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高中数学必修4教学设计1.3.4 诱导公式



34 诱导公式

教材分析
这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础, 利用单位圆和三角函数的 定义,导出三角函数的五组诱导公式,即有关角 k· 360° +α,180° +α,-α,180° -α,360° -α 的公式,并通过运用这些公式,把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值, 从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想.

这节课的重点是后四组诱导公式以及这 五组公式的综合运用. 把这五组公式用一句话归纳出来, 并切实理解这句话中每一词语的含 义, 是切实掌握这五组公式的难点所在. 准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征, 并且把公式二、三与图形对应起来,是突破上述难点的关键.

教学目标
1. 在教师的引导下,启发学生探索发现诱导公式及其证明,培养学生勇于探求新知、 善于归纳总结的能力. 2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式,并能应用这些公式解决一些求值、化简、 证明等问题. 3. 让学生体验探索后的成功喜悦,培养学生的自信心. 4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径,进一步树立化归思想.

任务分析
诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值. 在 五组诱导公式中,关于 180° +α 与-α 的诱导公式是最基本的,也是最重要的.在推导这两 组公式时,应放手让学生独立探索,寻求“180°+α 与角 α 的终边”及“-α 与角 α 的终边”之 间的位置关系,从而完成公式的推导.此外,要把 90° ~360° 范围内的三角函数转化为锐角 的三角函数,除了利用第二、四、五个公式外,还可以利用 90° +α,270°±α 与 α 的三角函 数值之间的关系. 应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式, 从而 使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构.

教学设计
一、问题情境 教师提出系列问题 1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值,现在角的概念已经推广到了任意角,能否 把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢?

2. 当 α=390° 时,能否求出它的正弦、余弦和正切值? 3. 由 2 你能否得出一般性的结论?试说明理由. 二、建立模型 1. 分析 1 在教师的指导下,学生独立推出公式(一),即

2. 应用 1 在公式的应用中让学生体会公式的作用, 即把任意角的三角函数值转化为 0° ~360° 范围 内的角的三角函数值. 练习:求下列各三角函数值.

(1)cos 3. 分析 2

π.

(2)tan405° .

如果能够把 90° ~360° 范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值, 即可实现“把 任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标.例如,能否将 120° ,240° ,300° 角 与我们熟悉的锐角建立某种联系,进而求出其余弦值? 引导学生利用三角函数的定义并借助图形,得到如下结果:

cos120° =cos(180° -60° )=-cos60° =-



cos240° =cos(180° +60° )=-cos60° =-



cos300° =cos(360° +60° )=cos60° = 4. 分析 3



一般地,cos(180° +α),cos(180° -α),cos(360° -α)与 cosα 的关系如何?你能 证明自己的结论吗?由学生独立完成下述推导:

设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y).由于角 180° +α 的终边就是角 α 的终边的反 向延长线,则角 180° +α 的终边与单位圆的交点 P′与点 P 关于原点 O 对称. 由此可知,点 P′的坐标是(-x,-y).

又∵单位圆的半径 r=1,∴cosα=x,sinα=y,tanα= (180° +α)=-y,tan(180° +α)= 从而得到: .

,cos(180° +α)=-x,sin

5. 分析 4 在推导公式三时,学生会遇到如下困难,即:若 α 为任意角,180° -α 与角 α 的终边的 位置关系不容易判断.这时,教师可引导学生借助公式二,把 180° -α 看成 180° +(-α), 即:先把 180° -α 的三角函数值转化为-α 的三角函数值,然后通过寻找-α 的三角函数值 与 α 的三角函数值之间的关系,使原问题得到解决. 由学生独立完成如下推导: 如图,设任意角 α 的终边与单位圆相交于 P(x,y),角-α 的终边与单位圆相交于点 P′.∵这两个角的终边关于x轴对称,∴点 P′的坐标是(x,-y).又∵r=1,∴cos(-α) =x,

sin(-α)=-y,tan(-α)= 从而得到:

进而推出:

注:在问题的解决过程中,教师要注意让学生充分体验成功的快乐. 6. 教师归纳 公式(一)、(二)、(三)、(四)、(五)都叫作诱导公式,利用它们可以把 k· 360° +α,180°±α,-α,360° -α 的三角函数转化为 α 的三角函数.那么,在转化过程中,发生 了哪些变化?这种变化是否存在着某种规律? 引导学生进行如下概括:α+k· 360° (k∈Z),-α,180°±α,360° -α 的三角函数值, 等于 α 的同名函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.为了便于记忆,还可 编成一句口诀“函数名不变,符号看象限”. 三、解释应用 [例 题]

1. 求下列各三角函数值.

通过应用,让学生体会诱导公式的作用: ①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,其一般步骤为

评注:本题中,若代入 cosα·cot3α 形式,就须先求得 cosα 的值.由于不能确定角 α 所 在象限,解题过程将变得烦锁.以此提醒学生注意选取合理形式解决问题. 四、拓展延伸 教师出示问题:前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角 α+k· 360° (k∈Z), -α,180°±α,360° -α 的三角函数与角 α 的三角函数之间的关系,这些角有一个共同点, 即:均为 180° 的整数倍加、减 α.但是,在解题过程中,还会遇到另外的情况,如前面遇到 的 120° 角,它既可以写成 180° -60° ,也可以写成 90° +30° ,那么 90° +α 的三角函数与 α 的三角函数有着怎样的关系呢?

学生探究:经过独立探求后,有学生可能会得到如下结果: 设角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),角 90° +α 的终边与单位圆交于点 P′(x′,y′) (如图),则 cosα=x,sinα=y,cos(90° +α)=x′,sin(90° +α)=y′. 过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 P′作 P′M′⊥y 轴,垂足为 M′,则△OPM≌△OP′M′, ∴OM=OM′,MP=M′P′,即 x=y′,y=x′. 进而得到 cos(90° +α)=sinα,sin(90° +α)=cosα.对此结论和方法,教师不宜作 任何评论,而应放手让学生展开辩论和交流,最后得到正确结果: 由于 OM 与 OM′,MP 与 M′P′仅是长度相等,而当点 P 在第一象限时,P′在第二象限, ∴x′<0,y′>0, 又∵x>0,y>0,∴x′=-y,y′=x. 从而得到:

教师进一步引导: (1)推导上面的公式时,利用了点 P 在第一象限的条件.当点P不在第一象限时,是 否仍有上面的结论? (通过多媒体演示角 α 的终边在不同象限的情景, 使学生理解公式六中的角 α 可以为任 意角) (2)推导公式六时,采用了初中的平面几何知识.是否也能像推导前五组公式那样采 用对称变换的方式呢? 学生探究:学生先针对 α 为锐角时的情况进行探索,再推广到 α 为任意角的情形.

设角 α 的终边与单位圆交点为 P(x,y), (如图).由于角 α 的终边经过下述变换:2(

+α 的终边与单位圆的交点为 P′(x′,y′) -α) +2a= ,即可得到 +α 的终

边.这是两次对称变换,即先作 P 关于直线 y=x 的对称点 M(y,x),再作点 M 关于 y 轴的对称点 P′(-y,-x),∴x′=-y,y′=x.

由此,可进一步得到:

教师归纳:公式六、七、八、九也称作诱导公式,利用它们可以把 90°±α,270°±α 的三 角函数转化为 α 的三角函数. 引导学生总结出: 90°±α,270°±α 的三角函数值等于 α 的余名函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函 数值的符号. 两套公式合起来,可统一概括为

对于 k·90°±α(k∈Z)的各三角函数值,当 k 为偶数时,得 α 的同名函数值;当 k 为奇 数时,得 α 的余名函数值.然后,均在前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.为了 便于记忆,也可编成口诀:“奇变偶不变,符号看象限”.





这篇案例从学生的实际出发,充分尊重学生的思维特点,通过创设问题情境,引发认知 冲突,较好地调动了学生的积极性和主动性,符合新课程理念的精神.在教学设计中,教师 以学生活动为主,注意师生互动,体现学生的自主学习.实际的课堂教学表明,在教学过程 中,教师对每名同学的发言都给以充分地鼓励,即使他的解法不完美,甚至不正确.这对保 护学生大胆尝试、认真思考的积极性至关重要.只有这样,才能将教学效果落实到学生个体 的学习行为上,进而实现预期的教学目标.总之,这篇案例的突出特点就是,注意通过问题 驱动的方式,激发学生主动探究的热情,完成五组诱导公式的推导.缺陷是,在关注五组诱 导公式推导的“一气呵成”的同时,巩固、强化工作显得单薄.这是一对棘手的矛盾!



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