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江西南昌十校模拟 文数



江西省南昌市十所省重点中学命制 2015 届高三第二次模拟突 破冲刺数学(文)试题(三)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项。 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1, 2,3,5} , B ? {3, 4} ,则 A I

?U B ? B. {1, 2,3,5} C. {1, 2,5} 5i 2.复数 z ? ( i 是虚数单位)的共轭复数为( (2 ? i)(2 ? i) A .i 3.已知 sin ? A.B. ? i C. i A. {1, 2,3, 4} D. {1, 2} ) D. ?

5 3

5 i 3


?

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 5
B.-

的值等于(

4 3

3 4

C.

3 4

D.

4 3

4 .已知双曲线 ( A. )
7 2

x2 y 2 2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则此双曲线的离心率为 a 4 3
13 3
5 3

B.

C.

D.

21 3

5.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是 ① y ? f (| x |) ;② y ? f (? x) ;③ y ? xf ( x) ;④ y ? f ( x) ? x . A.①③ 6. 在 ?ABC 中, B.②③ ) B.4 C.①④ D.②④

AB ? 4, ?ABC ? 300 , D 是边 BC 上的一点,且 AD ? AB ? AD ? AC 则
C.8 D.-4
开始

AD ? AB 的值为(
A.0

7.己知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0), f ( ) ? f ( ) ? 0 , 且 f ( x) 在区间 ( A. 3

?

?

, ) 上递减,则 ? =( 6 2 B. 2 C. 6

? ?

6

2

a ? 0, b ? 1, i ? 3
S ? a?b c ? a?b S ?S ?c a?b i ? i ?1

) D. 5

8.某同学想求斐波那契数列 0,1,1,2,?(从第三项起每一项 等于前两项的和)的前 10 项的和,他设计了一个程序框图,那 么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是( A. b ? c, i ? 10 B. c ? a, i ? 10 )

是 否 输出 S
-1-

结束

C. b ? c , i ? 9 D. c ? a, i ? 9 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最 长的棱长等于( ) A.

34

B.

41

C. 5 2

D. 2 15

10.已知抛物线 C: y 2 ? 8 x 焦点为 F,点 P 是 C 上一点,若△POF
的面积为 2,则 | PF |? A.

5 2

B. 3

C.

7 2

D.4

? x ? y ? 4 ? 0, ? 11. 若直线 y ? 3 x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 8 ? 0, 则实数 m 的取值范围是 ? x ? m, ?
( ) A.? ?1, ?? ? B. ? ?1, ?? ? C. ? ??, ?1? D. ? ??, ?1?

12 . 已 知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ?| x ? 1| , 令 f1 ( x) ? g ( f ( x)), f n ?1 ( x) ? g ( f n ( x)) , 则 方 程

f 2015 ( x) ? 1 解的个数为(
A.2014

) B. 2015 C. 2016 D.2017

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?1 x ?( ) ( x ? 0) 13. f ( x) ? ? 3 则 ? ?log3 x( x ? 0)

? 1 ? f ? f ( )? ? ? 9 ?

.

14.一只昆虫在边长分别为 5,12,13 的三角形区域内爬行,则其到三角形顶点距离小于 2 的地方的概率为 .
15. 一个平面截一个球得到直径是 6 的圆面,球心到这个平面的距离是 4,则该球的表面积 是 . 16.如图,为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A、B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A、C;找到 一个点 E, 从 E 点可以观察到点 B、 C; 并测量得到一些数据: CD=2, CE=2 , ∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则 A、B 两 点之间的距离为 . (其中 cos48.19°取近似值 )

-2-

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 与 {bn } ,若 a1 ? 3 且对任意正整数 n 满足 an ?1 ? an ? 2, 数列 {bn } 的前 n 项和

S n ? n 2 ? an .
(I)求数列 {an }{ , bn } 的通项公式; (II)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

18. (本小题满分 12 分) 为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重(单位:千克) ,将他们的体重数据理后得 到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第二小组的
频率/组距

频数为 12. (Ⅰ)求该校报考体育专业学生的总人数 n; (Ⅱ)已知 A、a 是该校报考体育专业的两名学生, A 的体重小于 55 千克, a 的体重不小于 70 千克.现从该校报考体育专业的学生中按分 层抽样分别抽取小于 55 千克和不小于 70 千克的 学生共 6 名,然后在从这 6 人中抽取体重小 于 55 千克的学生 2 人,体重不小于 70 千克 的学生 1 人组成 3 人训练组,求 A 在训练组且 a 不在训练组的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 是 以 O 为 中 心 的 菱 形 ,
0.0375 0.0125 50 55 60 65 70 75 体重(千克)

PO ? 底面ABCD , AB ? 2, ?BAD ?

?

3

, M 为 BC 上一点,且 BM ?

1 2.

-3-

(Ⅰ )证明: BC ? 平面POM ; (Ⅱ )若 MP ? AP ,求四棱锥 P ? ABMO 的体积.

-4-

20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ?1, 0 ? ,? 、? 是椭圆 C 的 左、右顶点, D 是椭圆 C 上异于 ? 、 ? 的动点,且 ??D? 面积的最大值为 2 3 . (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ )若线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦,且 PF2 ? ? F2 Q ,求 ?PF1Q 内切圆面积最大时实数 ? 的值.

21. (本小题满分 12 分) 1 设函数 f ? x ? ? x 2 ? ? a ? b ? x ? ab ln x (其中 e 为自然对数的底数, a ? e , b ? R ) , 2 1 曲线 y ? f ? x ? 在点 ? e, f ? e ? ? 处的切线方程为 y ? ? e 2 . 2 (Ⅰ )求 b ; ?1 ? (Ⅱ )若对任意 x ? ? , ?? ? , f ? x ? 有且只有两个零点,求 a 的取值范围. ?e ?
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图,已知AB为圆O的一条直径,以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点,交圆O 于E、F两点,过点D作垂直于AD的直线,交直线AF于点H.

(Ⅰ) 求证: (Ⅱ)若 圆的半径. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

B、D、H、F四点共圆;

AC ? 2, AF ? 2 2 ,求△BDF外接

-5-

? 2 t ?x ? ? 2 已知直线 l 的参数方程是 ? (t为参数),圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ?

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4
(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a 2 ? b 2 ? 1 , c 2 ? d 2 ? 1 aa (Ⅰ)求证: ab ? cd ? 1 (Ⅱ)求 a ? 3b 的取值范围.

-6-

2015 届高三文科数学复习试题参考答案
一、选择题 题号 1 选项 C 2 B 3 A 4 D 5 D 6 B 7 B 8 C 9 C 10 A 11 A 12 D

二.填空题 13. 9 ; 14.

?
15

;

15. 100? ;

16. 10 .

三、解答题 17.解: (I)由题意数列{an} 是以 3 为首项,以 2 为公差的等数列, ∴an=2n+1……………………3 分 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 4 ;??????4 分 当 n ? 2 时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2+2 对 b1 =4 不成立

18. 解: (I)由图知第四组的频率为 0.0375 ? 5 ? 0.1875 , 第五组的频率为. 0.0125 ? 5 ? 0.0625 ?????????????????????3 分

12 ? 48 ???????5 分 0.25 (II)易知按分层抽样抽取 6 名体重小于 55 千克和不小于 70 千克的学生中,体重小于 55 千 克的学生 4 人,记为 A, B, C , D
又有条件知前三组的频率分别为 0.125,0.25,0.375 ,所以 n ? 体重不小于 70 千克的学生 2 人,记为 a, b ???????????????????6 分 从中抽取满足条件的所有结果有: ( A, B, a),( A, B, b),( A, C , a),( A, C , b),( A, D, a) , ( A, D, b),( B, C , a),( B, C , b),( B, D, a),( B, D, b),(C , D, a),(C , D, b) 共 12 种???????10 分

3 1 ? ????????????????????????12 分 12 4 19. (I)因为 PO ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,故 BC / / PO .
所求事件的概率为 P ? 因为 ABCD 是以 O 为中心的菱形, AB ? 2, ?BAD ?

?

3



-7-

所以 OB ? AB ? sin ? OAB ? 2 ? 又 因 为 BM ?

1 ? 1 。??????????2 分 2

3 1 ? , , ?OBM ? , 所 以 OM ? OB 2 ? OM 2 ? 2OB ? OM cos 60? ? 2 2 3

OM 2 ? BM 2 ? OM 2 ? BC ? OM ? ? BC ? PO ? ? PO ? 平面POM ? BC ? 平面POM ????????????6 分 ? OM ? 平面POM ? PO ? OM ? O ? ?
( II ) 由 ( 1 ) 可 知 , OA ?

3 , OM ?

3 , 在 ?ABM 中 , 利 用 余 弦 定 理 可 以 求 得 2

AM ?

21 .??????????7 分 2
3 4

设 PO ? a ,可得 PA2 ? AO 2 ? PO 2 ? 3 ? a 2 , PM 2 ? PO 2 ? OM 2 ? a 2 ? 又因为 PA ? PM ? AM ,解得 a ?
2 2 2

3 3 ,即 PO ? .…………………………8 分 2 2

S ABMO ? SOMB ? SOAB 1 1 ? OA ? OB ? BM ? OM 2 2 1 1 1 3 5 3 ? ? 3 ?1 ? ? ? ? 2 2 2 2 8
所以四棱锥 P ? ABMO 的体积为 VP ? ABMO ?

1 5 ? S ABMO ? PO ? ?????12 分 3 16

20. 解: (I) ?ADB 面积的最大值

1 ? 2ab ? 2 3 又 a 2 ? b 2 ? 1 2

a 2 ? 4, b 2 ? 3,?

x2 y2 ? ? 1 ????4 分 4 3

(II)显然直线 PQ 不与 x 轴重合 当直线 PQ 与 x 轴垂直时,| PQ |=3, | F1 F2 |? 2 , S ?PF1Q ? 3 ;??????5 分 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线 PQ : y ? k ( x ? 1), k ? 0 代入椭圆 C 的标准方程, 整理,得 (3 ? 4k ) y ? 6ky ? 9k ? 0,
2 2 2

-8-

? ? 0. y1 ? y 2 ?

? 6k ? 9k 2 , y ? y ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

??????7 分

S ?PF1Q

1 k2 ? k ? ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 |? ... ? 12 2 (3 ? 4k 2 ) 2
t ?3 4
2

令 t ? 3 ? 4k 2 ,? t ? 3, k 2 ?

所以 S ?PF1Q ? 3 ? 3( ? ) ? 由上,得 S ?PF1Q ? (0,3]

1 1 t 3

4 1 1 ? 0 ? ? ? S ?PF1Q ? (0,3) 3 t 3

所以当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S ?PF1Q 最大,且最大面积为 3 设 ?PF1Q 内切圆半径 r ,则 S ?PF1Q ? 即 rmax ?

?????10 分

1 (| PF1 | ? PF2 | ? | PQ |) ? r ? 4r ? 3 2

3 ,此时直线 PQ 与 x 轴垂直, ?PF1Q 内切圆面积最大 4
??????12 分

所以, PF2 ? F2 Q, ? ? 1

21. 解( I) f ?( x) ? x ? (a ? b) ?
f ?(e) ? 0 , a ? e
(II)由(1)得 f ( x) ?

ab ( x ? a )( x ? b) ???2 分 ? x x

? b ? e ???3 分

1 2 ( x ? a )( x ? e) x ? (a ? e) x ? ae ln x , f ?( x) ? x 2 1 1 ①当 a ? 时,由 f ?( x)>0 得 x ? e ;由 f ?( x) ? 0 得 ? x ? e . e e 1 此时 f ( x) 在 ( , e) 上单调递减,在 (e, ? ?) 上单调递增. e 1 1 f (e) ? e 2 ? (a ? e)e ? ae ln e ? ? e 2 ? 0 , 2 2 1 1 1 2 f (e 2 ) ? e 4 ? (a ? e)e 2 ? 2ae ? e(e ? 2)(e 2 ? 2a ) ? e(e ? 2)(e 2 ? ) ? 0 2 2 2 e
(或当 x ? ?? 时, f ( x) ? 0 亦可)

1 ? 要使得 f ( x) 在 [ , ??) 上有且只有两个零点, e
则只需 f ( ) ?

1 e

1 ? 2e 2 1 a?e 1 (1 ? 2e 2 ) ? 2e(1 ? e 2 )a a ? ? ? 0 ,即 ?6 分 ? ? ae ln 2e 2 2e 2 e e 2e(1+e 2 )

-9-

②当

1 1 ? a ? e 时,由 f ?( x)>0 得 ? x ? a 或 x ? e ;由 f ?( x) ? 0 得 a ? x ? e .此时 f ( x) 在 e e 1 (a, e) 上单调递减,在 ( , a) 和 (e, ? ?) 上单调递增. 此时 e 1 1 1 f (a) ? ? a 2 ? ae ? ae ln a ? ? a 2 ? ae ? ae ln e ? ? a 2 ? 0 ,? 此时 f ( x) 在 [e, ? ?) 至多只 2 2 2

有一个零点,不合题意???9 分

1 1 由 f ?( x) ? 0 得 e ? x ? a , 此时 f ( x) 在 ( , e) ? x ? e 或 x >a , e e 1 1 和 (a, ? ?) 上单调递增,在 (e, a) 上单调递减,且 f (e) ? ? e 2 ? 0 ,? f ( x) 在 [ , ??) 至多 2 e
③当 a ? e 时, 由 f ?( x) ? 0 得 只有一个零点,不合题意. 综上所述, a 的取值范围为 (??,

1 ? 2e 2 ] ???12 分 2e(1+e 2 )

22. (I)因为 AB 为圆 O 的一条直径,所以 BF ? FH ?????????????2 分 又 DH ? BD ,所以 B, D, H , F 四点共圆???????????????????4 分 (II)因为 AH 与圆 B 相切于点 F, 由切割线定理得 AF 2 ? AC ? AD ,代入解得 AD=4???????????????5 分

1 ( AD ? AC ) ? 1, BF ? BD ? 1 ???????????????????6 分 2 DH AD 又△AFB∽△ADH,所以 ?????????????????????7 分 ? BF AF AD ? BF 由此得 DH ? ? 2 ????????????????????????8 分 AF
所以 BD ? 连接 BH,由(1)知,BH 为△BDF 外接圆的直径, BH ? 故△BDF 的外接圆半径为

BD 2 ? DH 2 ? 3 ??9 分

3 ????????????????????????10 分 2

? 23.解: (I)∵ρ =2cos(θ + ) 4 ∴ρ = 2 cosθ - 2sinθ ,∴ρ = 2ρ cosθ - 2ρ sinθ ∴圆 C 的直角坐标方程为 x +y - 2x+ 2y=0 ∴圆心 C 的直角坐标为( 2 2 ,) 2 2
2 2 2

????2 分 ????3 分 ????5 分

(Ⅱ)法一: 由直线 l 上的点向圆 C 引切线长为 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 t- ) +( t+ +4 2) -1= t +8t+40= (t+4) +24≥2 6, 2 2 2 2 ????10 分

∴直线 l 上的点向圆 C 引切线长的最小值为 2 6
- 10 -

法二:直线 l 的普通方程为 x-y+4 2=0,

????6 分

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2

????8 分

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6 24. (I)∵a2+b2≥2ab, c2+d2≥2cd ∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当 a=b=c=d= 又∵a2+b2=1, c2+d2=1 ∴2(ab+cd)≤2 ∴ab+cd≤1 → → (II)设 m =(a,b), n =(1, 3), →→ → → ∵|m ? n |≤|m |?| n |, ∴|a+ 3b|≤2 a2+b2=2 ∴-2≤a+ 3b≤2 ∴a+ 3b 的取值范围为-2,2 2 时取“=” 2

????10 分

????2 分

????4 分 ????5 分

????8 分

????10 分

- 11 -

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