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抛物线几何性质 经典题3



1.

双曲线 x2/16-y2/9=1 上一点 P,F1、F2 是焦点,且∠F1PF2=60°,则△PF1F2 的面积为?

设 PF1=m,PF2=n 由定义 |m-n|=2a=8 平方 m?-2mn+n?=64 m?+n?=64+2mn c?=16+9=25 F1F2=2c=10 余弦定理 cos60=1/2=(m? +n?-10?)

/2mn =(64+2mn-100)/2mn=1/2 -36+2mn=mn mn=36 S=1/2mnsin60=9√3

2. 已知抛物线的顶点是双曲线 16x^2-9y^2=144 的中心 而焦点是双曲线的左顶点 求此抛物线的方程。 解:16x^2-9y^2=144 的中心是原点 x^2/9- y^2/16=1 a^2=9 ∴左顶点(-3,0) ∴抛物线顶点(0,0),焦点(-3,0) ∴y^2=-2px,p>0 顶点到焦点距离=p/2 ∴p/2=|-3| p =6 ∴y^2=-12x

3.

4. 过点(2 ,-3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆的标准方程为? 9x2+4y2=36 x^2/4+y^2/9=1 c^2=9-4=5,c=√5 焦点在 y 轴上 设椭圆的标准方程为:x^2/b^2+y^2/a^2=1 则: 4/b^2+9/a^2=1

a^2-b^2=c^2=5 解方程组得: a^2=15,b^2=10 所以,椭圆的标准方程为:x^2/10+y^2/15=1

5. 已知抛物线 C:y^2=-2px(p>0)上横坐标为-3 的一点与其焦点的距离为 4. 设动直线 y=k(x+2)于抛物线 C 相交于 A,B 两点, 问: 在 x 轴上是否存在于 k 的去值无关的定点 M,使得∠AMB 被 x 轴平分?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 抛物线 C:y^2=-2px(p>0)开口向左,对称轴为 x 轴 横坐标 x=-3 上的点到其焦点的距离为 4,则到准线 x=p/2 的距离也是为 4 所以:p/2-(-3)=4 解得:p=2 y^2=-4x 直线 y=k(x+2)恒过定点( -2,0),为抛物线的焦点 F 联立可得:y^2=(k^2)(x+2)^2=-4x 整理得:(k^2)x^2+4(k^2+1)x+4k^2=0 根据韦达定理有: x1+x2=-4(k^2+1)/k^2=-4-4/k^2 x1*x2=4 x 轴是∠AMB 的平分线,则直线 MB 和 MA 的斜率互为相反数 设点 M 为(m,0) 依据题意有:kmb=-kma (y1-0)/(x1-m)=-(y2-0)/(x2-m) k(x1+2)/(x1-m)=-k(x2+2)/(x2-m) 显然,k=0 时,y=0 与抛物线仅有一个交点,不符合题意 所以:(x1+2)/(x1-m)=-(x2+2)/(x2-m) x1x2-mx1+2x2-2m=-x1x2-2x1+mx2+2m 2x1x2-(x1+x2+4)m+2(x1+x2)=0 8-(-4/k^2)m-8-8/k^2=0 所以:4m/k^2-8/k^2=0 所以:4m-8=0 时恒成立 解得:m=2 所以:定点 M 为(2,0)

6. 已知 A.B 是抛物线 y^2=2px(p>0)上的两点,且 OA 垂直 OB(o 为坐标原点), 求证:直线 AB 过定点 x1 和 x2 的乘积是 0 吗? x1+x2=4p^2 建议你采用下面的方法: 由于点 A、B 在抛物线 y^2=2px(p>0)上, 设 A (2pm^2,2pm) ,B(2pn^2,2pn),(m≠ n,m≠0, n≠0) 由于 OA⊥OB 则(2pm^2)(2pn^2)+(2pm)(2pn) 整理得 mn=-1 根据 A、B 两点坐标得直线方程为 (2pm-2pn)x+(2pn^2-2pm^2)+4(p^2)(m^2)n-2(p^2)m(n^2)=0 整理得 x-(m+n) y-2p=0 显然,此直线经过定点(2p,0)

7. 已知 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上两点,O 为坐标原点,若|OA|=|OB| ,且三角形 AOB 的垂心恰是此抛物线的

焦点,求直线 AB 的方程

解:由 A 、B 是抛物线 y^2=2px(p>0)的两点,|AO|=|BO|, 及抛物线的对称性知,A 、B 关于 x 轴对称. 设直线 AB 的方程是 x=m ,则 A ( m , √2pm )、B(m ,- √2pm ) |△ AOB 的垂心恰好是抛物线的焦点 F( p/2,0 ) ∴AF⊥OB,KAF?KOB= -1, ∴ (√2pm -0)/(m-p/2)?( -√2pm -0)/(m-0)=-1 ∴m= 5p/2,∴直线 AB 的方程是 x= 5p/2 8. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点。若|AF|=3,,△AOB 面积。 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点。若 |AF|=3,,△AOB 面积。 解析:∵抛物线 y^2=4x ∴其焦点 F(1,0) ∵过 F 直线交该抛物线于 A,B 两点,|AF|=3 ∴|AF|=x(A)+p/2=3==>x(A)=3-1=2 代入抛物线 y^2=8==>y1=-2√2,y2=2√2 ∴A(2,-2√2),或 A(2,2√2) 直线斜率为 2√2,其方程为 y=2√2(x-1),与抛物线联立解得 x1=1/2,x2=2 ∴A(2,2√2),B(1/2,- √2) 同理,直线斜率为-2√2 得 A(2,-2√2),B(1/2,√2) ∴S(⊿OAB)=1/2*|OF|*|Ya-Yb|=1/2*1*3√2=3√2/2 其中,|AF|=x(A)+p/2 为抛物线的焦点半径公式



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