 (2010 北京卷文 6) 给定函数① y ? x 2 , y ? log (1 x 1 ②
2

, y ? | x ?1| , y ? 2 ③ ④



其中在区间 (0 ,1) 上单调递减的函数序号是( ) (A)①②(B)②③(C)③④(D)①④ 22、 (2010 湖南卷文 8)函数 y=ax2+ bx 与 y= lo g 系中的图像可能是( )
b | | a

x

(ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标

3

23、 (2010 陕西卷文 7)下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f (x+y)=f(x)f(y) ”的是( ) (A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数 24、 (2010 陕西卷文 10)某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当 各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人 ... 数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x] x]表示不大于 x 的最大整数) ([ 可以表示为 ( ) (A)y=[
x 10

]

(B)y=[

x?3 10

]

(C)y=[

x?4 10

]

(D)y=[

x?5 10

]

25、 (2010 大纲全国Ⅰ卷文 7)已知函数 f ( x ) ? | lg x | .若 a ? b 且, f ( a ) ? f ( b ) ,则 a ? b 的取值范围是( ) (A) (1, ? ? ) (B) [1, ? ? ) (C) ( 2 , ? ? )
?2
1

(D) [ 2, ? ? )

26、 (2010 大纲全国Ⅰ卷文 10)设 a ? lo g 3 2, b ? ln 2, c ? 5

则( )

(A) a ? b ? c (B) b ? c ? a (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 27、 (2010 大纲全国Ⅱ卷文 4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是( ) (A)y= e
x ?1

-1(x>0) (B) y= e

x ?1

+1(x>0)

(C) y= e

x ?1

-1(x ? R) (D)y= e

x ?1

+1 (x ? R)

28 、 2010 大 纲 全 国 Ⅱ 卷 文 7 ) 若 曲 线 y ? x ? a x ? b 在 点 ( 0 ,b )处 的 切 线 方 程 是 (
2

x ? y ? 1 ? 0 ,则(

) (A) a ? 1, b ? 1 (B) a ? ? 1, b ? 1 (C) a ? 1, b ? ? 1 (D) a ? ? 1, b ? ? 1
1 6 ? 4 的值域是(
x

29、 (2010 重庆卷文 4)函数 y ? (A) [ 0 , ? ? ) (B) [ 0 , 4 ]



(C) [ 0 , 4 )

(D) ( 0 , 4 )
? lo g 3 x , x ? 0 ?2 , x ? 0
x

30、 (2010 湖北卷文 3)已知函数 f ( x ) ? ?
1 4

,则 f ( f ( )) ? ( )
9

1

(A)4

(B)

C)-4

(D)1

1 4

31、 (2010 湖北卷文 5)函数 y ?
3 4 3 4

lo g 0 .5 ( 4 x ? 3)

的定义域为(
3 4



A.(

,1)

B(

,∞)

C(1,+∞)

D. (

,1)∪(1,+∞) )

4 2 32、 (2010 江西卷文 4)若 f ( x ) ? a x ? b x ? c 满足 f ? (1) ? 2 ,则 f ? ( ? 1) ? (

4

(A) ? 4

(B) ? 2
ax 1? x

(C)2

(D)4

33、 (2010 江西卷文 8)若函数 y ? (A) 1 (B) ? 1

的图像关于直线 y ? x 对称,则 a 为( ) (C) ? 1 ) (D)任意实数

34、 (2010 四川卷文 2)函数 Y=l 2 的图象大致是(

(A)

(B)
2

(C)

(D)

35、2010 四川卷文 2) ( 函数 f ( x ) ? x ? m x ? 1 的图像关于直线 x ? 1 对称的充要条件是 ) ( (A) m ? ? 2 (B) m ? 2 (C) m ? ? 1 (D) m ? 1

36、 (2010 上海卷文 17)若 x 0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x 0 属于区间民( ) (A) (0,1). (B) (1,1.25). (C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2) 二、填空题 1、 (2010 江苏卷 5)设函数 f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数 a=_______ 2、 (2010 江苏卷 8)函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+bk 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=____
? x 2 ? 1, x ? 0 2 3、 (2010 江苏卷 11) 已知函数 f ( x ) ? ? ,则满足不等式 f ( 1 ? x ) ? f ( 2 x ) 的 ? 1, x ? 0

x 的范围是____ 4、 (2010 江苏卷 14)将边长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其 中一块是梯形,记 S=
( 梯形的周长) 梯形的面积
2

,则 S 的最小值是______ ,对任意 x ? [1, ? ? ) , f ( m x ) + m f ( x ) < 0 恒成立,则

5、 (2010 天津卷文 16)设函数 f(x)=x-

1 x

实数 m 的取值范围是________ 6、 (2010 浙江卷文 16)某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售 额为 500 万元,七月份销售额比六份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月 份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是 7、 (2010 陕西卷文 15)已知函数 f ( x ) ? ?
? 3 x ? 2 , x ? 1, ? x ? a x , x ? 1,
2

若 f ( f (0 )) ? 4 a ,则实数 a=

5

8、 (2010 重庆卷文 12)已知 t ? o ,则函数 y ?
( 9 、 上 海 卷 文 9 ) 函 数 f ( x ) ? l o 3g x?

t ? 4t ? 1
2

的最小值为

t
3 )反函数的图像与 y 轴的交点坐标是 的

4 5 x

10、 (2009 上海卷文 3)若行列式 1 x 3
7 8 9

中,元素 4 的代数余子式大于 0,则 x 满足的条

件是__________________ 三、解答题 1、(2010 课标全国卷文 21) 设函数 f ( x ) ? x ? e ? 1 ? ? a x
x 2

(1)若 a=

1 2

,求 f ( x ) 的单

调区间;

(Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围
1? a x ? 1( a ? R ) 1 2

2、 (2010 山东卷文 21)已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ?

(1)当 a ? ? 1 时,

求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程; (2)当 a ?

时,讨论 f ( x ) 的单调性

3、 (2010 广东卷文 20)已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x ) ? kf ( x ? 2 ) ,其中常数 k 为 负数,且 f ( x ) 在区间 ? 0 , 2 ? 上有表达式 f ( x ) ? x ( x ? 2 ) . (1)求 f ( ? 1) , f ( 2 .5 ) 的值;
w_w w. k#s5_u. c o* m

(2)写出 f ( x ) 在 ? ? 3, 3 ? 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 ? ? 3, 3 ? 上的单调性; (3)求出 f ( x ) 在 ? ? 3, 3 ? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值 4、 (2010 江苏卷 20)设 f ( x ) 使定义在区间 (1, ?? ) 上的函数,其导函数为 f ' ( x ) .如果存在 实 数 a 和 函 数 h ( x ) , 其 中 h ( x ) 对 任 意 的 x ? (1, ?? ) 都 有 h ( x ) >0 , 使 得
f ' ( x ) ? h ( x )( x
2

? ax ? 1) ,则称函数 f ( x ) 具有性质 P ( a ) .
b? 2 x ?1 ( x ? 1 ) ,其中 b 为实数

(1)设函数 f ( x ) ? h ( x ) ?

①求证:函数 f ( x ) 具有性质 P (b ) ; (2) 已 知 函 数
g (x)

②求函数 f ( x ) 的单调区间 具 有 性 质
P (2)







x 1 , x 2 ? (1, ?? ), x 1 ? x 2 , 设 m 为实数, ? ? mx 1 ? (1 ? m ) x 2 , ? ? (1 ? m ) x 1 ? mx 2 ,且

? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m 的取值范围

5、 (2010 天津卷文 20)已知函数 f(x)= a x ?
3

3 2

x ? 1( x ? R ) ,其中 a>0.
2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程;
6

(Ⅱ)若在区间 ? ?
?

?

1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围 2 2? ?
2

6、 (2010 浙江卷文 21)已知函数 f ( x ) ? ( x ? a ) ( x ? b ) ( a , b ? R , a ? b ) (Ⅰ)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)设 x1,x2 是 f(x)的两个极值点,x3 是 f(x)的一个零点,且 x3≠x1,x3≠x2. 证明:存在实数 x4,使得 x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后构成等差数列,并求 x4. 7、 (2010 辽宁卷文 21)若函数 f ( x ) ? ( a ? 1) ln x ? a x ? 1 .(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
2

(Ⅱ)设 a ? ? 2 ,证明:对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 | x1 ? x 2 | 8、 (2010 福建卷文 22)已知函数 f ( x ) ? 方程为 y ? 3 x ? 2 。
1 3 m x ?1 x ? x ? ax ? b
3 2

的图象在点 P (0, f (0 )) 处的切线 是 [ 2, ? ? )

(Ⅰ)求实数 a、 b 的值; (Ⅱ)设 g (x ) ? f (x ) ?

上的增函数。 (ⅰ)求实数 m 的最大值;

(ⅱ)当 m 取最大值时,是否存在点 Q ,

使得过点 Q 的直线能与曲线 y ? g ( x ) 围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相 等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由 9、 (2010 安徽卷文 20)设函数 f ? x ? ? sin x ? co s x ? x ? 1 , 0 ? x ? 2 ? ,求函数 f ? x ? 的 单调区间与极值 10、 2010 北京卷文 18) ( 设定函数 f ( x ) ?
a 3 x ? bx ? cx ? d (a ? 0) , 且方程 f ( x ) ? 9 x ? 0
3 2
'

的两个根分别为 1,4。 (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x ) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 无极值点,求 a 的取值范围 11、 (2010 湖南卷文 21)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;
3 3 2 x ( ? 2 x ? 3 a x ? 6 a x ? 4 a ? 6 a ) e , x ?1 e ? f ( x ), x ?1

a x

? x ? ( a ? 1) ln x ? 1 5 a , 其中 a<0,且 a≠-1.

(Ⅱ)设函数

g (x) ? {

(e 是自然数的底数) 。是否存在 a,

使 g ( x ) 在[a,-a]上为减函数?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由 12、 (2010 陕西卷文 21)已知函数 f(x)= x ,g(x)=alnx,a ? R。

7

(1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交, 且在交点处有相同的切线, a 的值及该切线方程; 求 (2)设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最小值 ? (a)的解析式; (3)对(2)中的 ? (a) ,证明:当 a ? (0,+ ? )时, ? (a) ? 1. 13、 (2010 全国大纲卷Ⅰ文 21)已知函数 f ( x ) ? 3 a x ? 2 (3 a ? 1) x ? 4 x
4 2

(I)当 a ?

1 6

时,求 f ( x ) 的极值; (II)若 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数,求 a 的取值范围
3 2

14、 (2010 全国大纲卷Ⅱ文 21)已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围 15 、 2010 重 庆 卷 文 19 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? a x 3 ? x 2 ? b x ( 其 中 常 数 a , b ∈ R ) 市 ( ,
g ( x ) ? f ( x ) ? f '( x )

是奇函数.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式;

(Ⅱ)讨论 g ( x ) 的单调性,并求 g ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 上的最大值与最小值
f 16、 (2010 湖北卷文 21)设函数 ( x ) = 1 3 x ?
3

a 2

x ? b x ? c ,其中 a>0,曲线 y ? ( x ) f
2

f 在点 P(0, ( 0 ))处的切线方程为 y=1

(Ⅰ)确定 b、c 的值

f f f (Ⅱ)设曲线 y ? ( x )在点( x 1, ( x 1) )及( x 2, ( x 2))处的切线都过点(0,2)

证明:当 x 1 ? x 2 时, f '( x 1 ) ? f '( x 2 )
f (Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线 y ? ( x )的三条不同切线,求 a 的取值范围

17、 (2010 江西卷文 17)设函数 f ( x ) ? 6 x ? 3( a ? 2 ) x ? 2 a x .
3 2

(1)若 f ( x ) 的两个极值点为 x 1 , x 2 ,且 x1 x 2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 是 ( ? ? , ? ? ) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由
f(x)? 1? a 1? a
x x

18、 (2010 四川卷文 22)设 (Ⅰ)求 g ( x ) ;

(a ? 0 且a ? 1 ) ,g(x)是 f(x)的反函数

(Ⅱ)当 x ? [ 2, 6 ] 时,恒有 g ( x ) ? lo g a

t ( x ? 1)(7 ? x )
2

成立,求 t 的取值范围;

1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较 f(1)+f(2)+?+f(n)与 n ? 4 的大小,并说明理由 2

8



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