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高考一轮复习 考点规范练58 离散型随机变量及其分布列


考点规范练 58

离散型随机变量及其分布列
基础巩固组

1.袋中有 3 个白球,5 个黑球,从中任取两个,可以作为随机变量的是 ( ) A.至少取到 1 个白球 B.至多取到 1 个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 答案:C 解析:选项 A,B 表述的都是随机事件,选项 D 是确定的值 2,并不随机;选项 C 是随机变量,可能 取值为 0,1,2. 2.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0) 等于( A.0 ) B.


C.

D.

答案:C 解析:设 X 的分布列为 X P 0 p 1 2p


即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为 p,则成功率为 2p.由 p+2p=1,则 p=,故 应选 C. 3.(2015 武汉模拟)从装有 3 个白球,4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球,恰好是 2 个白球,1 个 红球的概率是( ) A. 答案:C 解析:这是一个超几何分布问题,所求概率为 P= 4.随机变量 X 的分布列如下: X P 其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)等于( A.





B.



C.



D.



= . 0 b 1 c



-1 a ) D.


B.

C.

答案:D 解析:∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c.
1

又 a+b+c=1,

∴b=. ∴P(|X|=1)=a+c=.
5.(2015 福建厦门质检)设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=m A. 答案:B 解析:由分布列的性质得 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=m× +m× +m×




(k=1,2,3),则 m 的值为(

)

B.



C.



D.



=



=1.∴m=.



6.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)=(+)(n=1,2,3,4),其中 a 是常数, 则P 答案: 解析:由题意知


< < 的值为



.

+ × + × + × × a=1, ×










即a=1,解得 a=. 故P


< < =P(X=1)+P(X=2)




= × + × = . 7.设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 P 0.2 求|X-1|的分布列. 解:由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得 m=0.3. 首先列表为: X 0 1 2 3 η=|X-1| 1 0 1 2 所以 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

4 3

P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=0.3,P(η=3)=0.3. 因此 η=|X-1|的分布列为:
2

|X-1| P

0 0.1

1 0.3

2 0.3

3 0.3

8.(2015 南昌模拟)从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活动. (1)求所选 3 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 3 人中男生人数 X 的分布列. 解:(1)所选 3 人中恰有一名男生的概率 P= (2)X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X=0)= = ,P(X=1)=


= .









= ,




P(X=2)=



= ,P(X=3)= = .






∴X 的分布列为
X P 0 1 2 3

9.4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元. (1)从中任取 1 支,求其标价 X 的分布列; (2)从中任取 2 支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价,求 Y 的分布列. 解:(1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40,且取得任一支的概率相等,故 X 的分布列为 X 10 20 30 40 P

(2)根据题意,Y 的可能取值为 20,30,40, P(Y=20)= = ,






P(Y=30)= = ,






P(Y=40)= = .






故 Y 的分布列为 Y P 20 30 40
3

10.盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随机变量 X 表 示 x1,x2,x3 中的最大数,求 X 的概率分布. 解:(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球, 所以 P=
+ +

=

++

= .





(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. {X=4}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)= = ; {X=3}表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球,或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”,故 P(X=3)=
+



=


+

= ;




于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1- ? = . 所以随机变量 X 的概率分布如下表:
X P 2 3 4

11.一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中位数.) 解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P= (2)X 的所有可能值为 1,2,3,且 P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
+ +

= .



= , = ,




+ +



= ,
X P 1 2 3 4



故 X 的分布列为

能力提升组
12.将一颗骰子掷两次,随机变量为( ) A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 答案:C 解析:A,B 中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所反映的结果,都不是本题涉及试验的结 果.D 中出现相同点数的种数就是 6 种,不是变量.C 整体反映两次投掷的结果,可以预见两次出 现数字的和是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这 11 种结果,但每掷一次前,无法预见是 11 种中的哪一个, 故是随机变量,选 C. 13.抛掷 2 颗骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)= A.


(

)

B.



C.



D.



答案:A 解析:相应的基本事件空间有 36 个基本事件, 其中 X=2 对应(1,1);X=3 对应(1,2),(2,1);X=4 对应(1,3),(2,2),(3,1).所以 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= + + = . 14.(2015 河南信阳一模)


如图所示,A,B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.记从 中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为 X,则 P(X≥8)= . 答案: 解析:由已知得,X 的取值为 7,8,9,10,故 P(X≥8)与 P(X=7)是对立事件,所以 P(X≥8)=1P(X=7)=1



= .



15.盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列.
5

解:(1)记“取出的 3 个球中至少有一个红球”为事件 A,其对立事件为“取出的 3 个球中没有红 球”, 其概率为 P(A)=1- = .






(2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 C,则 P(B∪C)=P(B)+P(C)=


+



= .



(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,ξ 服从超几何分布, P(ξ=k)=
-

,k=0,1,2,3.


则 P(ξ=0)= = ,




P(ξ=1)= P(ξ=2)=



= , = ,






P(ξ=3)= = .




故 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

16.某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年 3 月份参加义务植树活动的职工中,随机抽 取 M 名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分 布直方图如图: 分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 频数 5 12 m 1 M 频率 0.25 n p 0.05 1

6

(1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在[25,30)区间的职工发放价值 800 元的奖 品,对植树株数在[20,25)区间的职工发放价值 600 元的奖品,对植树株数在[15,20)区间的职工发 放价值 400 元的奖品,对植树株数在[10,15)区间的职工发放价值 200 元的奖品,在所取样本中, 任意取出 2 人,并设 X 为此二人所获得奖品价值之差的绝对值,求 X 的分布列. 解:(1)由题可知=0.25, =n,=p, 又 5+12+m+1=M, 解得 M=20,n=0.6,m=2,p=0.1, 则[15,20)组的频率与组距之比 a 为 0.12. (2)两人所获得奖品价值之差的绝对值可能为 0 元,200 元,400 元,600 元,则 P(X=0)=
+ +







=

++

= ,




P(X=200)= P(X=400)=

+ +

= ,

+

= ,



P(X=600)= = .





所以 X 的分布列为 X P 0 200 400 600

7


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