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2.2.1二项分布及其运用13072206



2.2 二项分布及其应用

2.2.1 条件概率

在某次数学考试中,从20道题中随机抽取6道题,若 考生至少能答对其中的4道即可通过;若至少能答对其中5 道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道 他在这次考试中已经通过,他获得优秀成绩的概率是多少?

阅读教材51~52页

探究:

3张奖券中只有1张能中奖,现分别由3名同学无 放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否 比其他同学小?
若三张奖券用X1,X2,Y表示,其中中奖奖券用“Y” 表示, 则所有可能的抽取情况为

Ω={X1X2Y, X2X1Y, X1YX2,X2YX1, YX1X2,YX2X1},
用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件,则

B={X1X2Y, X2X1Y},
故最后一名同学抽到中奖奖券的概率为:

n( B ) 2 1 P( B) ? ? ? . n(? ) 6 3

思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖 券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是 多少? 因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券, 故所有可能的抽取情况变为

n( B ) 2 1 ? ? . 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 n( A) 4 2
则将“已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下, 最后一名同学抽到中奖奖券”的概率记作: P ( B A).
1 1 P ( B A) ? ? P ( B ) ? . 3 2

A={X1X2Y, X2X1Y, X1YX2,X2YX1},

知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一 名同学抽到中奖奖券的概率呢? 在这个问题中,知道第一名同学没有抽到中奖奖券, 等价于知道事件A={X1X2Y, X2X1Y, X1YX2,X2YX1}一 定会发生,导致可能出现的基本事件必然在事件A中, 从而影响事件B发生的概率,使得 P( B A) ? P( B).

既然已经知道事件 A必然发生 , 所以只需局限在 A 发生的范围内考虑问题 .在事件A发生的情况下事 件B发生, 等价于事件A和事件B同时发生 ,即AB发 生.对于古典概型 ,由于组成事件 A的各个基本事件 发生的概率相等 ,因此其条件概率为 n?AB? P?B | A ? ? . n?A ? 为了把条件概率推广到 一般情形 , 我们对上述公式作 n?AB? n?AB? / n?Ω ? P?AB? 如下变形: P?B | A ? ? ? ? . n?A ? n?A ? / n?Ω ? P?A ? P?AB? 因此有P?B | A ? ? .这个式子已经不涉及古 典 P?A ? 概型, 可以把它作为条件概率 的推广定义 .

P?AB? P?B | A ? ? P?A ?

一般地,设A,B为两个事件 .且P?A ? ? 0, 称

为在事件A发生的条件下, 事件B发生的 条件 概率 (conditional probability ).一般把P?B | A ? 读作A发生的条件下B的概率.
由这个定义可知,对任意两个事件A,B,若P(A)>0, 则有P(AB)=P(B|A)· P(A),并称上式为概率的乘法公式.

条件概率具有概率的性 质, 任何事件的条件 概率都在0和1之间,即 0 ? P?B | A ? ? 1.
如果B和C是两个互斥事件 ,则

P?B ? C | A ? ? P?B | A ? ? P?C | A ?.

例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回 地依次抽取2道题, 求 ?1?第1次抽到理科题的概率 ; ?2?第1次和第2次都抽到理科题的概率 ; ?3?第1次抽到理科题的条件下 , 第2次抽到理科题的概率 . 解 设第 1 次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为 事件B, 则第1次和第2次都抽到理科题的事件为AB.

?1?从5道题中不放回地依次抽出2道的事件为n?Ω ? ?

2 A5 ? 20. 1 根据分步乘法计数原理, n?A ? ? A 1 ? A 3 4 ? 12, 于是 n?A ? 12 3 P?A ? ? ? ? . n?Ω ? 20 5

?2?因为 n?AB? ? A ? 6, 所以 n?AB? 6 3 P?AB? ? ? ? . n?Ω? 20 10 ?3?解法1 则?1??2?可得, 在第1次抽到理科题的条
2 3

件下,第2次抽到理科题的概率为 P?AB? 3 / 10 1 P?B | A ? ? ? ? . P?A ? 3/5 2

解法 2 因为 n?AB? ? 6, n?A ? ? 12, 所以 n?AB? 6 1 P?B | A ? ? ? ? . n?A ? 12 2 在实际应用中 , 解法2是一种重要的求条件概 率的方法 .

说 明:

概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系: 联系:事件A,B都发生了. 区别: (1)在P(B|A)中,事件A,B发生有时间上的差异,A先B后; 在P(AB)中,事件A,B同时发生. (2)样本空间不同,在P(B|A)中,事件A成为样本空间; 在P(AB)中,样本空间仍为Ω.因此有P(B|A) ≥ P(AB).

例 2 一张储蓄卡的密码共有 6位数字 , 每位 数字都可从0 ~ 9中任选一个 .某人在银行自 动提款机上取钱时 ,忘记了密码的最后一位 数字.求 ?1? 任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对 的概率; ?2?如果它记得密码的最后 一位是偶数 ,不超 过 2次就按对的概率 .

解 设第 i次按对密码为事件 A i , ?i ? 1 ,2?, 则A ? A1 ? A1A 2 表示不超过 2次就按 对密码 .

?

?

?1?因为事件 A1与事件 A1A 2互斥,由概率
的加法公式得 P?A ? ? P?A1 ? ? P A1A 2

?

?

?2?用B表示最后一位按偶数的 事件,则 P?A | B? ? P?A1 | B? ? P?A1A 2 | B?
1 4 ?1 2 ? ? ? . 5 5? 4 5

1 9 ?1 1 ? ? ? . 10 10 ? 9 5

课后作业
1. 教辅《新概念》课时作业 37页 2.2.1

2. 教辅《新概念》 84页~87页



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