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第五节 对数函数(2015届三年高考专题复习)



第五节

对数函数

高考试题
考点一 对数与对数运算
1.(2010 年四川卷,理 3)2log510+log50.25 等于( (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2. 答案:C 2.(2013 年浙江卷,理 3)已知 x,y

为正实数,则( (A)2 (B)2 (C)2 (D)2 2
lg x lg x+lg y lg(x+y)

)

)

=2 +2
lg x

lg x

lg y lg y lg y

=2

·2

lg x·lg y lg(xy)

=2 +2
lg x

lg x

=2

·2

lg y lg y

解析:2 ·2

lg x+lg y lg y

=2

lg x

·2

,选项 A 错; ,选项 B 错;

=2

lg x+lg y

=2

lg(xy)

令 x=10,y=10, 则2 2
lg x lg x·lg y lg y

=2,

+2 =4,选项 C 错.故选 D. )

答案:D 3.(2013 年新课标全国卷Ⅱ,理 8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c 解析:∵1<log23<log25<log27, ∴

1 1 1 > > >0, log 2 3 log 2 5 log 2 7

即 log32>log52>log72, a=log3(3×2)=1+log32,b=log510=1+log52, c=log714=1+log72, ∴a>b>c. 故选 D. 答案:D 4.(2011 年四川卷,理 13)计算(lg 解析:(lg 答案:-20
1 ? 1 -lg 25)÷ 100 2 = 4

.

1 ? 1 1 1 -lg 25)÷ 100 2 =lg ÷ =-20. 100 4 10

考点二 对数函数的图象与性质
1.(2012 年大纲全国卷,理 9)已知 x=ln π ,y=log52,z= e (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x 解析:x=ln π >1,y=log52=
1 1 < , log 2 5 2
? 1 2

,则(

)

z= e

?

1 2

=

1 1 1 , < <1, e 2 e

所以 y<z<x. 故选 D. 答案:D 2.(2010 年大纲全国卷Ⅰ,理 8)设 a=log32,b=ln 2,c= 5 2 ,则( (A)a<b<c (B)b<c<a (C)c<a<b (D)c<b<a 解析:a=log32=
? 1

)

1 1 ,b=ln 2= , log 2 3 log 2 e

而 log23>log2e>1, 所以 a<b.c= 5 2 =
? 1

1 , 5

而 5 >2=log24>log23, 所以

1 1 < 5 log 2 3

即 c<a,综上 c<a<b. 答案:C 3.(2010 年大纲全国卷Ⅰ,理 10)已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( (A)(2 2 ,+∞) (B)[2 2 ,+∞) (C)(3,+∞) (D)[3,+∞) )

解析:因为 f(a)=f(b), 所以|lg a|=|lg b|, 所以 a=b(舍去),或 b= 即 a+2b=a+ 又 0<a<b, 所以 0<a<1<b, 令 f(a)=a+
2 , a 2 , a 1 , a

又 f(a)在 a∈(0,1)上为减函数, 所以 f(a)>f(1)=1+
2 =3, 1

即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 故选 C. 答案:C 4.(2011 年江苏卷,2)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 解析:因为 2x+1>0, 所以定义域为(.

1 ,+∞), 2 1 ,+∞). 2

由复合函数的单调性知,函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是(-

答案: (-

1 ,+∞) 2

模拟试题
考点一 求值问题
1.(2013 茂名高三上学期期末)已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则 f((A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2

1 )等于( 2

)

解析:f(答案:B

1 1 1 )=-f( )=-log2 =-(-1)=1. 2 2 2

? x ? 3 , x ? 0, ? 2.(2012 重庆一模)已知函数 f(x)= ? 5,0 ? x ? 1, 则 f(f(f(-2012)))= ? log x, x ? 1 1 ? 5 ?

.

解析:f(-2 012)=3

-2 012

,f(3

-2012

)= 5 ,f( 5 )= log 1 5 =5

1 . 2

答案:-

1 2
2

考点二 对数函数的图象与性质
1.(2012 安徽皖南八校联考)已知函数 f(x)=log2(x -2x+a)的值域为[0,+∞),则正实数 a 等于( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由已知得函数 y=x -2x+a 的值域为[1,+∞),即 y=x -2x+a 的最小值为 1,所以 故选 B. 答案:B 2.(2013 四川省宜宾市高三一诊)若函数 y=lg|ax-1|的图像关于 x=2 对称,则非零实数 a= 解析:由于函数关于 x=2 对称,故 a×2-1=0,得 a= 答案: .
2 2

)

4a ? 4 =1,解得 a=2. 4

1 . 2

1 2
* *

3.(2012 长春名校联考)令 f(n)=logn+1(n+2)(n∈N ).如果对 k(k∈N ),满足 f(1)·f(2)·?·f(k)为整数, 则称 k 为“好数”,那么区间[1,2 012]内所有的“好数”的和 M= . 解析:对任意正整数 k,有 f(1)·f(2)·?·f(k)=log23·log34·?·logk+1(k+2)=

lg ? k ? 2? lg ? k ? 2? lg 3 lg 4 l · ·?· = =log2(k+2).若 k 为“好数”,则 log2(k+2)∈Z,从而必有 k+2=2 lg 2 lg 3 lg2 lg ? k ? 1?
(l∈N ).令 1≤2 -2≤2 012,解得 2≤l≤10,所以区间[1,2 012]内所有“好数”的和 M=(2 -2)+(2 -2)+? +(2 -2)=(2 +2 +?+2 )-2×9=2026. 答案:2026
10 2 3 10 * l 2 3

综合检测
1.(2012 山西山大附中 3 月月考)设 a>1,0<b<1,则 logab+logba 的取值范围为( (A)[2,+∞) (B)(2,+∞) )

(C)(-∞,-2)

(D)(-∞,-2]

解析:因为 a>1,0<b<1,所以 logab<0,logab+logba=-(logab+ 答案:D

1 )≤-2. log a b

2.(2012 惠州二模)已知函数 f(x)=a +log3x(a∈R 且 a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为 2+log32, 则实数 a 的值为 . 解析:∵a>1 时,函数 f(x)递增,在区间[1,2]上 f(x)的最大值为 f(2)=a +log32,最小值为 f(1)=a +log31=a. 2 则 a +log32-a=2+log32, ∴a -a-2=0. ∴a=2. 答案:2
2 2 1

x



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