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【同步备课】高中数学(北师大版)必修三教案:3.2 例析古典概型的求解策略


例析古典概型的求解策略
古典概型比较简单,易于理解,在实践中也有广泛的应用,但在计算基本事 件总数和基本事件数时,往往容易出错,为帮助解决此困难,本文给出求解策略, 供同学们学习参考.

一、多角度观察、计算验证 古典概型两大特点是有限性和等可能性,由于观察角度不同,所对应基本事 件个数不同,但所求概率相同.一定注意必须在同一角度观察,否则容易引起混乱. 例1 同时抛掷两个骰子,计算所得点数是偶数的概率.

分析:根据题目的意思,此问题符合古典概型的两个条件,在求解的过程中,关 键要搞清楚总的基本事件数和符合要求的基本事件总数. 解法 1:两个骰子的点数各有 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况,因而共有 6 ? 6 ? 36 种 不同的结果,由于骰子是均匀的,这些结果是等可能的.又由于偶数=奇数+奇数=偶 数 +偶数. 而骰子上奇、偶数各有 3 个,故点数之和是偶数记为事件 A ,包含有
3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 18 种可能结果,所以

P ( A) ?

18 1 ? . 36 2

解法 2:由于每个骰子上奇、偶数各有 3 个,而按两个骰子的点数顺次写时, 偶数=奇数+奇数=偶数+偶数,奇数=奇数+偶数=偶数+奇数. 故看成“奇数+奇数” 、 “奇数+偶数” 、 “偶数+奇数” 、 “偶数+偶数”这 4 种等
P( A) ? 2 1 ? . 4 2

可能结果,所以

解法 3:由解法 2,知可看成“点数之和是偶数” , “点数之和是奇数”这两种
P ( A) ? 1 . 2

等可能,所以

评注:在解法 2 中,不要认为只有“奇数+奇数” 、 “奇数+偶数” 、 “偶数+偶数”
P ( A) ? 2 . 3 另外,一题多解也起到检验对错的效

这 3 种等可能结果,从而得出错解 果.

-1-

二、列表求解 例 2 在两个正六面体的骰子的各面上分别标明数字 1,2,3,4,5,6,在一个正

十二面体的骰子(假设存在这样的骰子)的各面标明数字 1,2,3,?,12.问投掷两个 正六面体的骰子所得点数的概率分布是否相同 ,即投掷一个正十二面体的骰子可 否代替投掷两个正六面体的骰子? 解析:投掷一个正六面体的骰子,出现的点数共有 6 种可能,投掷两个正六面体 的骰子时,由于对第一个骰子的每一种可能,都能搭配第二个骰子的 6 种可能,共有
1 . 36 种搭配,每一种搭配出现的可能性都是 36 而一点数之和往往有几种搭配方式,

因此各种点数出现的可能性不是一样的,具体情况如下表示: 点数和 1 2 3 4 5 6 7 无 (1,1) (1,2)、 (2,1) (1,3)、 (2,2) 、 (3,1) (1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1) 搭配情况 0 1 2 3 4 搭配数 0
1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36

出现概率

(1,5)、 (2,4)、 (3,3)、 (4,2)、 (5,1) 5 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、 (5,2)、(6,1) 6

8 9 10 11 12

(2,6)、 (3,5)、 (4,4)、 (5,3)、 (6,2) 5 (3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3) (4,6)、(5,5)、(6,4) (5,6)、(6,5) (6,6) 4 3 2 1

从表中可以看到,6 点、7 点和 8 点的可能性较大,2 点、3 点、11 点和 12 点
-2-

出现的可能性较小, 1 点不可能出现.若我们用一个正十二面体的骰子投掷时,显然
1 , 各点数出现的可能性都是一样的,其概率是 12 所以,投掷一个正十二面体的骰子

代替不了投掷两个正十二面体的骰子. 三、数形结合求解 例3 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布) ,求

(1)平局的概率; (2)甲赢的概率; (3)乙赢的概率. 分析:甲有 3 种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的 3 种不同的出法,一次出拳游戏共有 3 ? 3 ? 9 种不同的结果,这 9 种结果是等可能 的,所以是古典概型,它的基本事件总数为 9,平局的含义是两人出法相同;甲赢 的含义是甲出锤乙出剪、甲出剪乙出布、甲出布乙出锤这 3 种情况.同时乙赢也有 3 种情况. 解:设平局事件为 A ,甲赢为事件 B ,乙赢为事件 C ,由图易知: (1)平局含有 3 个基本事件(图中¥); (2)甲赢含有 3 个基本事件(图中*); (3)乙赢含有 3 个基本事件(图中#). 由古典概型的计算公式可得
P( A) ? 3 1 3 1 3 1 ? , P( B) ? ? , P(C ) ? ? . 9 3 9 3 9 3

评注:有些题目若能数形结合,可避免出现遗漏或重复 , 能直观准确地把握基本事件的个数,为准确求解概率提供保障.

-3-


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